Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 10 · M-Zug · Lernbereich 3: Ähnliche Figuren · LehrplanPLUS
Ähnlichkeit, Strahlensätze sowie Katheten- und Höhensatz
Wie hoch ist ein Baum, den Du nicht erklettern kannst? Wie breit ein Fluss, den Du nicht durchschwimmen willst? Mit den Strahlensätzen misst Du das, was gut erreichbar ist, und rechnest den Rest aus. Dazu kommt ein häufig unterschätzter Zusammenhang: Verdoppelst Du alle Längen, vervierfacht sich die Fläche und verachtfacht sich das Volumen.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Ähnliche Figuren erkennen
- Das Ähnlichkeitskriterium
- Die zentrische Streckung
- Streckungszentrum und Streckungsfaktor
- Maßstab und Ähnlichkeit
- Seitenlängen ähnlicher Figuren
- Flächeninhalte ähnlicher Figuren
- Volumina ähnlicher Körper
- Der erste Strahlensatz
- Der zweite Strahlensatz
- Strahlensätze in Sachaufgaben
- Kathetensatz und Höhensatz
- Katheten- und Höhensatz mit verschiedenen Seitenbezeichnungen
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 9 · Wirtschaftsschule Klasse 9.
1. Zentrische Streckung und der Faktor \( k \)
Merke: die drei Potenzen von \( k \)
| Längen (Seiten, Umfang, Höhen) | mal \( k \) |
| Flächen (Flächeninhalt, Oberfläche) | mal \( k^2 \) |
| Volumen | mal \( k^3 \) |
Winkel ändern sich nicht. Bei \( k > 1 \) wird vergrößert, bei \( 0 < k < 1 \) verkleinert.
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn alle Winkel übereinstimmen und alle Seitenverhältnisse gleich sind. Beim Dreieck reicht es schon, wenn zwei Winkel übereinstimmen.
Beispiel: Modell und Wirklichkeit
Ein Modellhaus wird mit \( k = 3 \) vergrößert. Das Modell hat eine Wandfläche von \( 4\ \text{cm}^2 \) und ein Volumen von \( 5\ \text{cm}^3 \).
Fläche: \( 4\ \text{cm}^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\ \text{cm}^2 \)
Volumen: \( 5\ \text{cm}^3 \cdot 3^3 = 5 \cdot 27 = 135\ \text{cm}^3 \)
Das überrascht viele: Dreifache Länge bedeutet 27-faches Volumen. Deshalb braucht eine doppelt so große Pizza viermal so viel Belag und eine doppelt so große Kugel achtmal so viel Material.
2. Die Strahlensätze
Merke: zwei Sätze, eine Figur
1. Strahlensatz – Abschnitte auf den Strahlen verhalten sich wie die zugehörigen Abschnitte auf dem anderen Strahl:
\( \dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA‘}} = \dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB‘}} \)
2. Strahlensatz – die Parallelen verhalten sich wie die Abschnitte auf den Strahlen:
\( \dfrac{a}{a‘} = \dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA‘}} \)
Voraussetzung ist immer: zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt und zwei parallele Strecken. Fehlt die Parallelität, gilt nichts davon.
Beispiel: Baumhöhe über den Schatten
Ein Stab von \( 1{,}50\ \text{m} \) wirft einen Schatten von \( 2{,}00\ \text{m} \). Der Baum daneben wirft zur selben Zeit \( 18{,}00\ \text{m} \) Schatten. Wie hoch ist er?
Die Sonnenstrahlen sind parallel, also sind die beiden Dreiecke ähnlich:
\( \dfrac{h}{1{,}50\ \text{m}} = \dfrac{18{,}00\ \text{m}}{2{,}00\ \text{m}} \)
\( h = \dfrac{1{,}50 \cdot 18{,}00}{2{,}00}\ \text{m} = 13{,}50\ \text{m} \)
Antwort: Der Baum ist \( 13{,}50\ \text{m} \) hoch.
Plausibilität: Der Schatten ist neunmal so lang wie beim Stab, also muss der Baum neunmal so hoch sein: \( 9 \cdot 1{,}50 = 13{,}50 \). Passt.
3. Kathetensatz und Höhensatz
Merke
Die Höhe \( h \) auf der Hypotenuse teilt diese in zwei Abschnitte \( p \) und \( q \). Dadurch entstehen drei ähnliche Dreiecke – daraus folgen die beiden Sätze:
Kathetensatz: \( a^2 = c \cdot q \) und \( b^2 = c \cdot p \)
Höhensatz: \( h^2 = p \cdot q \)
Die Zuordnung ist entscheidend: Zu jeder Kathete gehört der Hypotenusenabschnitt, der an ihr anliegt. Wer \( p \) und \( q \) vertauscht, rechnet die falsche Kathete aus.
Beispiel: alle Stücke berechnen
Gegeben: \( c = 10\ \text{cm} \) und \( p = 3{,}6\ \text{cm} \).
\( q = c – p = 10 – 3{,}6 = 6{,}4\ \text{cm} \)
\( b = \sqrt{c \cdot p} = \sqrt{10 \cdot 3{,}6}\ \text{cm} = \sqrt{36}\ \text{cm} = 6\ \text{cm} \)
\( a = \sqrt{c \cdot q} = \sqrt{10 \cdot 6{,}4}\ \text{cm} = \sqrt{64}\ \text{cm} = 8\ \text{cm} \)
\( h = \sqrt{p \cdot q} = \sqrt{3{,}6 \cdot 6{,}4}\ \text{cm} = \sqrt{23{,}04}\ \text{cm} = 4{,}8\ \text{cm} \)
Zwei Proben:
- Pythagoras: \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 \) – stimmt.
- Fläche auf zwei Wegen: \( \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\ \text{cm}^2 \) und \( \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4{,}8 = 24\ \text{cm}^2 \) – stimmt ebenfalls.
Bei anderen Seitenbezeichnungen
In der Prüfung heißen die Seiten nicht immer \( a \), \( b \), \( c \). Merk Dir die Sätze deshalb in Worten: „Kathete zum Quadrat gleich Hypotenuse mal anliegender Hypotenusenabschnitt“ und „Höhe zum Quadrat gleich Produkt der beiden Abschnitte“. Zeichne zuerst eine Skizze und beschrifte sie – dann spielen die Buchstaben keine Rolle mehr.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( \dfrac{a}{a‘} = \dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA‘}} \)
\( a^2 = c \cdot q \)
\( b^2 = c \cdot p \)
\( h^2 = p \cdot q \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Erzeuge Dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zur Mittelschule Bayern und Deiner Klasse.
Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 10, Mittlere-Reife-Klasse, Lernbereich 3 „Ähnliche Figuren“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.