Mathematik Realschule Bayern · Klasse 7 · Lernbereich „Geometrische Ortslinien und Ortsbereiche“ (LehrplanPLUS) · BY

Geometrische Ortslinien und Ortsbereiche: alle Punkte, die eine Bedingung erfüllen

Bisher hast du einzelne Punkte gezeichnet. Jetzt drehst du die Frage um: Du bekommst eine Bedingung – zum Beispiel „gleich weit von A und von B entfernt“ – und suchst alle Punkte, die sie erfüllen. Erstaunlicherweise liegen diese Punkte fast nie kreuz und quer: Sie bilden eine saubere Linie, eine geometrische Ortslinie. Heißt die Bedingung dagegen „höchstens“ oder „mindestens“, entsteht kein Strich, sondern eine ganze Fläche: ein Ortsbereich.

Auf dieser Seite lernst du der Reihe nach die fünf Ortslinien des Lehrplans kennen – Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Kreislinie, Parallelenpaar und Thaleskreis –, danach die zugehörigen Ortsbereiche und schließlich, wie du damit echte Konstruktionsaufgaben löst. Zu jedem Kapitel gehört eine Konstruktion, die vollständig durchgeführt wird: mit Planfigur und mit Konstruktionsbeschreibung Schritt für Schritt.

Inhalt dieser Seite

1. Die Mittelsenkrechte – gleich weit von zwei Punkten
2. Die Winkelhalbierende – gleich weit von zwei Schenkeln
3. Die Kreislinie – fester Abstand von einem Punkt
4. Das Parallelenpaar – fester Abstand von einer Geraden
5. Der Thaleskreis – alle Punkte mit rechtem Blickwinkel
6. Ortsbereiche: höchstens, mindestens, näher an
7. Kreis und Gerade, Tangente und Konstruktionsaufgaben
8. Besondere Punkte im Dreieck: Umkreis, Inkreis, Schwerpunkt
9. Das Wichtigste in Kürze

Zwei Begriffe vorab. Eine geometrische Ortslinie ist die Menge aller Punkte einer Zeichenebene, die eine bestimmte Bedingung erfüllen – und zwar wirklich aller: Kein Punkt darf fehlen, und kein Punkt darf dazugehören, der die Bedingung verletzt. Ein Ortsbereich entsteht, wenn die Bedingung nicht „genau“, sondern „höchstens“ oder „mindestens“ lautet; dann ist das Ergebnis eine Fläche. Gezeichnet wird durchgehend so, wie es der Lehrplan verlangt: mit Zirkel und Lineal beziehungsweise Geodreieck.

1. Die Mittelsenkrechte – gleich weit von zwei Punkten

In der Werkstatt des Holzwerks Brandl stehen die Kreissäge im Punkt A und die Fräse im Punkt B. Der Spänesauger soll von beiden Maschinen gleich weit entfernt sein. Wo darf er stehen? Ein Punkt fällt dir sofort ein: die Mitte der Strecke \( \overline{AB} \). Aber es gibt noch mehr – und alle diese Punkte liegen auf einer Geraden.

Die Bedingung: gesucht sind alle Punkte \( P \) mit \( \overline{PA} = \overline{PB} \).

Konstruktionsbeschreibung (Strecke \( \overline{AB} \) mit \( \overline{AB} = 6\ \text{cm} \)):

1. Zeichne die Strecke \( \overline{AB} \) mit dem Lineal.
2. Stich mit dem Zirkel in \( A \) ein und schlage einen Kreisbogen mit dem Radius \( r = 5\ \text{cm} \). Der Radius muss größer als die halbe Streckenlänge sein, hier also größer als 3 cm.
3. Stich in \( B \) ein und schlage einen Bogen mit demselben Radius \( r = 5\ \text{cm} \).
4. Die beiden Bögen schneiden sich in zwei Punkten \( S_1 \) und \( S_2 \).
5. Zeichne mit dem Lineal die Gerade durch \( S_1 \) und \( S_2 \). Das ist die Mittelsenkrechte \( m_{AB} \).

Jeder grüne Punkt liegt gleich weit von A und von B entfernt – und nur die Punkte dieser Geraden tun das.

Warum funktioniert das? Der Punkt \( S_1 \) wurde mit demselben Zirkelradius von \( A \) und von \( B \) aus abgetragen, also gilt \( \overline{S_1A} = \overline{S_1B} = 5\ \text{cm} \). Genauso ist \( \overline{S_2A} = \overline{S_2B} = 5\ \text{cm} \). Beim Mittelpunkt \( M \) sind es \( \overline{MA} = \overline{MB} = 3\ \text{cm} \). Du kannst das in der Planfigur nachmessen: Alle drei grünen Punkte erfüllen die Bedingung, und die Gerade durch sie steht senkrecht auf \( \overline{AB} \) und geht durch deren Mittelpunkt – daher der Name.

2. Die Winkelhalbierende – gleich weit von zwei Schenkeln

Jetzt sind nicht zwei Punkte gegeben, sondern zwei Geraden, die sich schneiden – zum Beispiel zwei Wände einer Werkstattecke. Gesucht sind alle Punkte, die von beiden Wänden gleich weit entfernt sind. Dabei musst du wissen, was „Abstand eines Punktes von einer Geraden“ heißt: immer die kürzeste Verbindung, also die Strecke senkrecht zur Geraden.

Die Bedingung: gesucht sind alle Punkte \( P \) im Inneren des Winkels, deren Abstand zum Schenkel \( g \) genauso groß ist wie zum Schenkel \( h \).

Konstruktionsbeschreibung (Winkel mit Scheitel \( S \) und den Schenkeln \( g \) und \( h \)):

1. Stich mit dem Zirkel in den Scheitel \( S \) ein und schlage einen Bogen mit beliebigem Radius. Er schneidet \( h \) in \( X \) und \( g \) in \( Y \). Damit ist \( \overline{SX} = \overline{SY} \).
2. Stich in \( X \) ein und schlage einen Bogen ins Innere des Winkels.
3. Stich in \( Y \) ein und schlage mit demselben Radius einen zweiten Bogen. Beide Bögen schneiden sich in einem Punkt \( W \).
4. Zeichne mit dem Lineal die Halbgerade von \( S \) durch \( W \). Das ist die Winkelhalbierende \( w \).

Die Abstandsstrecken treffen die Schenkel im rechten Winkel – nur so gemessen sind sie gleich lang.

Nachgemessen in der Planfigur: Der Punkt \( P \) hat vom Schenkel \( h \) den Abstand \( 4\ \text{cm} \) und vom Schenkel \( g \) ebenfalls \( 4\ \text{cm} \). Der Punkt \( Q \), der näher am Scheitel liegt, hat zu beiden Schenkeln den Abstand \( 2\ \text{cm} \). Je weiter du auf \( w \) nach außen gehst, desto größer werden die beiden Abstände – aber sie bleiben immer gleich groß. Genau das macht \( w \) zur Ortslinie.

Der häufigste Fehler: den Abstand schräg messen. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist immer das Lot – darum steht in der Zeichnung an beiden Fußpunkten ein rechter Winkel.

3. Die Kreislinie – fester Abstand von einem Punkt

Diese Ortslinie kennst du schon, du hast sie nur nie so genannt. In der Halle des Holzwerks hängt im Punkt \( M \) ein Funksender für die Maschinensteuerung. Seine Reichweite beträgt genau 4 m. Alle Punkte, an denen das Signal gerade eben noch ankommt, bilden die Grenze – und diese Grenze ist ein Kreis.

Die Bedingung: gesucht sind alle Punkte \( P \) mit \( \overline{PM} = r \).

Konstruktionsbeschreibung (\( M \) gegeben, \( r = 4\ \text{cm} \) in der Zeichnung):

1. Stelle den Zirkel mit dem Lineal auf die Zirkelöffnung \( r = 4\ \text{cm} \) ein.
2. Stich in \( M \) ein und ziehe den Kreis in einem Zug durch.
3. Kontrolle: Miss von \( M \) aus in verschiedene Richtungen – jede Strecke zur Kreislinie muss 4 cm lang sein.

Vier von unendlich vielen Punkten – jeder Radius ist gleich lang, das ist die ganze Bedingung.

Beachte den Unterschied in der Sprache: Die Kreislinie ist die Ortslinie „genau \( r \)“. Die Kreisfläche (hier hellgrün) ist der Ortsbereich „höchstens \( r \)“ – also alle Punkte, an denen der Funksender noch empfangen wird. Das Gebiet außerhalb des Kreises ist der Ortsbereich „mehr als \( r \)“. Mehr dazu in Kapitel 6.

4. Das Parallelenpaar – fester Abstand von einer Geraden

In der Werkstatt läuft entlang der Wand eine Absaugleitung, in der Zeichnung die Gerade \( g \). Die Werkbänke sollen genau 2 m von dieser Leitung entfernt aufgestellt werden. Wo ist das? Hier passiert etwas, was viele überrascht: Die Antwort besteht aus zwei Linien, denn die Werkbank kann links oder rechts von der Leitung stehen.

Die Bedingung: gesucht sind alle Punkte \( P \), deren Abstand von \( g \) genau \( d \) beträgt – wieder senkrecht gemessen.

Konstruktionsbeschreibung (\( g \) gegeben, \( d = 2\ \text{cm} \) in der Zeichnung):

1. Wähle zwei möglichst weit auseinanderliegende Punkte \( F_1 \) und \( F_2 \) auf \( g \).
2. Errichte in \( F_1 \) mit dem Geodreieck das Lot auf \( g \) und trage darauf nach beiden Seiten \( 2\ \text{cm} \) ab. Ebenso in \( F_2 \).
3. Verbinde die beiden oberen Punkte mit dem Lineal zur Geraden \( p_1 \) und die beiden unteren zur Geraden \( p_2 \).
4. Beide Geraden sind parallel zu \( g \). Zusammen bilden sie das Parallelenpaar.

Zwei Geraden, eine Bedingung – wer nur eine zeichnet, hat die halbe Lösung vergessen.

Der Streifen zwischen \( p_1 \) und \( p_2 \) ist der Ortsbereich „höchstens 2 cm von \( g \) entfernt“. Alles außerhalb des Streifens ist „mehr als 2 cm entfernt“. Achte beim Zeichnen darauf, dass \( p_1 \) und \( p_2 \) wirklich parallel zu \( g \) sind: Wenn die beiden abgetragenen Punkte nicht exakt gleich weit entfernt sind, läuft die Gerade schief und die Konstruktion ist falsch.

5. Der Thaleskreis – alle Punkte mit rechtem Blickwinkel

Die letzte Grund-Ortslinie hat eine ungewöhnliche Bedingung: Es geht nicht um Abstände, sondern um einen Winkel. Auf einer Werkbank ist eine Kante \( \overline{AB} \) angerissen. Von welchen Punkten aus erscheint diese Kante unter genau \( 90^\circ \)? Die Antwort ist der Thaleskreis.

Die Bedingung: gesucht sind alle Punkte \( C \) mit \( \sphericalangle ACB = 90^\circ \).

Konstruktionsbeschreibung (Strecke \( \overline{AB} \) gegeben):

1. Konstruiere den Mittelpunkt \( Z \) der Strecke \( \overline{AB} \) – mit der Mittelsenkrechten aus Kapitel 1.
2. Stich mit dem Zirkel in \( Z \) ein und stelle als Radius \( \overline{ZA} \) ein, also die halbe Streckenlänge.
3. Zeichne den Kreis. Er geht durch \( A \) und durch \( B \).
4. Jeder Punkt dieses Kreises außer \( A \) und \( B \) ist Scheitel eines rechten Winkels über \( \overline{AB} \).

Egal, welchen Punkt des Kreises du wählst: Der Winkel bei diesem Punkt ist immer ein rechter.

Der Thaleskreis ist die Ortslinie mit dem größten praktischen Nutzen – immer dann, wenn irgendwo ein rechter Winkel gefordert ist. In Kapitel 7 brauchst du ihn, um Tangenten zu konstruieren; später dient er dazu, rechtwinklige Dreiecke überhaupt erst konstruieren zu können.

6. Ortsbereiche: höchstens, mindestens, näher an

Bisher hieß jede Bedingung „genau“. In Sachaufgaben steht aber fast nie „genau“, sondern höchstens, mindestens, weniger als, mehr als oder näher an. Dann ist das Ergebnis keine Linie, sondern eine Fläche – ein Ortsbereich. Das Vorgehen ist immer dasselbe: Zeichne zuerst die Ortslinie zum Wort „genau“; sie ist die Grenze. Entscheide dann, welche Seite dazugehört.

Beispiel: die Halbebene „näher an A als an B“

Im Holzwerk stehen die Kreissäge in \( A \) und die Fräse in \( B \), 6 m voneinander entfernt. Der Meister legt fest: Ein Werkstückwagen soll dort abgestellt werden, wo er näher an der Kreissäge als an der Fräse steht. Welcher Teil der Halle ist das?

1. Zeichne die Grenze: die Mittelsenkrechte \( m_{AB} \) (Konstruktion wie in Kapitel 1). Auf ihr gilt \( \overline{PA} = \overline{PB} \) – das ist der Grenzfall „gleich weit“.
2. Prüfe eine Seite mit einem beliebigen Testpunkt. Nimm \( T \) auf der Strecke \( \overline{AB} \), 2 m von \( A \) entfernt: Dann ist \( \overline{TA} = 2\ \text{m} \) und \( \overline{TB} = 6\ \text{m} – 2\ \text{m} = 4\ \text{m} \). Wegen \( 2\ \text{m} < 4\ \text{m} \) liegt \( T \) im gesuchten Bereich.
3. Färbe die ganze Halbebene auf der Seite von \( A \) ein. Die Mittelsenkrechte selbst gehört nicht dazu, denn dort ist der Abstand gleich groß und nicht kleiner – sie wird deshalb gestrichelt gezeichnet.

Die Ortslinie ist die Grenze, der Ortsbereich ist die Fläche dahinter.

Umgekehrt musst du das auch können: Wenn dir eine fertige Zeichnung vorgelegt wird, sollst du in Worten sagen, welche Eigenschaft die Punkte des gefärbten Gebiets haben. Bei der Zeichnung oben lautet die Antwort: „Alle Punkte dieses Gebiets sind von \( A \) weniger weit entfernt als von \( B \).“

7. Kreis und Gerade, Tangente und Konstruktionsaufgaben

Wenn eine Gerade und ein Kreis in derselben Zeichnung vorkommen, gibt es genau drei Möglichkeiten. Welche eintritt, entscheidet allein der Abstand des Mittelpunkts von der Geraden – wieder senkrecht gemessen. Nenne diesen Abstand \( d \) und den Radius \( r \):

Eine Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt – und steht dort senkrecht auf dem Radius.

Diese letzte Eigenschaft ist die wichtigste: Der Berührradius steht senkrecht auf der Tangente. Umgekehrt gilt: Steht eine Gerade im Punkt \( B \) der Kreislinie senkrecht auf \( \overline{MB} \), dann ist sie die Tangente in \( B \). Damit kannst du zu jedem Punkt der Kreislinie die Tangente zeichnen: Verbinde \( M \) mit dem Punkt und errichte dort mit dem Geodreieck das Lot.

Tangenten von einem Punkt außerhalb des Kreises (zusätzlich für Mathematik I)

Schwieriger wird es, wenn der Berührpunkt nicht gegeben ist: Von einem Punkt \( P \) außerhalb des Kreises sollen die Tangenten gezeichnet werden. Wo sie den Kreis berühren, weißt du zunächst nicht. Der Trick ist eine Verknüpfung zweier Ortslinien: Der Berührpunkt \( T \) muss zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen.

• \( T \) liegt auf der Kreislinie \( k(M; r) \) – erste Ortslinie.
• Der Radius \( \overline{MT} \) steht senkrecht auf \( \overline{PT} \), also ist \( \sphericalangle MTP = 90^\circ \). Alle Punkte mit dieser Eigenschaft liegen auf dem Thaleskreis über \( \overline{MP} \) – zweite Ortslinie.

Konstruktionsbeschreibung (\( k(M; 3\ \text{cm}) \) und \( P \) mit \( \overline{MP} = 5\ \text{cm} \)):

1. Zeichne den Kreis \( k \) um \( M \) mit \( r = 3\ \text{cm} \) und die Strecke \( \overline{MP} \) mit \( \overline{MP} = 5\ \text{cm} \).
2. Konstruiere den Mittelpunkt \( Z \) von \( \overline{MP} \) (Mittelsenkrechte).
3. Schlage den Thaleskreis um \( Z \) mit dem Radius \( \overline{ZM} = 2{,}5\ \text{cm} \).
4. Der Thaleskreis schneidet \( k \) in den Punkten \( T_1 \) und \( T_2 \). Das sind die Berührpunkte.
5. Zeichne mit dem Lineal die Geraden \( PT_1 \) und \( PT_2 \). Das sind die beiden Tangenten.

Zwei Ortslinien, zwei Schnittpunkte – und damit zwei Tangenten.

Kontrolle an der Planfigur. Im Dreieck \( MT_1P \) ist \( \overline{MT_1} = 3\ \text{cm} \) (Radius), \( \overline{MP} = 5\ \text{cm} \) und \( \overline{PT_1} = 4\ \text{cm} \). Wegen \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \) ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei \( T_1 \) – genau wie der Thaleskreis es verlangt. Und weil \( T_2 \) das Spiegelbild von \( T_1 \) an der Geraden \( MP \) ist, sind auch beide Tangentenabschnitte gleich lang: \( \overline{PT_1} = \overline{PT_2} = 4\ \text{cm} \).

Mehrere Ortslinien verknüpfen (zusätzlich für Mathematik I)

Das Muster der Tangentenkonstruktion lässt sich auf jede Aufgabe übertragen, in der ein Punkt zwei Bedingungen zugleich erfüllen soll: Zeichne zu jeder Bedingung ihre Ortslinie. Der gesuchte Punkt ist dann ein Schnittpunkt der beiden Linien. Und weil sich zwei Ortslinien oft in zwei Punkten schneiden, hat eine solche Aufgabe häufig zwei Lösungen – im Sachzusammenhang musst du dann prüfen, welche brauchbar ist.

Aufgabe. In der Werkstatt des Holzwerks Brandl stehen die Kreissäge in \( A \) und die Fräse in \( B \), 4 m voneinander entfernt. Der Werkstattroboter soll gleich weit von beiden Maschinen entfernt stehen und zugleich genau 5 m vom Stromanschluss \( M \) in der Ecke. Wo kann er stehen?

1. Erste Bedingung „gleich weit von \( A \) und \( B \)“ → Ortslinie: Mittelsenkrechte \( m_{AB} \). Konstruiere sie mit dem Zirkel.
2. Zweite Bedingung „genau 5 m von \( M \)“ → Ortslinie: Kreis \( k(M; 5\ \text{m}) \). Schlage ihn mit dem Zirkel.
3. Die beiden Ortslinien schneiden sich in \( R_1 \) und \( R_2 \). Beide Punkte erfüllen beide Bedingungen.
4. Sachentscheidung: \( R_1 \) liegt außerhalb der Hallenwand, also bleibt \( R_2 \) als einzige praktisch brauchbare Lösung.

Erst rechnen und zeichnen, dann im Sachzusammenhang entscheiden.

8. Besondere Punkte im Dreieck: Umkreis, Inkreis, Schwerpunkt

Jetzt zahlt sich alles aus. Zeichnest du in einem Dreieck dieselbe Ortslinie für alle drei Seiten beziehungsweise Winkel, dann treffen sich die drei Linien in einem Punkt. Das ist kein Zufall, sondern folgt direkt aus der Ortslinien-Eigenschaft.

Der Umkreismittelpunkt: drei Mittelsenkrechte

Drei Bohrlöcher \( A \), \( B \) und \( C \) sollen auf einer runden Sperrholzplatte liegen, deren Rand durch alle drei geht. Gesucht ist der Mittelpunkt \( U \) dieser Platte. Er muss von \( A \) und \( B \) gleich weit entfernt sein – also auf \( m_{AB} \) liegen – und ebenso von \( A \) und \( C \) – also auf \( m_{AC} \).

Konstruktionsbeschreibung:

1. Konstruiere mit dem Zirkel die Mittelsenkrechte \( m_{AB} \) der Seite \( \overline{AB} \).
2. Konstruiere ebenso die Mittelsenkrechte \( m_{AC} \) der Seite \( \overline{AC} \).
3. Ihr Schnittpunkt ist der Umkreismittelpunkt \( U \).
4. Stich in \( U \) ein, stelle den Radius \( \overline{UA} \) ein und zeichne den Umkreis. Er muss durch \( B \) und \( C \) laufen – das ist zugleich die Probe.
5. Die dritte Mittelsenkrechte \( m_{BC} \) brauchst du nicht: Sie geht automatisch durch \( U \), weil \( U \) ja bereits von \( B \) und \( C \) gleich weit entfernt ist.

Der Inkreismittelpunkt: drei Winkelhalbierende

Umgekehrte Aufgabe: In eine dreieckige Restplatte soll der größtmögliche Kreis eingepasst werden, der alle drei Kanten berührt. Sein Mittelpunkt \( I \) muss von allen drei Seiten gleich weit entfernt sein – also auf allen drei Winkelhalbierenden liegen.

1. Konstruiere mit dem Zirkel die Winkelhalbierende \( w_\alpha \) des Winkels bei \( A \).
2. Konstruiere ebenso die Winkelhalbierende \( w_\beta \) des Winkels bei \( B \).
3. Ihr Schnittpunkt ist der Inkreismittelpunkt \( I \).
4. Fälle von \( I \) aus mit dem Geodreieck das Lot auf die Seite \( \overline{AB} \); der Fußpunkt ist der Berührpunkt, die Lotlänge ist der Inkreisradius \( \rho \).
5. Zeichne den Inkreis um \( I \) mit dem Radius \( \rho \). Er berührt alle drei Seiten – jede Seite ist eine Tangente.

Der Umkreis geht durch die Ecken, der Inkreis berührt die Seiten.

Warum treffen sich die drei Linien in einem Punkt? Weil \( U \) auf \( m_{AB} \) liegt, gilt \( \overline{UA} = \overline{UB} \). Weil \( U \) auf \( m_{AC} \) liegt, gilt \( \overline{UA} = \overline{UC} \). Daraus folgt \( \overline{UB} = \overline{UC} \) – und genau das bedeutet, dass \( U \) auch auf \( m_{BC} \) liegt. Beim Inkreis funktioniert dieselbe Kette mit den Abständen zu den drei Seiten. Zwei Ortslinien genügen also immer; die dritte ist die Probe.

Der Schwerpunkt: drei Seitenhalbierende (zusätzlich für Mathematik I)

In der Werkstatt soll eine dreieckige Sperrholzplatte an einem einzigen Haken hängen, ohne zu kippen. Der richtige Punkt dafür ist der Schwerpunkt \( S \). Er entsteht aus einer anderen Sorte Linie: der Seitenhalbierenden, also der Verbindung einer Ecke mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.

1. Konstruiere mit dem Zirkel den Mittelpunkt \( M_c \) der Seite \( \overline{AB} \) (Mittelsenkrechte) und zeichne die Strecke von \( C \) nach \( M_c \).
2. Konstruiere ebenso den Mittelpunkt \( M_a \) der Seite \( \overline{BC} \) und zeichne die Strecke von \( A \) nach \( M_a \).
3. Der Schnittpunkt der beiden Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt \( S \).
4. Probe: Die dritte Seitenhalbierende von \( B \) zum Mittelpunkt \( M_b \) der Seite \( \overline{AC} \) geht ebenfalls durch \( S \).

Von der Ecke bis S sind es zwei Drittel, von S bis zur Seitenmitte ein Drittel.

Kontrolle an der Planfigur. Die Seitenhalbierende von \( C \) zur Seitenmitte \( M_c \) ist in der Zeichnung 350 Bildpunkte lang. Der Schwerpunkt liegt bei zwei Dritteln davon, also nach etwa 233 Bildpunkten – und tatsächlich schneidet dort auch die Seitenhalbierende von \( A \) aus. Miss in deiner eigenen Zeichnung nach: Das Verhältnis \( 2 : 1 \) stimmt bei allen drei Linien.

9. Das Wichtigste in Kürze

10. So fragt die Abschlussprüfung

Ortslinien-Aufgaben sind in der Prüfung fast immer Sachaufgaben: Ein Standort soll gefunden, ein Bereich abgegrenzt oder eine Berechnung am Kreis durchgeführt werden. Gefragt sind dann Konstruktionsbeschreibung, Begründung und – wo möglich – eine Kontrollrechnung. Vier typische Aufgabenformen aus dem Holzwerk Brandl. Die ersten drei gelten für beide Ausbildungsrichtungen, die vierte nur für Mathematik I.

Aufgabe 1 – Ortsbereich aus zwei Bedingungen. Mathematik I und II/III In der Werkstatthalle stehen die Kreissäge in \( A \) und die Hobelbank in \( B \), 8 m voneinander entfernt. Ein neuer Absaugstutzen soll näher an der Kreissäge als an der Hobelbank liegen und gleichzeitig höchstens 3 m von der Längswand \( g \) entfernt sein. Beschreibe den Ortsbereich und gib an, wie du ihn konstruierst.

Konstruktionsbeschreibung: (1) Strecke \( \overline{AB} \) zeichnen. (2) Mit dem Zirkel um \( A \) und um \( B \) je einen Kreisbogen mit gleichem Radius \( r > \tfrac{1}{2} \overline{AB} \) schlagen; die Verbindung der beiden Schnittpunkte ist \( m_{AB} \) – gestrichelt zeichnen. (3) Zu \( g \) beide Parallelen im Abstand 3 m zeichnen (Abstand senkrecht zu \( g \) abtragen) – durchgezogen. (4) Die Schnittfläche färben.

Kontrolle mit einem Testpunkt: Nimm \( T \) auf \( \overline{AB} \), 3 m von \( A \) entfernt. Dann ist \( \overline{TA} = 3\ \text{m} \) und \( \overline{TB} = 8\ \text{m} – 3\ \text{m} = 5\ \text{m} \). Wegen \( 3\ \text{m} < 5\ \text{m} \) liegt \( T \) tatsächlich auf der \( A \)-Seite ✓. Gegenprobe auf der anderen Seite: Für \( T\' \) mit \( \overline{T\'A} = 6\ \text{m} \) ist \( \overline{T\'B} = 2\ \text{m} \), also \( 6 > 2 \) – \( T\‘ \) gehört zu Recht nicht dazu ✓. Antwort: Der Ortsbereich ist die Schnittmenge aus der Halbebene bei \( A \) (ohne die Mittelsenkrechte) und dem 6 m breiten Streifen um \( g \) (mit Rand). Die Mittelsenkrechte schneidet \( \overline{AB} \) genau bei 4 m – das ist die Grenze.

Aufgabe 2 – Kreis und Gerade rechnerisch unterscheiden. Mathematik I und II/III Eine kreisförmige Drehscheibe mit dem Mittelpunkt \( M \) hat den Radius \( r = 2{,}5\ \text{m} \). Ein Förderband läuft als Gerade \( g \) durch die Halle. a) Bestimme die Lage von \( g \) zum Kreis für die Abstände \( d = 3{,}2\ \text{m} \), \( d = 2{,}5\ \text{m} \) und \( d = 1{,}5\ \text{m} \). b) Wie lang ist im dritten Fall die Sehne, also das Stück des Bandes über der Scheibe?

Gegenprobe: \( 1{,}5^2 + 2{,}0^2 = 2{,}25 + 4{,}00 = 6{,}25 = 2{,}5^2 \) ✓ – das Dreieck aus Abstand, halber Sehne und Radius ist rechtwinklig, weil der Abstand senkrecht auf der Geraden steht. Plausibilität: Die Sehne muss kürzer sein als der Durchmesser \( 2r = 5{,}00\ \text{m} \) – 4,00 m passt ✓. Antwort: Bei 3,2 m ist das Band eine Passante, bei 2,5 m eine Tangente, bei 1,5 m eine Sekante; im letzten Fall verläuft es 4,00 m weit über der Scheibe. Der Abstand \( d \) wird dabei stets senkrecht von \( M \) zur Geraden gemessen.

Aufgabe 3 – Thaleskreis als Ortslinie. Mathematik I und II/III Auf einem Regalbrett liegen zwei Bohrungen \( A \) und \( B \) im Abstand \( \overline{AB} = 10\ \text{cm} \). Eine dritte Bohrung \( C \) soll so gesetzt werden, dass der Winkel bei \( C \) genau \( 90^\circ \) beträgt und \( \overline{AC} = 6\ \text{cm} \) ist. a) Auf welcher Ortslinie liegen alle möglichen Punkte \( C \)? b) Berechne \( \overline{BC} \). c) Wie groß ist die Fläche des Dreiecks \( ABC \)?

Gegenprobe: \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 \) ✓ – der rechte Winkel bei \( C \) ist damit bestätigt. Kontrolle der Ortslinie: \( \overline{MC} \) muss 5 cm sein, denn \( C \) liegt auf dem Thaleskreis; das kannst du in der Zeichnung nachmessen. Antwort: Alle möglichen Punkte \( C \) liegen auf dem Thaleskreis über \( \overline{AB} \) mit \( r = 5\ \text{cm} \) (ohne die Punkte \( A \) und \( B \) selbst, dort entsteht kein Dreieck). Es ist \( \overline{BC} = 8\ \text{cm} \) und \( A = 24\ \text{cm}^2 \). Beachte: Es gibt zwei Lösungen – einen Punkt \( C \) ober- und einen unterhalb von \( \overline{AB} \). Beide sind richtig, im Sachzusammenhang entscheidet die Lage des Bretts.

Aufgabe 4 – Tangente von einem Punkt außerhalb. nur Mathematik I Ein runder Drehtisch mit dem Mittelpunkt \( M \) hat den Radius \( r = 5\ \text{dm} \). Von der Absaugung in \( P \), die \( \overline{MP} = 13\ \text{dm} \) entfernt steht, soll ein Schlauch tangential an den Tisch geführt werden. a) Beschreibe die Konstruktion des Berührpunkts. b) Wie lang ist das Tangentenstück von \( P \) bis zum Berührpunkt?

Gegenprobe: \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \) ✓. Plausibilität: Das Tangentenstück muss kürzer sein als \( \overline{MP} = 13\ \text{dm} \), aber länger als \( \overline{MP} – r = 8\ \text{dm} \) – 12 dm liegt dazwischen ✓. Antwort: Konstruktion: \( \overline{MP} \) zeichnen, ihren Mittelpunkt mit der Mittelsenkrechten bestimmen, den Thaleskreis mit \( r = 6{,}5\ \text{dm} \) schlagen und mit dem Tischkreis schneiden – die beiden Schnittpunkte \( B_1 \) und \( B_2 \) sind die Berührpunkte, die Geraden \( PB_1 \) und \( PB_2 \) die Tangenten. Beide Tangentenstücke sind 12 dm lang; das ist kein Zufall, denn die beiden Dreiecke \( MB_1P \) und \( MB_2P \) sind kongruent.

11. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest

• Ortslinie und Ortsbereich verwechselt. Ursache: Bei „höchstens 3 m“ wird nur die Kreislinie gezeichnet und nichts gefärbt. Vermeidung: Achte auf das Signalwort. „Genau“ ergibt eine Linie, „höchstens / mindestens / weniger als / näher an“ ergibt eine Fläche. Zeichne immer erst die Grenze zum Wort „genau“ und färbe dann.
• Rand durchgezogen statt gestrichelt – oder umgekehrt. Ursache: Es wird nicht geprüft, ob der Grenzfall die Bedingung erfüllt. Vermeidung: Setze einen Punkt genau auf die Grenze und lies die Bedingung. Bei „höchstens“ und „mindestens“ ist der Grenzwert erlaubt → durchgezogen; bei „weniger als“, „mehr als“ und „näher an“ nicht → gestrichelt.
• Die falsche Seite gefärbt, weil der Testpunkt fehlt. Ursache: Es wird nach Gefühl entschieden, welche Halbebene gemeint ist. Vermeidung: Wähle einen beliebigen Punkt, rechne beide Abstände aus und vergleiche – ein Rechenschritt, der dich vor dem häufigsten Punktverlust der ganzen Aufgabe bewahrt.
• Die Mittelsenkrechte freihand oder nur nach Augenmaß gezeichnet. Ursache: „Mitte messen und Senkrechte anlegen“ scheint schneller. Vermeidung: Gefordert ist die Zirkelkonstruktion mit zwei gleich großen Kreisbögen um \( A \) und \( B \) (Radius größer als die halbe Strecke). Die Hilfsbögen müssen in der Zeichnung sichtbar bleiben – sie sind der Nachweis, dass du konstruiert und nicht gemessen hast. Dasselbe gilt für die Winkelhalbierende.
• Beim Parallelenpaar nur eine Parallele gezeichnet. Ursache: Man denkt nur an die Seite, auf der die Figur liegt. Vermeidung: „Abstand \( d \) von der Geraden \( g \)“ ergibt zwei Parallelen – eine auf jeder Seite. Nur wenn der Sachzusammenhang eine Seite ausschließt (etwa eine Hallenwand), fällt eine davon weg – und das musst du dann begründen.
• Abstand zu einer Geraden schräg gemessen. Ursache: Es wird irgendeine Verbindungsstrecke genommen. Vermeidung: Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist immer die senkrechte Entfernung – das kürzeste Lot. Zeichne das rechte Winkelzeichen ein, dann vergisst du es nicht. Auch bei Kreis und Gerade gilt: \( d \) ist der Lotabstand von \( M \).
• Umkreis und Inkreis vertauscht. Ursache: Beide entstehen als Schnittpunkt dreier Linien. Vermeidung: Umkreis geht durch die Ecken → Abstand zu den Ecken gleich → Mittelsenkrechte. Inkreis berührt die Seiten → Abstand zu den Seiten gleich → Winkelhalbierende. Frage dich also: Punkte oder Linien?
• Die zweite Lösung unterschlagen. Ursache: Zwei Ortslinien schneiden sich meist in zwei Punkten, aber nur einer wird angegeben. Vermeidung: Suche nach dem Zeichnen bewusst nach dem zweiten Schnittpunkt, benenne beide (\( R_1 \), \( R_2 \)) und begründe dann, warum im Sachzusammenhang nur einer brauchbar ist. Beides zusammen ist die vollständige Antwort.
• Beim Thaleskreis den ganzen Abstand als Radius genommen. Ursache: Aus \( \overline{AB} = 10\ \text{cm} \) wird ein Kreis mit \( r = 10\ \text{cm} \). Vermeidung: \( \overline{AB} \) ist der Durchmesser, der Radius also die Hälfte. Kontrolle: Der Kreis muss durch \( A \) und \( B \) gehen.
• Die Tangente nicht senkrecht auf den Radius gesetzt. Mathematik I Ursache: Die Tangente wird nach Augenmaß an den Kreis angelegt. Vermeidung: Im Berührpunkt gilt \( \text{Tangente} \perp \text{Radius} \) – genau daraus folgt der rechte Winkel, der den Thaleskreis ins Spiel bringt und die Rechnung mit Pythagoras erst möglich macht. Nenne diese Eigenschaft in der Begründung ausdrücklich.

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