Mathematik Realschule Bayern · Klasse 9 · Lernbereich 2 „Zentrische Streckung“ (LehrplanPLUS) · BY
Zentrische Streckung und Strahlensätze: vergrößern, verkleinern und Unerreichbares berechnen
Eine Bauzeichnung im Maßstab 1:20, ein Modellschrank aus dem Musterbau, der Schatten eines Baums vor der Werkhalle – das alles sind Figuren, die dieselbe Form haben wie das Original, aber eine andere Größe. Die Mathematik dahinter heißt zentrische Streckung. Sie ist die erste Abbildung, die du kennenlernst, die eine Figur nicht nur verschiebt oder spiegelt, sondern größer oder kleiner macht – und zwar verhältnistreu. Aus ihr folgen die beiden Strahlensätze, mit denen du Längen ausrechnest, die du gar nicht messen kannst. Auf dieser Seite lernst du der Reihe nach: konstruieren, Eigenschaften verstehen, rechnen, anwenden.
Diese Seite gilt für Mathematik I und Mathematik II/III. Der Lernbereich heißt in beiden Ausrichtungen „Zentrische Streckung“, Mathematik I hat dafür 17 Stunden, Mathematik II/III 13 Stunden. Die Kapitel 1 bis 5 gelten unterschiedslos für alle. Mathematik I hat darüber hinaus fünf eigene Themen (Vektor-Vielfaches, Parameterverfahren, Streckenteilung und Goldener Schnitt, Schwerpunkt, Ähnlichkeit von Dreiecken) – sie stehen gesammelt im Kapitel 6.
Wozu brauchst du das?
Immer dann, wenn du eine Länge brauchst, die du nicht direkt messen kannst oder willst: die Höhe eines Baums, eines Kirchturms oder einer Halle über den Schattenwurf · die Breite eines Flusses vom Ufer aus · eine Bauzeichnung im Maßstab zeichnen und daraus die echten Maße zurückrechnen · aus einem Foto die Größe eines Gegenstands abschätzen · ein Modell im Maßstab 1:10 bauen. In der Abschlussprüfung stecken die Strahlensätze außerdem in vielen Flächen- und Körperaufgaben: sobald in einer Figur zwei parallele Strecken vorkommen, kannst du fehlende Längen über Verhältnisse bestimmen.
Inhalt dieser Seite
- Die zentrische Streckung konstruieren
- Eigenschaften und Sonderfälle
- Der 1. Strahlensatz
- Der 2. Strahlensatz
- Anwendungen: Maßstab und unzugängliche Längen
- Nur für Mathematik I
- Das Wichtigste in Kürze
1. Die zentrische Streckung konstruieren
Eine zentrische Streckung braucht genau zwei Angaben: einen festen Punkt, das Streckzentrum \( Z \), und eine Zahl, den Streckungsfaktor \( k \). Die Abbildungsvorschrift ist denkbar einfach: Zeichne den Strahl von \( Z \) durch den Punkt \( P \) und trage darauf vom Zentrum aus das \( k \)-fache der Strecke \( \overline{ZP} \) ab. Der so gefundene Punkt ist der Bildpunkt \( P\‘ \). In Kurzform:
Eine Figur streckst du, indem du jeden ihrer Eckpunkte einzeln streckst und die Bildpunkte anschließend genauso verbindest wie die Originalpunkte. Die Kurzschreibweise dafür ist \( P \xrightarrow{\ Z;\,k\ } P\‘ \). Dieselbe Abbildung kannst du auch mit einer Geometriesoftware (z. B. GeoGebra) ausführen: Zentrum setzen, Figur markieren, Werkzeug „Streckung mit Zentrum“ wählen, Faktor eingeben. Am Bildschirm kannst du \( k \) dann mit einem Schieberegler verändern und sofort sehen, wie sich Lage, Längen und Flächeninhalt der Bildfigur mitbewegen – von Hand zeichnen musst du trotzdem können, in der Prüfung ist der Zirkel dabei, nicht der Rechner.
Beispiel 1 – Vergrößern mit \( k = 2 \)
Das Holzwerk Brandl in Rosenheim hat einen Beschlagwinkel als Dreieck \( ABC \) gezeichnet: \( \overline{AB} = 6\ \text{cm} \), \( \overline{AC} = 4\ \text{cm} \), rechter Winkel bei \( A \). Der Winkel soll doppelt so groß gefertigt werden. Das Streckzentrum \( Z \) liegt links unterhalb von \( A \) mit \( \overline{ZA} = 5\ \text{cm} \).
Planfigur: Zuerst skizzierst du freihändig, wo \( Z \) und das Dreieck liegen und in welche Richtung die Strahlen laufen. Erst danach konstruierst du sauber.
Konstruktionsbeschreibung
- Dreieck \( ABC \) mit dem Geodreieck zeichnen: \( \overline{AB} = 6\ \text{cm} \), im Punkt \( A \) den rechten Winkel antragen, darauf \( \overline{AC} = 4\ \text{cm} \) abtragen, \( B \) und \( C \) verbinden.
- Streckzentrum \( Z \) einzeichnen (hier so, dass \( \overline{ZA} = 5\ \text{cm} \)).
- Von \( Z \) aus mit dem Lineal die Strahlen \( [ZA \), \( [ZB \) und \( [ZC \) zeichnen und über die Punkte hinaus verlängern.
- Zirkel in \( Z \) einstechen, Radius \( \overline{ZA} \) nehmen und diese Spanne auf dem Strahl \( [ZA \) ab \( A \) noch einmal abtragen – das ergibt \( A\‘ \) mit \( \overline{ZA\‘} = 2 \cdot \overline{ZA} = 10\ \text{cm} \).
- Genauso \( B\‘ \) auf \( [ZB \) und \( C\‘ \) auf \( [ZC \) konstruieren.
- \( A\‘ \), \( B\‘ \), \( C\‘ \) zum Bilddreieck verbinden.
Alle drei Strahlen gehen von \( Z \) aus. Jede Bildstrecke ist doppelt so lang wie ihre Originalstrecke – auch \( \overline{B\’C\‘} \), obwohl sie durch keinen Strahl geht.
Kontrolle am Bild: \( \overline{ZA\‘} = 10\ \text{cm} = 2 \cdot 5\ \text{cm} \) ✓ · \( \overline{A\’B\‘} = 12\ \text{cm} = 2 \cdot 6\ \text{cm} \) ✓ · \( \overline{A\’C\‘} = 8\ \text{cm} = 2 \cdot 4\ \text{cm} \) ✓. Und der rechte Winkel bei \( A \) ist auch bei \( A\‘ \) ein rechter Winkel.
Beispiel 2 – Verkleinern mit \( 0 < k < 1 \) und Umklappen mit \( k < 0 \)
Der Faktor \( k \) darf jede reelle Zahl außer null sein, und zwei Dinge entscheidet er getrennt voneinander: Der Betrag \( |k| \) entscheidet über die Größe, das Vorzeichen über die Lage.
| \( |k| > 1 \) | Bildfigur ist größer als das Original |
| \( |k| < 1 \) | Bildfigur ist kleiner als das Original |
| \( k > 0 \) | Bildfigur liegt auf derselben Seite von \( Z \) |
| \( k < 0 \) | Bildfigur liegt gegenüber von \( Z \), also „auf dem Kopf“ |
Links unten siehst du dasselbe Dreieck mit \( k = 0{,}5 \) verkleinert, rechts mit \( k = -2 \) auf die andere Seite des Zentrums geklappt und verdoppelt.
Bei \( k < 0 \) liegt jeder Bildpunkt auf der Verlängerung des Strahls über das Zentrum hinaus.
Achte beim negativen Faktor genau auf die Reihenfolge der Buchstaben: \( A\‘ \) gehört zu \( A \), auch wenn es im Bild ganz woanders liegt. Wer die Bildpunkte nach dem Augenschein benennt, verdreht die Zuordnung – das ist der häufigste Fehler bei negativen Streckfaktoren.
Merke: Eine zentrische Streckung ist durch Streckzentrum \( Z \) und Streckungsfaktor \( k \ne 0 \) festgelegt. Zu jedem Punkt \( P \) findest du \( P\‘ \) auf der Geraden \( ZP \) mit \( \overline{ZP\‘} = |k| \cdot \overline{ZP} \). Der Betrag von \( k \) bestimmt die Größe, das Vorzeichen von \( k \) die Seite: \( k > 0 \) gleiche Seite, \( k < 0 \) Gegenseite. Für \( k \ne 1 \) ist das Zentrum \( Z \) der einzige Fixpunkt – der einzige Punkt also, der auf sich selbst abgebildet wird.
2. Eigenschaften und Sonderfälle
Die zentrische Streckung ist keine Kongruenzabbildung wie die Verschiebung oder die Spiegelung – die Figur ändert ja ihre Größe. Sie ist eine Ähnlichkeitsabbildung: Original und Bild haben dieselbe Form. Genau das steckt in den folgenden Eigenschaften. Anders als bei der Achsenspiegelung bleibt dabei auch der Umlaufsinn erhalten: Läuft man im Original von \( A \) über \( B \) nach \( C \) gegen den Uhrzeigersinn, dann im Bild ebenso.
| winkeltreu | Jeder Winkel der Bildfigur ist genauso groß wie der entsprechende Winkel der Originalfigur. |
| geradentreu | Aus einer Geraden wird wieder eine Gerade, aus einer Strecke wieder eine Strecke. |
| parallelentreu | Jede Gerade, die nicht durch \( Z \) geht, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Jede Gerade durch \( Z \) ist dagegen eine Fixgerade – sie geht in sich selbst über. |
| kreistreu | Aus einem Kreis mit dem Radius \( r \) wird wieder ein Kreis, und zwar mit dem Radius \( |k| \cdot r \). |
| verhältnistreu | Alle Längen werden mit demselben Faktor \( |k| \) multipliziert, das Verhältnis zweier Strecken bleibt gleich. |
| nicht längentreu | Die Längen ändern sich – außer in den Sonderfällen \( k = 1 \) und \( k = -1 \). |
Der Flächeninhalt wächst mit \( k^2 \)
Ein Punkt, bei dem sehr viele Fehler passieren: Die Längen werden mit \( |k| \) multipliziert, der Flächeninhalt aber mit \( k^2 \). Das ist logisch, denn in jede Flächenformel gehen zwei Längen ein. Rechne es am Beschlagwinkel aus Kapitel 1 nach:
| Fläche des Originals | \( A = \dfrac{1}{2} \cdot 6\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 12\ \text{cm}^2 \) |
| Fläche des Bildes | \( A\‘ = \dfrac{1}{2} \cdot 12\ \text{cm} \cdot 8\ \text{cm} = 48\ \text{cm}^2 \) |
| Verhältnis | \( \dfrac{A\‘}{A} = \dfrac{48}{12} = 4 = 2^2 = k^2 \) |
Der markierte Winkel bei \( B \) und bei \( B\‘ \) ist gleich groß – nur die Schenkel sind doppelt so lang.
Die Sonderfälle \( k = 1 \) und \( k = -1 \)
Zwei Werte von \( k \) fallen aus der Reihe, weil bei ihnen \( |k| = 1 \) ist – die Längen bleiben also unverändert:
| \( k = 1 \) | Jeder Punkt bleibt, wo er ist: \( P\‘ = P \). Die Figur wird auf sich selbst abgebildet (identische Abbildung). |
| \( k = -1 \) | Die Figur wird am Zentrum punktgespiegelt, also um \( 180^\circ \) um \( Z \) gedreht. Sie ist zum Original kongruent. |
In beiden Fällen ist die zentrische Streckung ausnahmsweise doch längentreu – und damit eine Kongruenzabbildung. Der Fall \( k = 0 \) ist ausgeschlossen: Er würde jede Figur auf den einen Punkt \( Z \) zusammenziehen und wäre keine Abbildung einer Figur mehr.
Merke: Die zentrische Streckung ist winkeltreu, geradentreu, kreistreu und verhältnistreu und erhält den Umlaufsinn, aber sie ist nicht längentreu. Alle Längen werden mit \( |k| \) multipliziert, alle Flächeninhalte mit \( k^2 \). Original und Bild sind stets ähnlich. Nur für \( k = 1 \) (identische Abbildung) und \( k = -1 \) (Punktspiegelung an \( Z \)) sind sie sogar kongruent.
3. Der 1. Strahlensatz
Nimm die Figur aus Kapitel 1 und lass die Dreiecke weg – übrig bleiben zwei Strahlen, die von einem gemeinsamen Punkt \( S \) ausgehen, und zwei zueinander parallele Geraden, die beide Strahlen schneiden. Genau diese Figur heißt Strahlensatzfigur, und aus ihr liest du Verhältnisse ab. Weil du dabei immer vier Strecken zueinander ins Verhältnis setzt, heißen die beiden Strahlensätze in manchen Büchern auch Vierstreckensätze – gemeint ist dasselbe. Und sie gelten genauso, wenn die Parallelen die Strahlen nicht auf derselben, sondern auf der jeweils anderen Seite des Scheitels schneiden (Scheitelfigur).
Der 1. Strahlensatz macht eine Aussage über die Abschnitte auf den Strahlen:
In Worten: Die Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten sich zueinander wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl. Wichtig ist nur, dass du in beiden Brüchen dieselbe Sorte Abschnitt vergleichst – entweder immer von \( S \) aus gemessen, oder immer zwischen den Parallelen.
Konstruktionsbeispiel
Zeichne die Figur mit Geodreieck und Lineal: (1) Punkt \( S \) setzen und zwei Strahlen von \( S \) aus ziehen. (2) Auf dem ersten Strahl \( \overline{SA} = 5\ \text{cm} \) abtragen, auf dem zweiten \( \overline{SB} = 6\ \text{cm} \). (3) Durch \( A \) und \( B \) die Gerade zeichnen. (4) Mit dem Geodreieck eine Parallele dazu weiter außen zeichnen; sie schneidet die Strahlen in \( A\‘ \) und \( B\‘ \). (5) Messen: \( \overline{SA\‘} = 12{,}5\ \text{cm} \).
Die grün hervorgehobenen Strecken sind die beiden Parallelen – ohne sie gilt kein Strahlensatz.
Nachrechnen – eine unbekannte Länge bestimmen
Gegeben sind \( \overline{SA} = 5\ \text{cm} \), \( \overline{SA\‘} = 12{,}5\ \text{cm} \) und \( \overline{SB} = 6\ \text{cm} \). Gesucht ist \( \overline{SB\‘} \).
| 1. Strahlensatz ansetzen | \( \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SA\‘}} = \dfrac{\overline{SB}}{\overline{SB\‘}} \) |
| Werte einsetzen | \( \dfrac{5}{12{,}5} = \dfrac{6}{\overline{SB\‘}} \) |
| über Kreuz multiplizieren | \( 5 \cdot \overline{SB\‘} = 6 \cdot 12{,}5 = 75 \) |
| Ergebnis | \( \overline{SB\‘} = 15\ \text{cm} \) |
Probe: \( \dfrac{5}{12{,}5} = 0{,}4 \) und \( \dfrac{6}{15} = 0{,}4 \) ✓. Auch die zweite Form stimmt: \( \overline{AA\‘} = 12{,}5 – 5 = 7{,}5 \) und \( \overline{BB\‘} = 15 – 6 = 9 \), also \( \dfrac{5}{7{,}5} = \dfrac{2}{3} \) und \( \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} \) ✓.
Umkehrung: Parallelität nachweisen
Der 1. Strahlensatz gilt auch umgekehrt: Stimmen die Verhältnisse auf beiden Strahlen überein, dann müssen die beiden Geraden parallel sein. Damit kannst du Parallelität rechnerisch beweisen, ohne zu messen.
Beispiel: In einer Strahlensatzfigur ist \( \overline{SA} = 4\ \text{cm} \), \( \overline{SA\‘} = 6\ \text{cm} \), \( \overline{SB} = 6\ \text{cm} \), \( \overline{SB\‘} = 9\ \text{cm} \). Sind \( AB \) und \( A\’B\‘ \) parallel?
Die Verhältnisse sind gleich, also gilt \( AB \parallel A\’B\‘ \). Wäre dagegen \( \overline{SB\‘} = 8\ \text{cm} \), so wäre \( \tfrac{6}{8} = \tfrac{3}{4} \ne \tfrac{2}{3} \) – und die Geraden wären nicht parallel.
Merke: 1. Strahlensatz: Werden zwei von \( S \) ausgehende Strahlen von zwei parallelen Geraden geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen: \( \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SA\‘}} = \dfrac{\overline{SB}}{\overline{SB\‘}} \). Die Umkehrung gilt ebenfalls und dient dem Nachweis der Parallelität. Ohne Parallelen kein Strahlensatz – das ist die Voraussetzung, die du immer zuerst prüfst.
4. Der 2. Strahlensatz
Der 1. Strahlensatz vergleicht nur Abschnitte auf den Strahlen. Der 2. Strahlensatz bringt die Parallelstrecken selbst ins Spiel – und genau die brauchst du bei fast allen Anwendungsaufgaben, denn eine Baumhöhe oder eine Flussbreite ist so eine Parallelstrecke.
Wichtig ist die Einschränkung: Beim 2. Strahlensatz musst du die Abschnitte vom Scheitel \( S \) aus messen. Die Abschnitte zwischen den Parallelen darfst du hier nicht verwenden – \( \dfrac{\overline{AA\‘}}{\overline{A\’B\‘}} \) ergibt nichts Sinnvolles. Das ist der klassische Fehler in diesem Kapitel.
Konstruktionsbeispiel
Konstruiere: (1) Scheitel \( S \) und zwei Strahlen. (2) Mit dem Zirkel von \( S \) aus auf beiden Strahlen \( 5\ \text{cm} \) abtragen – das gibt \( A \) und \( B \) mit \( \overline{AB} = 4\ \text{cm} \). (3) Von \( S \) aus auf beiden Strahlen \( 12{,}5\ \text{cm} \) abtragen – das gibt \( A\‘ \) und \( B\‘ \). (4) Nachmessen: \( \overline{A\’B\‘} = 10\ \text{cm} \). (5) Mit dem Geodreieck kontrollieren, dass \( AB \parallel A\’B\‘ \) ist.
Die Parallelstrecke wird im selben Verhältnis gestreckt wie die Strahlenabschnitte – hier mit dem Faktor \( 2{,}5 \).
Nachrechnen
Gegeben \( \overline{SA} = 5\ \text{cm} \), \( \overline{SA\‘} = 12{,}5\ \text{cm} \), \( \overline{AB} = 4\ \text{cm} \). Gesucht \( \overline{A\’B\‘} \).
| 2. Strahlensatz ansetzen | \( \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SA\‘}} = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A\’B\‘}} \) |
| einsetzen | \( \dfrac{5}{12{,}5} = \dfrac{4}{\overline{A\’B\‘}} \) |
| über Kreuz | \( 5 \cdot \overline{A\’B\‘} = 4 \cdot 12{,}5 = 50 \) |
| Ergebnis | \( \overline{A\’B\‘} = 10\ \text{cm} \) |
Probe: \( \dfrac{4}{10} = 0{,}4 \) und \( \dfrac{5}{12{,}5} = 0{,}4 \) ✓. Der Streckfaktor ist \( k = 12{,}5 : 5 = 2{,}5 \), und tatsächlich ist \( 4\ \text{cm} \cdot 2{,}5 = 10\ \text{cm} \) ✓.
Damit ist auch der Zusammenhang zu Kapitel 1 klar: Eine Strahlensatzfigur ist eine zentrische Streckung mit dem Zentrum \( S \). Die Punkte \( A\‘ \) und \( B\‘ \) sind die Bildpunkte von \( A \) und \( B \) bei der Streckung mit \( k = 2{,}5 \). Die Strahlensätze sind also nichts Neues – sie sind die Rechenform der zentrischen Streckung.
Merke: 2. Strahlensatz: Die Parallelstrecken verhalten sich wie die zugehörigen, vom Scheitel aus gemessenen Strahlenabschnitte: \( \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A\’B\‘}} = \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SA\‘}} = \dfrac{\overline{SB}}{\overline{SB\‘}} \). Abschnitte zwischen den Parallelen (\( \overline{AA\‘} \), \( \overline{BB\‘} \)) dürfen hier nicht auftauchen. Merkhilfe: 1. Strahlensatz – nur Strahlen; 2. Strahlensatz – Strahl gegen Parallele, immer ab \( S \).
5. Anwendungen: Maßstab und unzugängliche Längen
Jetzt kommt der Teil, wegen dem das ganze Kapitel im Lehrplan steht. Mit den Strahlensätzen bestimmst du Längen, an die du nicht herankommst.
Beispiel 1 – Maßstab einer Bauzeichnung
Das Holzwerk Brandl zeichnet einen Werkstattschrank im Maßstab \( 1 : 20 \). Der Schrank ist in Wirklichkeit \( 2{,}40\ \text{m} \) hoch und \( 1{,}80\ \text{m} \) breit. Wie groß ist er auf der Zeichnung?
Ein Maßstab \( 1 : 20 \) ist nichts anderes als eine zentrische Streckung mit \( k = \tfrac{1}{20} = 0{,}05 \).
| Höhe in cm | \( 2{,}40\ \text{m} = 240\ \text{cm} \) |
| Höhe auf der Zeichnung | \( 240\ \text{cm} : 20 = 12\ \text{cm} \) |
| Breite in cm | \( 1{,}80\ \text{m} = 180\ \text{cm} \) |
| Breite auf der Zeichnung | \( 180\ \text{cm} : 20 = 9\ \text{cm} \) |
Probe: \( 12\ \text{cm} \cdot 20 = 240\ \text{cm} = 2{,}40\ \text{m} \) ✓ · \( 9\ \text{cm} \cdot 20 = 180\ \text{cm} = 1{,}80\ \text{m} \) ✓. Antwort: Auf der Zeichnung ist der Schrank 12 cm hoch und 9 cm breit.
Und ein Warnhinweis, der in Prüfungen regelmäßig Punkte kostet: Die Fläche der Schrankfront schrumpft nicht auf ein Zwanzigstel, sondern auf \( \left(\tfrac{1}{20}\right)^2 = \tfrac{1}{400} \). Echte Front: \( 2{,}40\ \text{m} \cdot 1{,}80\ \text{m} = 4{,}32\ \text{m}^2 = 43\,200\ \text{cm}^2 \). Zeichnung: \( 12\ \text{cm} \cdot 9\ \text{cm} = 108\ \text{cm}^2 \). Und tatsächlich ist \( 43\,200 : 108 = 400 \) ✓.
Beispiel 2 – Baumhöhe über den Schattenwurf
Vor der Werkhalle steht eine alte Linde. Merve stellt einen \( 1{,}50\ \text{m} \) langen Stab senkrecht auf den Boden; er wirft einen \( 2{,}00\ \text{m} \) langen Schatten. Zur selben Zeit ist der Schatten der Linde \( 12\ \text{m} \) lang. Wie hoch ist der Baum?
Weil die Sonne so weit weg ist, treffen ihre Strahlen praktisch parallel auf. Stab und Baum stehen beide senkrecht, sind also ebenfalls parallel. Damit hast du eine Strahlensatzfigur: Der Scheitel \( S \) ist die Schattenspitze, die beiden Strahlen sind der Boden und der Sonnenstrahl, die Parallelen sind Stab und Baum.
Beide Dreiecke – Stab mit seinem Schatten und Baum mit seinem Schatten – sind ähnlich, weil die Sonnenstrahlen parallel sind.
| Verhältnis ansetzen | \( \dfrac{h}{\text{Baumschatten}} = \dfrac{\text{Stabhöhe}}{\text{Stabschatten}} \) |
| einsetzen | \( \dfrac{h}{12\ \text{m}} = \dfrac{1{,}50\ \text{m}}{2{,}00\ \text{m}} = 0{,}75 \) |
| nach \( h \) auflösen | \( h = 0{,}75 \cdot 12\ \text{m} \) |
| Ergebnis | \( h = 9\ \text{m} \) |
Probe: \( \dfrac{9\ \text{m}}{12\ \text{m}} = 0{,}75 \) und \( \dfrac{1{,}50\ \text{m}}{2{,}00\ \text{m}} = 0{,}75 \) ✓. Antwort: Die Linde ist 9 m hoch.
Der wichtigste Handgriff bei solchen Aufgaben: Achte darauf, dass in beiden Brüchen dieselbe Größenart oben steht – hier oben immer die Höhe, unten immer der Schatten. Und rechne alle Längen vorher in dieselbe Einheit um.
Beispiel 3 – ein ähnliches Möbelmodell
Für die Messe baut das Holzwerk ein Modell des Werkstattschranks im Maßstab \( 1 : 4 \). Wie viel Furnier braucht die Modellfront im Vergleich zur echten Front von \( 4{,}32\ \text{m}^2 \)?
| Streckfaktor | \( k = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 \) |
| Flächenfaktor | \( k^2 = 0{,}0625 = \dfrac{1}{16} \) |
| Modellfront | \( 4{,}32\ \text{m}^2 : 16 = 0{,}27\ \text{m}^2 \) |
Probe über die Maße: Modellhöhe \( 2{,}40\ \text{m} : 4 = 0{,}60\ \text{m} \), Modellbreite \( 1{,}80\ \text{m} : 4 = 0{,}45\ \text{m} \), Fläche \( 0{,}60\ \text{m} \cdot 0{,}45\ \text{m} = 0{,}27\ \text{m}^2 \) ✓. Antwort: Die Modellfront misst 0,27 m², also nur ein Sechzehntel der echten Front.
Merke: Ein Maßstab \( 1 : n \) ist eine zentrische Streckung mit \( k = \tfrac{1}{n} \): Längen werden durch \( n \) geteilt, Flächen durch \( n^2 \). Bei unzugänglichen Längen (Baumhöhe, Turmhöhe, Flussbreite) suchst du zuerst die Strahlensatzfigur: Wo ist der Scheitel, wo sind die beiden Strahlen, welche zwei Strecken sind parallel? Dann setzt du das Verhältnis an – oben immer dieselbe Größenart, alle Längen in derselben Einheit – und rechnest über Kreuz.
6. Nur für Mathematik I
Alles ab hier gehört zum Lehrplan der Ausrichtung Mathematik I. In Mathematik II und III endet der Lernbereich mit Kapitel 5 – du kannst dann direkt zum Kapitel „Das Wichtigste in Kürze“ springen.
6.1 Das Vielfache eines Vektors
Im Koordinatensystem lässt sich die zentrische Streckung ohne Zirkel ausrechnen. Der Verbindungsvektor von \( Z \) nach \( P \) wird einfach mit \( k \) multipliziert:
Einen Vektor multiplizierst du mit einer Zahl, indem du jede Koordinate mit dieser Zahl multiplizierst.
Beispiel – Bildpunkt berechnen. \( Z(1\,|\,2) \), \( P(4\,|\,4) \), \( k = 2 \).
| Vektor \( \vec{ZP} \) | \( (4 – 1 \,;\, 4 – 2) = (3\,;\,2) \) |
| mit \( k = 2 \) multiplizieren | \( 2 \cdot (3\,;\,2) = (6\,;\,4) \) |
| Bildpunkt \( P\‘ = Z + (6\,;\,4) \) | \( P\'(7\,|\,6) \) |
Probe: \( \vec{ZP\‘} = (7-1\,;\,6-2) = (6\,;\,4) = 2 \cdot (3\,;\,2) \) ✓.
Beispiel – Streckfaktor bestimmen. \( Z(1\,|\,2) \), \( P(4\,|\,4) \), \( P\'(10\,|\,8) \). Es ist \( \vec{ZP} = (3\,;\,2) \) und \( \vec{ZP\‘} = (9\,;\,6) \). Wegen \( 9 = 3 \cdot 3 \) und \( 6 = 3 \cdot 2 \) ist \( k = 3 \). Beide Koordinaten müssen denselben Faktor liefern – sonst liegt \( P\‘ \) gar nicht auf der Geraden \( ZP \) und es ist keine zentrische Streckung.
Und der Urpunkt? Ist \( P\'(7\,|\,6) \) mit \( Z(1\,|\,2) \) und \( k = 2 \) gegeben, rechnest du rückwärts: \( \vec{ZP} = \tfrac{1}{2} \cdot (6\,;\,4) = (3\,;\,2) \), also \( P(4\,|\,4) \) ✓.
6.2 Das Parameterverfahren: gestreckte Geraden und Parabeln
Was wird aus einer Funktionsgleichung, wenn du ihren Graphen zentrisch streckst? Die Antwort findest du mit dem Parameterverfahren in drei Schritten: (1) Die Abbildungsgleichungen \( x\‘ = k \cdot x \) und \( y\‘ = k \cdot y \) nach \( x \) und \( y \) auflösen (Streckzentrum ist hier der Ursprung). (2) Diese Terme in die Gleichung der Originalfigur einsetzen. (3) Nach \( y\‘ \) auflösen und die Striche weglassen.
Beispiel 1 – eine Gerade. Gestreckt wird \( g:\ y = 2x – 3 \) mit \( Z = O(0\,|\,0) \) und \( k = 2 \).
| Abbildungsgleichungen | \( x\‘ = 2x \), \( y\‘ = 2y \) |
| nach \( x \), \( y \) auflösen | \( x = \dfrac{x\‘}{2} \), \( y = \dfrac{y\‘}{2} \) |
| in \( y = 2x – 3 \) einsetzen | \( \dfrac{y\‘}{2} = 2 \cdot \dfrac{x\‘}{2} – 3 \) |
| \( \cdot 2 \) | \( y\‘ = 2x\‘ – 6 \) |
| Bildgerade | \( g\‘:\ y = 2x – 6 \) |
Probe an einem Punkt: \( P(2\,|\,1) \) liegt auf \( g \), denn \( 2 \cdot 2 – 3 = 1 \) ✓. Sein Bildpunkt ist \( P\'(4\,|\,2) \). Und \( P\‘ \) liegt auf \( g\‘ \), denn \( 2 \cdot 4 – 6 = 2 \) ✓. Beachte: Die Steigung bleibt \( 2 \) – \( g \) und \( g\‘ \) sind parallel, genau wie es die Parallelentreue verlangt.
Beispiel 2 – eine Parabel. Gestreckt wird \( p:\ y = x^2 \) mit \( Z = O \) und \( k = 2 \).
| einsetzen | \( \dfrac{y\‘}{2} = \left( \dfrac{x\‘}{2} \right)^{2} = \dfrac{x\’^{2}}{4} \) |
| \( \cdot 2 \) | \( y\‘ = \dfrac{x\’^{2}}{2} \) |
| Bildparabel | \( p\‘:\ y = 0{,}5\,x^{2} \) |
Probe: \( P(2\,|\,4) \) liegt auf \( p \) ✓, sein Bild ist \( P\'(4\,|\,8) \), und \( 0{,}5 \cdot 4^2 = 0{,}5 \cdot 16 = 8 \) ✓. Die Bildparabel ist weiter geöffnet als das Original – beim Strecken einer Parabel ändert sich also der Formfaktor, anders als bei der Geraden die Steigung.
6.3 Strecken teilen – und der Goldene Schnitt
Eine Strecke in einem vorgegebenen Verhältnis zu teilen ist reine Verhältnisrechnung: Du zerlegst die Gesamtlänge in so viele gleiche Teile, wie die Verhältniszahlen zusammen ergeben.
Beispiel: Eine Leimholzplatte von \( 12\ \text{cm} \) Länge soll im Verhältnis \( 2 : 3 \) geteilt werden.
| Anzahl der Teile | \( 2 + 3 = 5 \) |
| ein Teil | \( 12\ \text{cm} : 5 = 2{,}4\ \text{cm} \) |
| Teilstücke | \( 2 \cdot 2{,}4 = 4{,}8\ \text{cm} \) und \( 3 \cdot 2{,}4 = 7{,}2\ \text{cm} \) |
Probe: \( 4{,}8 + 7{,}2 = 12 \) ✓ und \( 4{,}8 : 7{,}2 = 2 : 3 \) ✓.
Der Goldene Schnitt ist ein besonderes Teilverhältnis: Der größere Teil \( a \) verhält sich zum kleineren Teil \( b \) genau so wie die ganze Strecke zum größeren Teil.
Für eine Strecke von \( 10\ \text{cm} \) ergibt sich \( a = 10\ \text{cm} : 1{,}618 \approx 6{,}18\ \text{cm} \) und damit \( b \approx 3{,}82\ \text{cm} \).
Probe: \( 6{,}18 : 3{,}82 \approx 1{,}618 \) ✓ und \( 10 : 6{,}18 \approx 1{,}618 \) ✓. Beide Verhältnisse stimmen überein – das ist genau die Bedingung des Goldenen Schnitts. Tischler und Gestalter nutzen dieses Verhältnis, weil Flächen mit diesen Seitenverhältnissen als besonders ausgewogen empfunden werden.
6.4 Der Schwerpunkt eines Dreiecks
Verbindest du in einem Dreieck jeden Eckpunkt mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite, erhältst du die drei Seitenhalbierenden. Sie schneiden sich in einem einzigen Punkt, dem Schwerpunkt \( S \) – und dieser Punkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis \( 2 : 1 \), vom Eckpunkt aus gemessen. Legst du das Dreieck aus Sperrholz auf eine Bleistiftspitze in \( S \), bleibt es im Gleichgewicht.
Gitterweite 1 LE. Der Schwerpunkt liegt immer doppelt so weit vom Eckpunkt entfernt wie von der Seitenmitte.
Zeichnerisch findest du \( S \), indem du zwei Seitenhalbierende konstruierst (Seitenmitte jeweils mit dem Zirkel als Mittelsenkrechte oder durch Abmessen) und ihren Schnittpunkt markierst. Die dritte Seitenhalbierende ist dann nur noch die Kontrolle – sie muss durch denselben Punkt gehen.
Rechnerisch ist es noch einfacher: Der Schwerpunkt ist der Mittelwert der drei Eckpunkte.
Probe zum Bild: Mit \( A(0\,|\,0) \), \( B(6\,|\,0) \), \( C(3\,|\,6) \) ist \( S(3\,|\,2) \). Die Seitenmitte von \( \overline{AB} \) ist \( M_{AB}(3\,|\,0) \). Dann ist \( \overline{CS} = 6 – 2 = 4 \) und \( \overline{SM_{AB}} = 2 – 0 = 2 \), also \( \overline{CS} : \overline{SM_{AB}} = 4 : 2 = 2 : 1 \) ✓.
6.5 Ähnlichkeit von Dreiecken
Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn sie dieselbe Form haben – wenn also die eine durch eine zentrische Streckung (gegebenenfalls kombiniert mit einer Kongruenzabbildung) aus der anderen hervorgeht. Man schreibt \( ABC \sim A\’B\’C\‘ \).
Für Dreiecke gibt es drei bequeme Prüfkriterien. Es genügt, wenn eines davon erfüllt ist:
| Zwei Winkel | Stimmen zwei Winkel überein, stimmt wegen der Winkelsumme auch der dritte – die Dreiecke sind ähnlich. |
| Alle drei Seiten | Stehen alle drei Seitenpaare im selben Verhältnis, sind die Dreiecke ähnlich. |
| Zwei Seiten und der Zwischenwinkel | Zwei Seitenpaare im selben Verhältnis und der eingeschlossene Winkel gleich groß – ähnlich. |
Beispiel: Dreieck \( ABC \) hat die Seiten \( a = 3\ \text{cm} \), \( b = 4\ \text{cm} \), \( c = 5\ \text{cm} \). Dreieck \( A\’B\’C\‘ \) hat \( a\‘ = 4{,}5\ \text{cm} \), \( b\‘ = 6\ \text{cm} \), \( c\‘ = 7{,}5\ \text{cm} \). Sind sie ähnlich?
Alle drei Verhältnisse sind gleich, also gilt \( ABC \sim A\’B\’C\‘ \) mit dem Ähnlichkeitsfaktor \( k = 1{,}5 \). Weil \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \) gilt, ist \( ABC \) rechtwinklig – und wegen der Winkeltreue ist \( A\’B\’C\‘ \) es ebenfalls. Probe: \( 4{,}5^2 + 6^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25 = 7{,}5^2 \) ✓.
Und der Flächenvergleich: \( A_{ABC} = \tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\ \text{cm}^2 \), \( A_{A\’B\’C\‘} = \tfrac{1}{2} \cdot 4{,}5 \cdot 6 = 13{,}5\ \text{cm}^2 \), und \( 13{,}5 : 6 = 2{,}25 = 1{,}5^2 = k^2 \) ✓.
Merke (Mathematik I): Im Koordinatensystem gilt \( \vec{ZP\‘} = k \cdot \vec{ZP} \) – jede Vektorkoordinate wird mit \( k \) multipliziert. Beim Parameterverfahren setzt du \( x = \tfrac{x\‘}{k} \) und \( y = \tfrac{y\‘}{k} \) in die Originalgleichung ein. Der Schwerpunkt ist der Mittelwert der drei Eckpunkte und teilt jede Seitenhalbierende vom Eckpunkt aus im Verhältnis \( 2 : 1 \). Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Winkel übereinstimmen, alle drei Seitenverhältnisse gleich sind oder zwei Seitenverhältnisse samt Zwischenwinkel übereinstimmen.
7. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die sechs Kernpunkte dieser Seite:
- Eine zentrische Streckung braucht Zentrum \( Z \) und Faktor \( k \ne 0 \): \( \overline{ZP\‘} = |k| \cdot \overline{ZP} \). Der Betrag bestimmt die Größe, das Vorzeichen die Seite.
- Sie ist winkel-, geraden-, kreis- und verhältnistreu (Geraden, die nicht durch \( Z \) gehen, werden auf parallele Bildgeraden abgebildet), aber nicht längentreu. Nur \( k = 1 \) (Identität) und \( k = -1 \) (Punktspiegelung) sind Sonderfälle mit gleicher Länge.
- Längen werden mit \( |k| \) multipliziert, Flächen mit \( k^2 \) – die häufigste Fehlerquelle bei Maßstabsaufgaben.
- 1. Strahlensatz (nur Strahlenabschnitte): \( \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SA\‘}} = \dfrac{\overline{SB}}{\overline{SB\‘}} \). Seine Umkehrung beweist Parallelität.
- 2. Strahlensatz (Parallelstrecken gegen Strahlenabschnitte, immer ab \( S \) gemessen): \( \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A\’B\‘}} = \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SA\‘}} \). Abschnitte zwischen den Parallelen gehören hier nicht hinein.
- Bei jeder Anwendungsaufgabe: Strahlensatzfigur suchen (Scheitel – zwei Strahlen – zwei Parallelen), Einheiten angleichen, Verhältnis ansetzen, über Kreuz rechnen, Antwortsatz mit Einheit.
8. So fragt die Abschlussprüfung
In den Original-Abschlussprüfungen erkennst du diese Aufgaben daran, dass eine Figur zwei Strahlen von einem gemeinsamen Punkt aus und darin zwei parallele Strecken enthält – oder dass ein Maßstab genannt wird. Vier typische Formen aus dem Holzwerk-Kontext:
Aufgabe 1 – zentrische Streckung: Längen und Fläche. Lena hat einen Prototyp eines Regalbretts mit 30 cm × 20 cm gebaut. Für die Serie wird er zentrisch mit \( k = 2{,}5 \) gestreckt. Berechne die neuen Kantenlängen und die neue Fläche.
| Längen mit \( |k| \) | \( 30\ \text{cm} \cdot 2{,}5 = 75\ \text{cm} \), \( 20\ \text{cm} \cdot 2{,}5 = 50\ \text{cm} \) |
| Fläche des Originals | \( A = 30 \cdot 20 = 600\ \text{cm}^2 \) |
| Fläche mit \( k^2 \) | \( A\‘ = 600\ \text{cm}^2 \cdot 2{,}5^2 = 600 \cdot 6{,}25 \) |
| Bildfläche | \( A\‘ = 3750\ \text{cm}^2 \) |
Gegenprobe: Direkt aus den Bildkanten: \( 75 \cdot 50 = 3750 \) ✓. Und \( 3750 : 600 = 6{,}25 = 2{,}5^2 \) ✓. Antwort: Das Serienbrett misst 75 cm × 50 cm und hat 3750 cm² Fläche. Merke: Die Fläche wird nicht mit 2,5, sondern mit \( 2{,}5^2 = 6{,}25 \) multipliziert.
Aufgabe 2 – 1. Strahlensatz: Strahlenabschnitt gesucht. Beim Ausrichten einer Absauganlage gehen von einem Punkt \( S \) zwei Rohrstrahlen aus. Auf dem ersten Strahl gilt \( \overline{SA} = 4\ \text{m} \) und \( \overline{SA\‘} = 10\ \text{m} \), auf dem zweiten \( \overline{SB} = 6\ \text{m} \). Die Verbindungen \( \overline{AB} \) und \( \overline{A\’B\‘} \) sind parallel. Wie lang ist \( \overline{SB\‘} \)?
| 1. Strahlensatz | \( \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SA\‘}} = \dfrac{\overline{SB}}{\overline{SB\‘}} \) |
| einsetzen | \( \dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{\overline{SB\‘}} \) |
| über Kreuz | \( 4 \cdot \overline{SB\‘} = 6 \cdot 10 = 60 \) |
| Ergebnis | \( \overline{SB\‘} = 60 : 4 = 15\ \text{m} \) |
Gegenprobe: \( \frac{4}{10} = 0{,}4 \) und \( \frac{6}{15} = 0{,}4 \) ✓. Zweite Kontrolle über den Streckfaktor: \( 10 : 4 = 2{,}5 \), also muss auch \( \overline{SB\‘} = 6 \cdot 2{,}5 = 15 \) gelten ✓. Antwort: Der Abschnitt \( \overline{SB\‘} \) ist 15 m lang.
Aufgabe 3 – 2. Strahlensatz: Parallelstrecke gesucht. Ein dreieckiges Verschnittstück wird parallel zur Grundseite geschnitten. Gemessen sind \( \overline{SA} = 18\ \text{cm} \), \( \overline{SA\‘} = 30\ \text{cm} \) und die innere Parallelstrecke \( \overline{AB} = 24\ \text{cm} \). Wie lang ist die äußere Parallelstrecke \( \overline{A\’B\‘} \)?
| 2. Strahlensatz | \( \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A\’B\‘}} = \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SA\‘}} \) |
| einsetzen | \( \dfrac{24}{\overline{A\’B\‘}} = \dfrac{18}{30} \) |
| über Kreuz | \( 18 \cdot \overline{A\’B\‘} = 24 \cdot 30 = 720 \) |
| Ergebnis | \( \overline{A\’B\‘} = 720 : 18 = 40\ \text{cm} \) |
Gegenprobe: Streckfaktor \( 30 : 18 = \frac{5}{3} \), also \( 24 \cdot \frac{5}{3} = 40 \) ✓. Größenordnung: Der äußere Schnitt liegt weiter vom Scheitel weg, muss also länger sein – \( 40 > 24 \) ✓. Antwort: Die äußere Parallelstrecke ist 40 cm lang.
Aufgabe 4 – Umkehrung: Sind die Schnitte wirklich parallel? Tobias hat zwei Schnitte in ein Zuschnittdreieck gelegt. Gemessen: \( \overline{SA} = 12\ \text{cm} \), \( \overline{SA\‘} = 30\ \text{cm} \), \( \overline{SB} = 16\ \text{cm} \), \( \overline{SB\‘} = 42\ \text{cm} \). Herr Sailer fragt: Sind \( \overline{AB} \) und \( \overline{A\’B\‘} \) parallel?
| Verhältnis auf dem 1. Strahl | \( \dfrac{12}{30} = 0{,}4 \) |
| Verhältnis auf dem 2. Strahl | \( \dfrac{16}{42} = \dfrac{8}{21} \approx 0{,}381 \) |
| Vergleich | \( 0{,}4 \ne 0{,}381 \) \( \Rightarrow \) nicht parallel |
Gegenprobe: Parallel wäre es genau bei \( \overline{SB\‘} = 16 \cdot \frac{30}{12} = 16 \cdot 2{,}5 = 40\ \text{cm} \) – gemessen sind aber 42 cm ✓. Antwort: Die Verhältnisse stimmen nicht überein, die beiden Schnitte sind nicht parallel. Der zweite Schnitt müsste 2 cm weiter innen liegen. Beachte: Die Umkehrung des 1. Strahlensatzes ist der einzige rechnerische Weg, Parallelität zu beweisen – hinschauen genügt nicht.
9. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Fläche mit \( k \) statt mit \( k^2 \) gestreckt. Ursache: Der Streckfaktor wird auf alle Größen gleich angewendet. Vermeidung: Längen mal \( |k| \), Flächen mal \( k^2 \) – kontrolliere über die Einheit: \( \text{cm}^2 \) bedeutet zwei Faktoren, also zwei Mal \( k \).
- Beim 2. Strahlensatz vom falschen Punkt aus gemessen. Ursache: Es wird der Abschnitt \( \overline{AA\‘} \) zwischen den Parallelen eingesetzt statt \( \overline{SA} \) bzw. \( \overline{SA\‘} \). Vermeidung: Jede Strecke in einem Strahlensatzverhältnis beginnt beim Scheitel \( S \) – die Abschnitte zwischen den Parallelen gehören nur in den 1. Strahlensatz in seiner Abschnittsform.
- Die beiden Strahlensätze verwechselt. Ursache: Es wird ein Verhältnis aus einer Parallelstrecke und einem Strahlenabschnitt desselben Strahls gebildet. Vermeidung: 1. Strahlensatz vergleicht nur Abschnitte auf den Strahlen, 2. Strahlensatz vergleicht die Parallelstrecken mit den Strahlenabschnitten – niemals gemischt.
- Verhältnisse ungleich orientiert angesetzt. Ursache: Links steht „klein durch groß“, rechts „groß durch klein“. Vermeidung: Schreibe in beiden Brüchen dieselbe Reihenfolge – z. B. immer die kleinere (innere) Strecke oben. Ein Kontrollblick auf die Größenordnung deckt den Dreher sofort auf.
- Einheiten nicht angeglichen. Ursache: Eine Strecke steht in Metern, die andere in Zentimetern, und wird ungerechnet ins Verhältnis gesetzt. Vermeidung: Vor dem Ansetzen alle Maße auf dieselbe Einheit bringen – das Verhältnis selbst ist dann einheitenlos.
- Parallelität vorausgesetzt statt geprüft. Ursache: Der Strahlensatz wird angewendet, obwohl in der Aufgabe gar nicht steht, dass die Strecken parallel sind. Vermeidung: Ohne Parallelität gilt kein Strahlensatz. Steht sie nicht im Text, musst du sie erst mit der Umkehrung des 1. Strahlensatzes nachweisen.
- Vorzeichen von \( k \) ignoriert. Ursache: Bei negativem Streckfaktor wird das Bild auf derselben Seite von \( Z \) gezeichnet. Vermeidung: Der Betrag \( |k| \) legt die Größe fest, das Vorzeichen die Seite – bei \( k < 0 \) liegt das Bild auf der Gegenseite des Zentrums.
Weiterlernen
- Parallelverschiebung – die erste Abbildung, die du kennengelernt hast; sie ist im Gegensatz zur Streckung längentreu.
- Satz des Pythagoras – damit prüfst du, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, und berechnest fehlende Seiten.
- Trigonometrie – der nächste Schritt: Längen über Winkel statt über Parallelen bestimmen.
- Quadratische Funktionen – die Parabeln, die im Parameterverfahren gestreckt werden.
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