Mathematik Realschule Bayern · Klasse 7 · Lernbereich 2 „Parallelverschiebung“ (LehrplanPLUS) · BY

Parallelverschiebung: mit Vektoren abbilden, Flächen berechnen, Winkel begründen

Eine Figur verschieben – das klingt nach der einfachsten Sache der Welt. Und die Vorschrift ist es auch: Jeder Punkt wandert um dieselbe Strecke in dieselbe Richtung. Genau diese „Strecke mit Richtung“ heißt Vektor, und sie ist der Schlüssel zu einem ganzen Lernbereich. Mit Vektoren berechnest du fehlende Eckpunkte eines Parallelogramms, den Mittelpunkt einer Strecke und – mit der zweireihigen Determinante – den Flächeninhalt eines Vielecks allein aus Koordinaten. Und weil beim Verschieben Geraden parallel bleiben, gehören die Sätze über Winkel an Parallelen und die Innenwinkelsumme untrennbar dazu.

Inhalt dieser Seite

1. Der Verschiebungsvektor: Punkte und Figuren abbilden
2. Eigenschaften, Gegenvektor und Umkehrabbildung
3. Mit Vektoren rechnen: Parallelogramm-Ecken und Streckenmittelpunkt
4. Flächeninhalt mit der zweireihigen Determinante
5. Winkel an parallelen Geraden
6. Innenwinkelsumme und Außenwinkelsatz
7. Das Wichtigste in Kürze

1. Der Verschiebungsvektor: Punkte und Figuren abbilden

Bei einer Parallelverschiebung wandert jeder Punkt der Figur um dieselbe Strecke in dieselbe Richtung. Diese Verschiebung beschreibst du mit einem Vektor. Ein Vektor besteht aus zwei Zahlen, die untereinander in runden Klammern stehen:

Positive Zahlen bedeuten nach rechts bzw. nach oben, negative nach links bzw. nach unten. Aus dieser Schreibweise ergibt sich unmittelbar die Abbildungsvorschrift: Du addierst die obere Zahl zur \( x \)-Koordinate und die untere zur \( y \)-Koordinate.

Der Bildpunkt bekommt einen Strich: aus \( P \) wird \( P\‘ \) (gelesen: „P Strich“). Eine ganze Figur bildest du ab, indem du jeden einzelnen Eckpunkt nach dieser Vorschrift verschiebst und die Bildpunkte anschließend genauso verbindest wie die Originalpunkte.

Beispiel – ein Dreieck verschieben

Das Holzwerk Brandl in Rosenheim fräst dreieckige Konsolen aus einer Sperrholzplatte. Die erste Konsole hat in der Zuschnittzeichnung die Ecken \( A(1\,|\,1) \), \( B(4\,|\,5) \) und \( C(7\,|\,1) \). Die zweite Konsole soll dieselbe Form haben, aber um \( \vec{v} = \dbinom{5}{3} \) versetzt liegen. Berechne die Eckpunkte.

Die drei Pfeile sind gleich lang, gleich gerichtet und parallel – das ist die Parallelverschiebung.

Zeichnest du das Bilddreieck, dann verbindest du \( A\‘ \) mit \( B\‘ \), \( B\‘ \) mit \( C\‘ \) und \( C\‘ \) mit \( A\‘ \) – in genau derselben Reihenfolge wie im Original. Verbindest du falsch, entsteht ein anderes Dreieck. Beachte außerdem: Der Pfeil von \( A \) nach \( A\‘ \) ist nur eine Darstellung des Vektors. Derselbe Vektor \( \dbinom{5}{3} \) lässt sich an jedem beliebigen Punkt der Ebene ansetzen; alle diese Pfeile sind gleich lang, parallel und gleich gerichtet.

2. Eigenschaften, Gegenvektor und Umkehrabbildung

Weil alle Punkte denselben Vektor bekommen, ändert sich an der Figur selbst nichts: Sie wird nur an eine andere Stelle geschoben. Deshalb ist die Parallelverschiebung eine Kongruenzabbildung – Bild und Urbild sind deckungsgleich. Daraus folgen vier Eigenschaften, die du in Begründungen verwenden darfst:

• längentreu: Jede Strecke ist genauso lang wie ihre Bildstrecke.
• winkeltreu: Jeder Winkel ist genauso groß wie sein Bildwinkel.
• geradentreu und parallelentreu: Aus einer Geraden wird eine Gerade, und sie ist zur Bildgeraden parallel. Parallele Geraden bleiben parallel.
• umlaufsinntreu: Der Umlaufsinn \( A \to B \to C \) bleibt erhalten – anders als bei der Achsenspiegelung wird nichts seitenverkehrt.

Aus Längen- und Winkeltreue folgt sofort: Auch der Flächeninhalt bleibt unverändert. Ein verschobenes Zuschnittteil verbraucht exakt gleich viel Holz.

Beispiel – die Längentreue nachrechnen

Wir prüfen am Dreieck aus Kapitel 1 nach, ob die Seite \( \overline{AB} \) wirklich genauso lang ist wie \( \overline{A\’B\‘} \). Dazu bildest du jeweils den Vektor von einem Punkt zum anderen: Du rechnest Zielpunkt minus Startpunkt, jede Koordinate für sich.

Beide Vektoren sind identisch, also sind die Strecken gleich lang und zueinander parallel. Genauso liefert \( \overrightarrow{BC} = \dbinom{7-4}{1-5} = \dbinom{3}{-4} \) und \( \overrightarrow{B\’C\‘} = \dbinom{12-9}{4-8} = \dbinom{3}{-4} \), ebenfalls Länge 5. Das Dreieck ist also gleichschenklig – und sein Bild ist es natürlich auch.

Gegenvektor und Umkehrabbildung

Willst du die Verschiebung rückgängig machen, verschiebst du um denselben Betrag in die entgegengesetzte Richtung. Der dazu gehörende Vektor heißt Gegenvektor. Du erhältst ihn, indem du bei beiden Zahlen das Vorzeichen umkehrst:

Die Umkehrabbildung ist also selbst wieder eine Parallelverschiebung – die um \( -\vec{v} \). Probe an \( A\'(6\,|\,4) \): \( A\'(6-5\,|\,4-3) = (1\,|\,1) = A \) ✓. Ebenso \( B\'(9-5\,|\,8-3) = (4\,|\,5) = B \) ✓ und \( C\'(12-5\,|\,4-3) = (7\,|\,1) = C \) ✓. Alle drei Punkte landen wieder am Ausgangsort.

Nacheinander ausgeführt heben sich \( \vec{v} \) und \( -\vec{v} \) auf: Die Figur liegt wieder am Start.

3. Mit Vektoren rechnen: Parallelogramm-Ecken und Streckenmittelpunkt

Zwei Vektoren addierst du, indem du die oberen und die unteren Zahlen getrennt addierst:

Anschaulich heißt das: Erst um den einen Vektor verschieben, dann um den anderen – das Ergebnis ist wieder eine einzige Parallelverschiebung. Zwei besonders wichtige Anwendungen folgen daraus.

Beispiel 1 – den vierten Eckpunkt eines Parallelogramms berechnen

Von einer parallelogrammförmigen Tischplatte sind in der Zeichnung drei Ecken bekannt: \( A(1\,|\,1) \), \( B(7\,|\,2) \) und \( C(9\,|\,7) \). Gesucht ist \( D \), sodass \( ABCD \) ein Parallelogramm ist.

Der entscheidende Gedanke: In einem Parallelogramm \( ABCD \) sind die Seiten \( \overline{AD} \) und \( \overline{BC} \) parallel und gleich lang. Als Vektoren geschrieben bedeutet das \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \). Du gelangst also von \( A \) aus mit demselben Vektor nach \( D \), mit dem du von \( B \) aus nach \( C \) kommst.

Probe über die zweite Seitenpaarung: \( \overrightarrow{AB} = \dbinom{7-1}{2-1} = \dbinom{6}{1} \) und \( \overrightarrow{DC} = \dbinom{9-3}{7-6} = \dbinom{6}{1} \) ✓. Beide Seitenpaare sind parallel und gleich lang, also ist \( ABCD \) tatsächlich ein Parallelogramm.

Beispiel 2 – der Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt liegt genau in der Mitte, also mittelt man beide Koordinaten einzeln:

In jedem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Das kannst du an unserem Beispiel prüfen: Der Mittelpunkt von \( \overline{AC} \) muss derselbe Punkt sein wie der Mittelpunkt von \( \overline{BD} \).

Beide Rechnungen liefern denselben Punkt \( M(5\,|\,4) \) ✓. Das ist zugleich eine schöne Kontrolle für Beispiel 1: Hättest du \( D \) falsch berechnet, würden die beiden Diagonalenmittelpunkte auseinanderfallen.

Beide grünen Pfeile stellen denselben Vektor \( \dbinom{2}{5} \) dar – einmal von \( B \), einmal von \( A \) aus angesetzt.

4. Flächeninhalt mit der zweireihigen Determinante

Bisher hast du Flächeninhalte über Grundlinie und Höhe berechnet. Bei einem schief im Koordinatensystem liegenden Dreieck ist die Höhe aber mühsam zu bestimmen. Die zweireihige Determinante umgeht das vollständig: Sie braucht nur die Koordinaten.

Zwei Vektoren \( \vec{u} = \dbinom{u_1}{u_2} \) und \( \vec{w} = \dbinom{w_1}{w_2} \), die von demselben Punkt ausgehen, spannen ein Parallelogramm auf. Seinen Flächeninhalt liefert die Determinante – du multiplizierst über Kreuz und subtrahierst:

Der Flächeninhalt ist der Betrag dieser Zahl, denn ein Flächeninhalt ist nie negativ. Das Vorzeichen verrät nur den Umlaufsinn. Das Dreieck ist die Hälfte des Parallelogramms:

Beispiel 1 – Dreiecksfläche aus Koordinaten

Aus einer Sperrholzplatte sägt das Holzwerk ein dreieckiges Reststück mit den Ecken \( A(1\,|\,1) \), \( B(7\,|\,2) \) und \( C(9\,|\,7) \). Wähle \( A \) als gemeinsamen Ausgangspunkt und bilde die beiden Vektoren zu den anderen Ecken.

Kontrolle durch Zerlegung: Lege ein achsenparalleles Rechteck um das Dreieck. Es reicht von \( x = 1 \) bis \( x = 9 \) und von \( y = 1 \) bis \( y = 7 \). Die Diagonale von \( A(1|1) \) nach \( C(9|7) \) teilt es in zwei Hälften zu je \( \tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\ \text{FE} \); \( B \) liegt in der unteren Hälfte. Von diesen 24 FE ziehst du die beiden rechtwinkligen Restdreiecke ab – mit dem Hilfspunkt \( P(9\,|\,1) \):

Beide Wege liefern 14 FE. Die Determinante war deutlich kürzer – und sie funktioniert auch dann noch, wenn kein einziger Punkt günstig liegt.

Beispiel 2 – Parallelogrammfläche

Nimm das Parallelogramm aus Kapitel 3: \( A(1\,|\,1) \), \( B(7\,|\,2) \), \( C(9\,|\,7) \), \( D(3\,|\,6) \). Von \( A \) aus spannen \( \overrightarrow{AB} = \dbinom{6}{1} \) und \( \overrightarrow{AD} = \dbinom{2}{5} \) genau dieses Parallelogramm auf.

Kontrolle: Die Diagonale \( \overline{AC} \) zerlegt das Parallelogramm in die Dreiecke \( ABC \) und \( ACD \). Das erste hat nach Beispiel 1 den Inhalt 14 FE. Für das zweite gilt mit \( \overrightarrow{AC} = \dbinom{8}{6} \) und \( \overrightarrow{AD} = \dbinom{2}{5} \): \( D = 8 \cdot 5 – 6 \cdot 2 = 40 – 12 = 28 \), also ebenfalls 14 FE. Zusammen \( 14 + 14 = 28\ \text{FE} \) ✓.

Das Dreieck ist immer genau die halbe aufgespannte Parallelogrammfläche.

Ein nützlicher Sonderfall: Ist \( D = 0 \), so ist der Flächeninhalt null – die drei Punkte liegen dann auf einer Geraden. Das ist die schnellste Methode, um zu prüfen, ob drei Punkte kollinear sind.

Beispiel 3 – weitere Vielecke zerlegen (zusätzlich für Mathematik I)

In Mathematik I bleibt es nicht bei Dreieck und Viereck. Das Verfahren trägt aber ohne jede neue Formel weiter: Du zerlegst das Vieleck von einer Ecke aus durch Diagonalen in Dreiecke und addierst deren Flächeninhalte. Ein \( n \)-Eck zerfällt dabei stets in \( n – 2 \) Dreiecke.

Beim Holzwerk Brandl fällt nach dem Zuschnitt ein fünfeckiges Verschnittstück an. In der Zeichnung hat es die Ecken \( P_1(0\,|\,0) \), \( P_2(8\,|\,0) \), \( P_3(10\,|\,5) \), \( P_4(4\,|\,9) \) und \( P_5(0\,|\,6) \). Eine Längeneinheit entspricht 10 cm. Lohnt sich das Aufheben?

Zerlege von \( P_1 \) aus mit den Diagonalen \( \overline{P_1P_3} \) und \( \overline{P_1P_4} \) in die drei Dreiecke \( P_1P_2P_3 \), \( P_1P_3P_4 \) und \( P_1P_4P_5 \). Alle drei haben \( P_1 \) als gemeinsame Ecke, also gehen alle Vektoren von \( P_1 \) aus – und weil \( P_1 \) der Ursprung ist, sind die Vektoren gleich den Koordinaten.

Kontrolle durch eine andere Zerlegung: Zerlege stattdessen von \( P_2(8\,|\,0) \) aus in \( P_2P_3P_4 \), \( P_2P_4P_5 \) und \( P_2P_5P_1 \). Alle Vektoren gehen jetzt von \( P_2 \) aus:

Beide Zerlegungen ergeben 67 FE – die Wahl der Ausgangsecke ändert nichts am Ergebnis. Mit 1 LE = 10 cm ist eine Flächeneinheit \( 10\ \text{cm} \cdot 10\ \text{cm} = 100\ \text{cm}^2 \), also gilt \( 67 \cdot 100\ \text{cm}^2 = 6700\ \text{cm}^2 = 0{,}67\ \text{m}^2 \). Das Verschnittstück lohnt sich zum Aufheben.

Alle Diagonalen gehen von derselben Ecke aus – dann überlappen sich die Teildreiecke garantiert nicht.

5. Winkel an parallelen Geraden

Weil die Parallelverschiebung parallelentreu ist, gehört zu diesem Lernbereich auch das Rechnen an Parallelen. Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden, entstehen acht Winkel – und es gibt nur zwei verschiedene Größen darunter. Drei Begriffe musst du sicher unterscheiden:

• Stufenwinkel (F-Figur): liegen an beiden Schnittpunkten auf derselben Seite der Schnittgeraden und zeigen in dieselbe Richtung. Sie sind gleich groß.
• Wechselwinkel (Z-Figur): liegen zwischen den Parallelen auf verschiedenen Seiten der Schnittgeraden. Sie sind gleich groß.
• Ergänzungswinkel (E-Figur, auch Nachbarwinkel genannt): liegen zwischen den Parallelen auf derselben Seite. Sie ergänzen sich zu 180°.

Alle drei Sätze gelten auch umgekehrt: Sind zwei Stufenwinkel gleich groß, sind zwei Wechselwinkel gleich groß oder ergänzen sich zwei Ergänzungswinkel zu 180°, dann sind die beiden Geraden parallel. Genau so weist man Parallelität nach, ohne zu messen.

Beispiel – alle Winkel aus einem einzigen bestimmen

Eine Dachlatte kreuzt zwei parallel verlegte Sparren \( g \parallel h \). Am oberen Schnittpunkt misst der Schreiner \( \alpha = 63^\circ \). Bestimme die drei markierten Winkel am unteren Schnittpunkt.

Kontrolle: \( \gamma \) und \( \delta \) liegen zusammen auf der Geraden \( h \) und müssen sich deshalb zu 180° ergänzen: \( 63^\circ + 117^\circ = 180^\circ \) ✓. Außerdem sind \( \beta \) und \( \gamma \) Scheitelwinkel und damit gleich groß – das passt ebenfalls.

6. Innenwinkelsumme und Außenwinkelsatz

Die Innenwinkelsumme im Dreieck kennst du: Sie beträgt immer \( 180^\circ \). Daraus folgt alles Weitere. Zunächst der Außenwinkel: Verlängerst du eine Dreiecksseite über eine Ecke hinaus, so entsteht dort der Außenwinkel. Er ist der Nebenwinkel des Innenwinkels, also gilt \( \gamma\‘ = 180^\circ – \gamma \).

Außenwinkelsatz: Ein Außenwinkel ist genauso groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.

Beispiel 1 – Winkel im Dreieck

In einem Dreieck ist \( \alpha = 63^\circ \) und \( \beta = 48^\circ \). Berechne \( \gamma \) und den Außenwinkel \( \gamma\‘ \) bei \( C \).

Beispiel 2 – Winkel im Viereck

Im Viereck beträgt die Innenwinkelsumme \( 360^\circ \), denn jede Diagonale zerlegt es in zwei Dreiecke: \( 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ \). Eine Zuschnittschablone hat die Innenwinkel \( \alpha = 105^\circ \), \( \beta = 72^\circ \) und \( \gamma = 118^\circ \). Wie groß ist \( \delta \)?

Probe: \( 105^\circ + 72^\circ + 118^\circ + 65^\circ = 360^\circ \) ✓.

Warum das so ist – die Begründungen (zusätzlich für Mathematik I)

In Mathematik I sollst du diese Sätze nicht nur anwenden, sondern aus der Innenwinkelsumme im Dreieck begründen. Das gelingt mit den Winkelsätzen aus Kapitel 5 – und es ist überraschend kurz.

Begründung des Außenwinkelsatzes. Der Außenwinkel \( \gamma\‘ \) ist Nebenwinkel von \( \gamma \), also \( \gamma\‘ = 180^\circ – \gamma \). Nach der Innenwinkelsumme ist andererseits \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \), also \( \alpha + \beta = 180^\circ – \gamma \). Beide rechten Seiten stimmen überein, folglich ist \( \gamma\‘ = \alpha + \beta \). Damit ist der Satz bewiesen – und du siehst zugleich, warum ein Außenwinkel stets größer ist als jeder der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.

Begründung der Innenwinkelsumme im \( n \)-Eck. Wähle in einem konvexen \( n \)-Eck eine Ecke und ziehe von ihr aus alle möglichen Diagonalen. Von dieser Ecke gehen Verbindungen zu allen übrigen \( n – 1 \) Ecken; die beiden Nachbarecken liefern Seiten statt Diagonalen, es bleiben also \( n – 3 \) Diagonalen. Diese zerlegen das Vieleck lückenlos in \( n – 2 \) Dreiecke. Jedes Dreieck steuert \( 180^\circ \) bei, und alle diese Winkel setzen sich genau zu den Innenwinkeln des Vielecks zusammen – keiner geht verloren, keiner kommt hinzu. Also:

Links: die drei Teildreiecke des Fünfecks. Rechts: der Außenwinkel bei \( C \) als Summe von \( \alpha \) und \( \beta \).

Beispiel 3 – Winkel im Fünfeck (zusätzlich für Mathematik I)

Eine fünfeckige Tischplatte hat die Innenwinkel \( 100^\circ \), \( 115^\circ \), \( 130^\circ \) und \( 95^\circ \). Wie groß ist der fünfte Winkel?

Probe: \( 100^\circ + 115^\circ + 130^\circ + 95^\circ + 100^\circ = 540^\circ \) ✓. Zum Vergleich: Im regelmäßigen Fünfeck ist jeder Innenwinkel \( 540^\circ : 5 = 108^\circ \) groß. Die Platte weicht davon ab, ihre Winkelsumme stimmt aber.

Aus der Formel folgt noch ein hübsches Ergebnis: Addierst du in einem konvexen \( n \)-Eck an jeder Ecke den Außenwinkel, so erhältst du \( n \cdot 180^\circ – (n-2) \cdot 180^\circ = 360^\circ \). Die Außenwinkelsumme beträgt immer 360° – egal, wie viele Ecken das Vieleck hat.

7. Das Wichtigste in Kürze

8. So fragt die Abschlussprüfung

Dieser Lernbereich liefert Werkzeuge, die später ständig gebraucht werden: Vektoren, Determinante, Winkelsätze. In der Prüfung erscheinen sie als Aufgabe im Koordinatensystem oder als Winkelberechnung in einer Figur. Vier typische Aufgabenformen aus dem Holzwerk Brandl. Die ersten drei gelten für beide Ausbildungsrichtungen; die vierte ist der Zusatz für Mathematik I, in dem größere Vielecke verlangt werden.

Aufgabe 1 – Verschiebungsvektor bestimmen und anwenden. Mathematik I und II/III Eine rechteckige Bohrschablone hat in der CNC-Zeichnung die Ecken \( A(2\,|\,1) \), \( B(8\,|\,1) \), \( C(8\,|\,4) \) und \( D(2\,|\,4) \). Sie wird parallel verschoben, dabei geht \( A \) in \( A\'(7\,|\,4) \) über. a) Gib den Verschiebungsvektor an. b) Berechne \( B\‘ \), \( C\‘ \) und \( D\‘ \). c) Wie groß ist der Flächeninhalt des Bildes?

Gegenprobe: Alle vier Bildpunkte müssen um denselben Vektor verschoben sein. Prüfe an einer zweiten Ecke: \( \overrightarrow{DD\‘} = \dbinom{7-2}{7-4} = \dbinom{5}{3} = \vec{v} \) ✓. Und die Seitenlängen: \( \overline{A\’B\‘} = 13 – 7 = 6 \), \( \overline{A\’D\‘} = 7 – 4 = 3 \) – genau wie im Original ✓. Antwort: Verschoben wird um \( \vec{v} = \dbinom{5}{3} \); die Bildpunkte sind \( B\'(13|4) \), \( C\'(13|7) \), \( D\'(7|7) \), und der Flächeninhalt bleibt 18 FE, weil jede Parallelverschiebung längen- und damit flächentreu ist.

Aufgabe 2 – Dreiecksfläche über die Determinante. Mathematik I und II/III Beim Zuschnitt einer Tischplatte fällt ein dreieckiges Reststück mit den Ecken \( P(1\,|\,2) \), \( Q(9\,|\,4) \) und \( R(3\,|\,8) \) an. Eine Längeneinheit entspricht 5 cm. a) Berechne den Flächeninhalt in FE. b) Wie viele Quadratzentimeter sind das?

Gegenprobe mit einem anderen Ausgangspunkt: Nimm \( Q \) als gemeinsame Ecke: \( \overrightarrow{QP} = \dbinom{-8}{-2} \), \( \overrightarrow{QR} = \dbinom{-6}{4} \), also \( D = (-8) \cdot 4 – (-2) \cdot (-6) = -32 – 12 = -44 \). Der Betrag ist wieder 44, die Fläche wieder 22 FE ✓ – das Vorzeichen sagt nur, dass der Umlaufsinn andersherum ist. Antwort: Das Reststück hat 22 FE, also 550 cm². Beachte in Teil b): Beim Umrechnen von Längen- in Flächeneinheiten wird der Maßstabsfaktor quadriert.

Aufgabe 3 – Winkel an Parallelen und Außenwinkelsatz. Mathematik I und II/III Zwei Regalböden verlaufen parallel; eine Diagonalstrebe schneidet beide. An der oberen Schnittstelle wird ein Winkel von \( 118^\circ \) gemessen. a) Wie groß sind der Stufenwinkel, der Wechselwinkel und der Ergänzungswinkel dazu? b) In einem Verstrebungsdreieck ist \( \alpha = 54^\circ \) und der Außenwinkel bei \( C \) beträgt \( 127^\circ \). Berechne \( \beta \) und \( \gamma \).

Gegenprobe: Die Innenwinkelsumme muss stimmen: \( 54^\circ + 73^\circ + 53^\circ = 180^\circ \) ✓. Und der Außenwinkel muss größer sein als jeder der beiden nicht anliegenden Innenwinkel – \( 127^\circ > 73^\circ > 54^\circ \) ✓. Antwort: Stufen- und Wechselwinkel messen je \( 118^\circ \), der Ergänzungswinkel \( 62^\circ \); im Dreieck ist \( \beta = 73^\circ \) und \( \gamma = 53^\circ \). Denk daran: Stufen-, Wechsel- und Ergänzungswinkelsatz gelten nur an echt parallelen Geraden – in der Prüfung musst du diese Voraussetzung nennen.

Aufgabe 4 – Vieleck in Dreiecke zerlegen. nur Mathematik I Nach dem Zuschnitt bleibt ein fünfeckiges Verschnittstück übrig. In der Werkstattzeichnung hat es die Ecken \( P_1(0\,|\,0) \), \( P_2(10\,|\,0) \), \( P_3(12\,|\,6) \), \( P_4(6\,|\,10) \) und \( P_5(0\,|\,8) \); eine Längeneinheit entspricht 10 cm. a) Wie viele Teildreiecke entstehen bei der Zerlegung von einer Ecke aus? b) Berechne den Flächeninhalt in FE und in m².

Gegenprobe mit einer anderen Zerlegungsecke – jetzt von \( P_2(10\,|\,0) \) aus: \( P_2P_3P_4 \) mit \( \dbinom{2}{6} \) und \( \dbinom{-4}{10} \) ergibt \( 2 \cdot 10 – 6 \cdot (-4) = 44 \), also 22 FE. \( P_2P_4P_5 \) mit \( \dbinom{-4}{10} \) und \( \dbinom{-10}{8} \) ergibt \( (-4) \cdot 8 – 10 \cdot (-10) = -32 + 100 = 68 \), also 34 FE. \( P_2P_5P_1 \) mit \( \dbinom{-10}{8} \) und \( \dbinom{-10}{0} \) ergibt \( (-10) \cdot 0 – 8 \cdot (-10) = 80 \), also 40 FE. Summe: \( 22 + 34 + 40 = 96\ \text{FE} \) ✓. Antwort a): Ein Fünfeck zerfällt in \( n – 2 = 5 – 2 = 3 \) Dreiecke. b): Das Verschnittstück hat 96 FE; mit \( 1\ \text{FE} = 10\ \text{cm} \cdot 10\ \text{cm} = 100\ \text{cm}^2 \) sind das \( 9\,600\ \text{cm}^2 = 0{,}96\ \text{m}^2 \). Zur Einordnung: Die Innenwinkelsumme dieses Fünfecks beträgt \( (5-2) \cdot 180^\circ = 540^\circ \) – dieselbe Zerlegung in \( n-2 \) Dreiecke trägt beide Ergebnisse.

9. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest

• Der Vektor wird verkehrt herum gebildet. Ursache: Statt „Ziel minus Start“ wird „Start minus Ziel“ gerechnet, das Ergebnis hat dann beide Vorzeichen falsch. Vermeidung: Sprich die Formel mit: \( \overrightarrow{PQ} = \dbinom{x_Q – x_P}{y_Q – y_P} \) – der zweite Buchstabe steht vorne in der Subtraktion. Kontrolliere an der Skizze: Zeigt der Pfeil nach rechts, muss die erste Koordinate positiv sein.
• Bei der Determinante der Betrag vergessen. Ursache: \( D \) fällt negativ aus und wird als Flächeninhalt hingeschrieben. Vermeidung: Ein Flächeninhalt ist nie negativ. Schreibe die Betragsstriche schon in den Ansatz: \( A = \tfrac{1}{2}|D| \). Das Vorzeichen von \( D \) sagt nur, in welchem Umlaufsinn die Ecken angeordnet sind.
• Die beiden Vektoren gehen nicht von derselben Ecke aus. Ursache: Es werden \( \overrightarrow{AB} \) und \( \overrightarrow{BC} \) genommen, weil das der Reihenfolge der Buchstaben folgt. Vermeidung: Die Determinante gilt nur für Vektoren mit gemeinsamem Anfangspunkt. Markiere in der Skizze die gewählte Ecke und zeichne von ihr aus beide Pfeile ein.
• Stufen-, Wechsel- und Ergänzungswinkel verwechselt. Ursache: Es wird nach dem Gefühl entschieden, ob zwei Winkel gleich groß sind oder sich zu \( 180^\circ \) ergänzen. Vermeidung: Stufenwinkel liegen auf derselben Seite der Schnittgeraden und zeigen in dieselbe Richtung (gleich groß), Wechselwinkel liegen über Kreuz (gleich groß), Ergänzungswinkel liegen auf derselben Seite zwischen den Parallelen (Summe \( 180^\circ \)). Markiere die gleich großen Winkel in der Figur mit demselben Bogen – es gibt nur zwei verschiedene Größen.
• Winkelsätze ohne Parallelität angewendet. Ursache: Die Geraden sehen parallel aus, sind es aber nach Angabe nicht. Vermeidung: Alle drei Sätze setzen echte Parallelität voraus. Nenne sie in der Begründung ausdrücklich („da \( g \parallel h \), gilt …“) – und wenn die Parallelität gesucht ist, benutze die Sätze umgekehrt als Nachweis.
• Beim Außenwinkelsatz der anliegende Innenwinkel eingesetzt. Ursache: \( \gamma\‘ = \alpha + \beta \) wird auswendig abgerufen, ohne zu prüfen, an welcher Ecke der Außenwinkel liegt. Vermeidung: Der Außenwinkel ist die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. Zeichne die Planfigur, streiche den Innenwinkel an derselben Ecke durch – die beiden übrigen werden addiert.
• Innenwinkelsumme als \( n \cdot 180^\circ \) angesetzt. Ursache: Die \( -2 \) in der Formel wird vergessen. Vermeidung: Prüfe die Formel am Bekannten: Für \( n = 3 \) muss \( 180^\circ \) herauskommen, und \( (3-2) \cdot 180^\circ = 180^\circ \) ✓. Mit \( 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ \) wäre sie sofort widerlegt.
• Beim Maßstab die Flächeneinheit nicht quadriert. Ursache: Aus „1 LE = 10 cm“ wird „1 FE = 10 cm²“. Vermeidung: Eine Flächeneinheit ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 LE, also \( 10\ \text{cm} \cdot 10\ \text{cm} = 100\ \text{cm}^2 \). Der Längenfaktor geht beim Umrechnen von Flächen im Quadrat ein.
• Im Parallelogramm \( ABCD \) die falschen Vektoren gleichgesetzt. Ursache: Es wird \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \) angesetzt statt \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \). Vermeidung: Die Ecken werden im Umlauf benannt, deshalb zeigen \( \overrightarrow{AB} \) und \( \overrightarrow{DC} \) in dieselbe Richtung, \( \overrightarrow{CD} \) aber entgegengesetzt. Skizziere die Pfeile, bevor du rechnest – sonst landet die vierte Ecke gespiegelt.

✏️ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator

Erstelle dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zu Realschule Bayern und deiner Klasse. Kostenloses Konto erstellen und direkt testen.

Aufgaben erzeugen →