Mathematik Wirtschaftsschule Bayern · Klasse 9 · Lernbereich „Raum und Form“ (LehrplanPLUS) · BY
Strahlensätze: Proportionen in der Geometrie
Werden zwei Strahlen von einem Punkt aus von parallelen Linien geschnitten, entstehen Strecken im gleichen Verhältnis. Mit den Strahlensätzen berechnen Sie unbekannte Längen – etwa die Höhe eines Baums über seinen Schatten.
1. Strahlensatz
Zwei Strahlen gehen vom Punkt \( Z \) aus und werden von zwei parallelen Geraden \( g_1 \) und \( g_2 \) geschnitten. Dann verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl wie die auf dem anderen:
\( \dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA‘}} = \dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB‘}} \)
2. Strahlensatz
Der 2. Strahlensatz verbindet die Parallelstrecken mit den Strahlabschnitten:
\( \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A’B‘}} = \dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA‘}} \)
3. Anwendung: Höhe über den Schatten messen
Ein 1,80 m großer Mensch wirft einen 1,20 m langen Schatten. Ein Baum wirft gleichzeitig einen 8 m langen Schatten. Wie hoch ist der Baum?
\( \dfrac{\text{Höhe Mensch}}{\text{Schatten Mensch}} = \dfrac{\text{Höhe Baum}}{\text{Schatten Baum}} \)
\( \dfrac{1,80}{1,20} = \dfrac{h}{8} \)
\( h = \dfrac{1,80}{1,20}\cdot 8 = 1,5\cdot 8 = 12\,\text{m} \)
Gegenprobe: 1,80/1,20 = 1,5 und 12/8 = 1,5 → gleiches Verhältnis ✓
4. So wird es gebraucht
Strahlensätze stecken in Aufgaben mit Schatten, Rampen, Leitern an schrägen Wänden oder Karten mit Maßstab. Oft muss man zuerst die zwei parallelen Linien und den gemeinsamen Punkt erkennen.
5. Typische Fehler
✗ Falsch:
Strecken nicht alle vom Punkt Z aus gemessen.
✓ Richtig:
Beide Verhältnisse müssen vom gemeinsamen Punkt \( Z \) ausgehen.
Tipp: Erst \( Z \) einzeichnen, dann alle Strecken von dort messen.
✗ Falsch:
Verhältnis über Kreuz falsch aufgestellt.
✓ Richtig:
Gleiche Strahlen gehören zusammen: ZA zu ZA‘, ZB zu ZB‘.
Tipp: Immer „oben zu oben, unten zu unten“ auf demselben Strahl.
Weiterlernen
- Satz des Pythagoras – Seiten im rechtwinkligen Dreieck.
- Dreisatz (Klasse 7) – die Grundlage der Verhältnisse.
✐ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Berechnen Sie unbekannte Strecken mit den Strahlensätzen – mit Skizze und Lösungsweg, passend zur Wirtschaftsschule Klasse 9.