Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 9 · Regelklasse · Lernbereich 8: Funktionale Zusammenhänge · LehrplanPLUS
Funktionale Zusammenhänge: Tabelle, Graph und Sachkontext
Je mehr Kilometer, desto teurer die Taxifahrt. Je mehr Helfer, desto kürzer die Arbeitszeit. Solche Zusammenhänge erkennst Du in Tabellen, liest sie aus Graphen ab und rechnest fehlende Werte aus. Genau das wird im Quali verlangt – ohne dass Du eine Funktionsgleichung aufstellen musst.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 8 · Wirtschaftsschule Klasse 9. Im M-Zug kommt die Funktionsgleichung dazu: Mittelschule M9.
Achtung, hier trennen sich die Wege. Diese Seite ist für die Regelklasse. Du arbeitest mit Tabellen, Graphen und dem Dreisatz. Die Funktionsgleichung \( y = mx + t \) und die Steigung gehören zum M-Zug – für den Quali brauchst Du sie nicht.
1. Die vier Zusammenhänge erkennen
Merke: so prüfst Du eine Wertetabelle
| Zusammenhang | Test an der Tabelle | Graph |
|---|---|---|
| proportional | \( y : x \) ist immer gleich | Gerade durch den Ursprung |
| linear | gleicher Zuwachs bei gleichem Schritt | Gerade, aber nicht durch den Ursprung |
| umgekehrt proportional | \( x \cdot y \) ist immer gleich | gebogene Kurve, nähert sich den Achsen |
| nicht linear | weder Quotient noch Produkt konstant | gekrümmt, keine Gerade |
Zwei Rechnungen genügen: Teile \( y \) durch \( x \) und multipliziere \( x \) mal \( y \). Bleibt eines der beiden gleich, weißt Du Bescheid.
2. Proportional: der Dreisatz
Beispiel: Kartoffeln kaufen
3 kg Kartoffeln kosten \( 4{,}50\ \text{€} \). Was kosten 7 kg?
| Menge | 1 kg | 3 kg | 5 kg | 7 kg |
|---|---|---|---|---|
| Preis | 1,50 € | 4,50 € | 7,50 € | 10,50 € |
Dreisatz: erst auf 1 kg herunterrechnen, dann hochrechnen.
\( 4{,}50\ \text{€} : 3 = 1{,}50\ \text{€} \)
\( 1{,}50\ \text{€} \cdot 7 = 10{,}50\ \text{€} \)
Probe auf Proportionalität: \( 4{,}50 : 3 = 1{,}50 \) und \( 10{,}50 : 7 = 1{,}50 \) – der Quotient bleibt gleich. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung, denn 0 kg kosten 0 €.
3. Linear: mit Startwert
Merke: der Unterschied zu proportional
Bei einem linearen Zusammenhang gibt es einen Startwert: Auch bei null Kilometern zahlst Du schon etwas. Deshalb geht die Gerade nicht durch den Ursprung.
Wichtige Folge: Der Dreisatz funktioniert hier nicht. Doppelt so viele Kilometer bedeuten nicht den doppelten Preis. Rechne stattdessen in zwei Teilen: Grundpreis plus Verbrauch.
Beispiel: Taxifahrt
Ein Taxi verlangt \( 3{,}50\ \text{€} \) Grundgebühr und \( 1{,}20\ \text{€} \) je Kilometer.
a) Was kosten 8 km?
\( 3{,}50\ \text{€} + 8 \cdot 1{,}20\ \text{€} = 3{,}50\ \text{€} + 9{,}60\ \text{€} = 13{,}10\ \text{€} \)
b) Wie weit kommst Du für 20 €? Zuerst die Grundgebühr abziehen:
\( 20\ \text{€} – 3{,}50\ \text{€} = 16{,}50\ \text{€} \)
\( 16{,}50 : 1{,}20 = 13{,}75 \)
Antwort: Du kommst 13,75 km weit – also knapp 14 Kilometer.
Gegenprobe zur Falle: 4 km kosten \( 3{,}50 + 4{,}80 = 8{,}30\ \text{€} \). 8 km kosten aber nicht \( 16{,}60\ \text{€} \), sondern \( 13{,}10\ \text{€} \) – weil die Grundgebühr nur einmal anfällt.
4. Umgekehrt proportional
Merke
Wird die eine Größe größer, wird die andere kleiner – und zwar so, dass das Produkt gleich bleibt:
\( x \cdot y = \) immer dieselbe Zahl
Typische Beispiele: mehr Arbeiter, weniger Tage. Schnellere Fahrt, kürzere Zeit. Mehr Portionen, kleinere Portionsgröße.
Beispiel: Maler auf der Baustelle
4 Maler brauchen für einen Auftrag 12 Tage. Wie lange brauchen 6 Maler?
| Maler | 1 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Tage | 48 | 12 | 8 | 6 |
Rechenweg: Erst auf einen Maler hochrechnen (der braucht länger!), dann auf 6 herunterteilen.
\( 4 \cdot 12 = 48\ \text{Arbeitstage} \)
\( 48 : 6 = 8 \)
Antwort: 6 Maler brauchen 8 Tage.
Probe: In jeder Spalte ist das Produkt 48. Achtung beim Dreisatz: Hier wird mal gerechnet, wo Du sonst teilst. Wer wie beim proportionalen Fall vorgeht, bekommt 18 Tage heraus – und mehr Maler würden länger brauchen. Das kann nicht stimmen.
5. Nicht lineare Zusammenhänge
Beispiel: Seitenlänge und Fläche
Wie hängt der Flächeninhalt eines Quadrats von der Seitenlänge ab?
| Seite in cm | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Fläche in cm² | 1 | 4 | 9 | 16 |
Test: Der Quotient \( 4 : 2 = 2 \) gegen \( 16 : 4 = 4 \) ist nicht konstant. Das Produkt \( 2 \cdot 4 = 8 \) gegen \( 4 \cdot 16 = 64 \) auch nicht. Also weder proportional noch umgekehrt proportional.
Merksatz: Verdoppelst Du die Seite, vervierfacht sich die Fläche. Der Graph ist eine nach oben gebogene Kurve. Solche Zusammenhänge sollst Du im Quali erkennen und beschreiben – berechnen musst Du sie nur über die bekannten Formeln.
Merke: Werte aus dem Graphen ablesen
- Gesuchten Wert auf der passenden Achse suchen.
- Senkrecht (oder waagrecht) bis zur Linie gehen.
- Von dort zur anderen Achse und Wert ablesen.
- Ergebnis mit dem Rechenweg vergleichen – Ablesen ist immer ungenauer.
In der Prüfung wird oft ausdrücklich verlangt, den Wert zeichnerisch zu bestimmen. Dann gehören die Hilfslinien mit ins Bild – sie geben Punkte.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 9, Regelklasse, Lernbereich 8 „Funktionale Zusammenhänge“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.