Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Analysis (Technik & Nichttechnik) · BY
Quadratische Funktionen und Parabelscharen
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1. Grundlagen kompakt (Wiederholung aus der Mittelstufe)
Eine quadratische Funktion hat die Form \( f(x)=ax^2+bx+c \) mit \( a\neq 0 \). Ihr Graph ist eine Parabel.
💡 Das Wichtigste auf einen Blick
- Öffnung: \( a>0 \) nach oben (Minimum im Scheitel), \( a<0 \) nach unten (Maximum).
- Streckung: \( |a|>1 \) gestreckt (schmaler), \( |a|<1 \) gestaucht (breiter) als die Normalparabel.
- Nullstellen: mit der Lösungsformel \( x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \). Die Diskriminante \( D=b^2-4ac \) entscheidet: \( D>0 \) zwei, \( D=0 \) eine, \( D<0 \) keine Nullstelle.
- Scheitel-x: \( x_S=-\dfrac{b}{2a} \), dann \( y_S=f(x_S) \).
2. Scheitelpunktform und allgemeine Form
Dieselbe Parabel lässt sich auf zwei Arten schreiben:
💡 Die beiden Formen
- Scheitelpunktform: \( f(x)=a(x-x_S)^2+y_S \) – hier liest man den Scheitel \( S(x_S\mid y_S) \) direkt ab.
- Allgemeine Form: \( f(x)=ax^2+bx+c \).
✎ Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form: \( f(x)=0{,}5(x-3)^2+2{,}5 \).
Wir multiplizieren die Klammer mit der binomischen Formel aus:
Umgekehrt kommt man mit quadratischer Ergänzung von der allgemeinen Form zurück zur Scheitelpunktform.
3. Quadratische Ungleichungen
Bei einer quadratischen Ungleichung sucht man alle \( x \), für die der Funktionswert z. B. positiv (\( >0 \)) oder negativ (\( <0 \)) ist. Man bestimmt zuerst die Nullstellen und liest dann am Öffnungsverhalten (oder mit einer Vorzeichentabelle) das Vorzeichen ab.
✎ Sandwichverkauf: Für welche Stückzahl ergibt sich Gewinn? \( G(x)=-0{,}1x^2+10{,}5x-135>0 \), \( D_G=[0;120] \).
Schritt 1 – Nullstellen berechnen (\( G(x)=0 \)). Zuerst mit \( (-10) \) multiplizieren, um schöne Zahlen zu bekommen:
Schritt 2 – Vorzeichen bestimmen. Die Parabel ist wegen \( a=-0{,}1<0 \) nach unten geöffnet. Zwischen den beiden Nullstellen liegt sie also oberhalb der x-Achse (positiv), außerhalb darunter:
Antwort: Ab 16 bis 89 verkauften Sandwichs (also für \( 15
Lösungsbereich der Ungleichung G(x)>0: alle x zwischen 15 und 90 (offene Grenzen, da > und nicht ≥).
Gewinnfunktion G(x). Zwischen x₁=15 und x₂=90 ist G(x)>0 — dort macht die Klasse Gewinn.
4. Parabelscharen: der Parameter
Enthält die Gleichung neben der Variablen \( x \) einen Parameter (oft \( a \), \( k \), \( t \)), so ergibt sich für jeden Parameterwert eine eigene Parabel. Man spricht von einer Scharfunktion und schreibt den Parameter als Index, z. B. \( f_k \).
✎ Ballwurfmaschine anheben: \( f_k(x)=-0{,}025x^2+0{,}275x+k \), \( k\in\mathbb{R}^+ \).
Die Flugbahn \( f(x)=-0{,}025x^2+0{,}275x+1{,}05 \) wird durch Anheben der Maschine um \( k \) Meter zu \( f_k \) – nur das konstante Glied ändert sich. Frage: Wie hoch muss die Maschine, damit der Ball bei \( 17{,}38\,\text{m} \) aufkommt?
Der Punkt \( P(17{,}38\mid 0) \) soll auf der Parabel liegen, also \( f_k(17{,}38)=0 \):
Die nötige Abwurfhöhe ist ca. \( 2{,}77\,\text{m} \). Da ursprünglich aus \( 1{,}05\,\text{m} \) geworfen wurde, muss die Maschine um \( 2{,}77-1{,}05\approx 1{,}72\,\text{m} \) angehoben werden.
5. Scheitelpunkt in Abhängigkeit vom Parameter
Bei einer Parabelschar berechnet man den Scheitelpunkt allgemein – seine Koordinaten hängen dann vom Parameter ab.
✎ Scheitelpunkt von \( f_t(x)=-x^2+(2t-1)x+2t \) in Abhängigkeit von \( t \).
Die x-Koordinate des Scheitels ist \( x_S=-\dfrac{b}{2a} \) mit \( a=-1 \) und \( b=2t-1 \):
Die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von \( x_S \) in \( f_t \):
Der Scheitelpunkt liegt also bei \( S\!\left(t-\tfrac{1}{2}\;\middle|\;t^2+t+\tfrac{1}{4}\right) \). Da \( y_S=t^2+t+\tfrac{1}{4}=\left(t+\tfrac{1}{2}\right)^2\geq 0 \) für alle \( t \), liegt jeder Scheitelpunkt oberhalb oder auf der x-Achse – also im I. oder II. Quadranten.
Parabelschar f_t für t=−1, 0, 1: nach unten geöffnete Parabeln, deren Scheitel sich mit t verschieben.
6. Anzahl der Nullstellen je Parameter
Wie viele Nullstellen eine Scharparabel hat, entscheidet die Diskriminante \( D=b^2-4ac \) – und die hängt vom Parameter ab.
💡 Diskriminante und Nullstellenzahl
- \( D>0 \): zwei Nullstellen
- \( D=0 \): genau eine (doppelte) Nullstelle – die Parabel berührt die x-Achse
- \( D<0 \): keine Nullstelle
Man setzt \( D \) in Abhängigkeit vom Parameter an und untersucht, für welche Parameterwerte \( D>0 \), \( =0 \) oder \( <0 \) ist.
7. Typische Fehler
8. Üben
💡 ✐ Jetzt selbst üben