Mathematik Realschule Bayern · Klasse 6 · Lernbereich 2 „Achsenspiegelung und Symmetrie“ (LehrplanPLUS) · BY
Achsenspiegelung und Symmetrie: eine Figur an einer Achse spiegeln
Schau dir einen Schmetterling an, ein Gesicht oder die Türfront eines Schranks im Holzwerk Brandl: Die linke Hälfte sieht aus wie die rechte Hälfte – nur spiegelverkehrt. Genau das nennt man achsensymmetrisch. Auf dieser Seite lernst du, woran du das erkennst, wie du eine solche Spiegelachse findest, wie du Punkte und ganze Figuren an einer Achse spiegelst und welche Eigenschaften dabei immer erhalten bleiben. Ich zeichne dir zu jedem Schritt eine Grafik, damit du genau siehst, was gerade passiert.
Wozu brauchst du das?
Im Holzwerk Brandl werden linke und rechte Seitenwand eines Schranks oft spiegelbildlich gefertigt – wer die eine Seite kennt, kennt automatisch die andere. Auch Firmenlogos, Verkehrsschilder, Bauwerke und viele Gegenstände in der Natur (Blätter, Schmetterlinge, Gesichter) sind achsensymmetrisch aufgebaut. Wer versteht, wie eine Achsenspiegelung funktioniert, kann fehlende Hälften ergänzen, Symmetrien in Bauplänen nutzen und legt zugleich die Grundlage für spätere Kongruenzabbildungen wie die Parallelverschiebung und die Drehung.
Inhalt dieser Seite
- Achsensymmetrie erkennen: die Faltprobe
- Symmetrieachsen in bekannten Figuren finden
- Einen Punkt an einer Achse spiegeln
- Eine Figur an einer Achse spiegeln
- Eigenschaften der Achsenspiegelung
- Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende konstruieren
- Das Wichtigste in Kürze
1. Achsensymmetrie erkennen: die Faltprobe
Eine ebene Figur heißt achsensymmetrisch, wenn es mindestens eine Gerade gibt, an der du die Figur so spiegeln kannst, dass sie wieder genau auf sich selbst fällt. Diese Gerade nennst du Symmetrieachse. Am einfachsten prüfst du das mit der Faltprobe: Kannst du die Figur entlang einer Geraden falten, sodass beide Hälften deckungsgleich aufeinanderliegen, ist die Faltlinie eine Symmetrieachse.
Buchstaben zeigen das besonders anschaulich: A, H, M, O, T und X besitzen eine solche Faltlinie, sind also achsensymmetrisch. Bei F, G, J, L, N, P, Q, R, S und Z findest du dagegen keine Faltlinie, die beide Hälften zur Deckung bringt – sie sind nicht achsensymmetrisch.
Konstruktionsbeispiel: das Haus-Fünfeck
Betrachte das fünfeckige Logo, das das Holzwerk Brandl auf seine Prospekte druckt: ein „Haus“ mit Spitzdach. Um zu prüfen, ob es achsensymmetrisch ist, suchst du eine Faltlinie, die die linke Hälfte exakt auf die rechte Hälfte klappt.
Die gestrichelte Senkrechte durch die Dachspitze ist die Symmetrieachse – links und rechts liegt jeder Punkt gleich weit von ihr entfernt.
Merke: Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn es eine Gerade – die Symmetrieachse – gibt, an der gespiegelt die Figur wieder auf sich selbst fällt. Du prüfst das mit der Faltprobe: Faltest du die Figur entlang der vermuteten Achse, müssen beide Hälften exakt aufeinanderliegen. Manche Figuren haben keine, manche genau eine und manche sogar mehrere Symmetrieachsen.
2. Symmetrieachsen in bekannten Figuren finden
Viele Dreiecke und Vierecke, die du schon kennst, sind achsensymmetrisch. Wie viele Symmetrieachsen eine Figur hat, hängt von ihrer Bauart ab – ein Quadrat hat mehr Achsen als ein gleichschenkliges Dreieck, weil es „regelmäßiger“ aufgebaut ist.
Konstruktionsbeispiel: drei typische Fälle
Beim Quadrat sind es die beiden Mittellinien und die beiden Diagonalen, beim Kreis jede Gerade durch den Mittelpunkt.
In der Tabelle findest du alle Figuren aus dem Lehrplan mit ihrer Anzahl an Symmetrieachsen:
| Figur | Symmetrieachse(n) |
| gleichschenkliges Dreieck | 1 – die Mittelsenkrechte der Basis |
| gleichseitiges Dreieck | 3 – je eine durch jede Ecke und die Mitte der Gegenseite |
| Drachenviereck | 1 – die längere Diagonale |
| Raute | 2 – beide Diagonalen |
| gleichschenkliges Trapez | 1 – die Mittelsenkrechte der beiden parallelen Seiten |
| Rechteck | 2 – beide Mittellinien |
| Quadrat | 4 – beide Mittellinien und beide Diagonalen |
| Kreis | unendlich viele – jede Gerade durch den Mittelpunkt |
Merke: Die Dreiecke gleichschenklig und gleichseitig sowie die Vierecke Drachenviereck, Raute, gleichschenkliges Trapez, Rechteck und Quadrat sind achsensymmetrisch. Achte darauf, wo genau die Achse verläuft: beim Dreieck und beim Trapez ist es eine Mittelsenkrechte, beim Drachenviereck und bei der Raute sind es Diagonalen.
3. Einen Punkt an einer Achse spiegeln
Um einen Punkt \( P \) an einer Achse \( a \) zu spiegeln, konstruierst du mit Zirkel und Lineal den Bildpunkt \( P\‘ \) so, dass die Verbindungsstrecke \( PP\‘ \) senkrecht auf \( a \) steht und beide Punkte den gleichen Abstand zur Achse haben.
So gehst du vor: (1) Fälle mit Zirkel und Lineal das Lot von \( P \) auf die Achse \( a \); den Fußpunkt nennst du \( A \). (2) Verlängere das Lot über \( A \) hinaus auf die andere Seite der Achse. (3) Steche mit dem Zirkel in \( A \) ein, nimm die Strecke \( \overline{PA} \) als Radius und schlage einen Kreisbogen, der das verlängerte Lot schneidet – dieser Schnittpunkt ist \( P\‘ \). (4) Kontrolle: \( \overline{PA} = \overline{AP\‘} \) und \( PP\‘ \perp a \).
Konstruktionsbeispiel
Der Zirkelbogen um \( A \) trägt den Abstand \( \overline{PA} \) auf die andere Seite ab – deshalb ist \( \overline{PA} = \overline{AP\‘} \).
| Fußpunkt des Lots | \( A \), mit \( PA \perp a \) |
| Abstand \( \overline{PA} \) | gleich dem Abstand \( \overline{AP\‘} \) |
| Ergebnis | \( P\‘ \) liegt auf dem Lot, auf der Achse gespiegelt zu \( P \) |
Merke: \( P\‘ \) ist der an der Achse \( a \) gespiegelte Punkt zu \( P \), wenn \( \overline{PP\‘} \) senkrecht auf \( a \) steht und \( \overline{PA} = \overline{AP\‘} \) gilt, wobei \( A \) der Fußpunkt des Lots ist. Liegt \( P \) direkt auf der Achse, ist \( P \) sein eigener Bildpunkt: \( P\‘ = P \).
4. Eine Figur an einer Achse spiegeln
Eine ganze Figur spiegelst du, indem du jeden Eckpunkt einzeln nach dem Verfahren aus Kapitel 3 spiegelst und die Bildpunkte anschließend in derselben Reihenfolge wieder verbindest.
Konstruktionsbeispiel: ein Dreieck spiegeln
Das Dreieck \( ABC \) soll an der Achse \( a \) gespiegelt werden. Du spiegelst \( A \), \( B \) und \( C \) einzeln und erhältst \( A\‘ \), \( B\‘ \) und \( C\‘ \).
Die Pfeilspitzen auf \( AB \) und \( A\’B\‘ \) zeigen die Eckenreihenfolge – sie laufen spiegelbildlich gegeneinander: der Umlaufsinn kehrt sich um.
| Punkt | Abstand zu \( a \) | Bildpunkt |
| \( A \) | 180 | \( A\‘ \), gleicher Abstand auf der anderen Seite |
| \( B \) | 100 | \( B\‘ \), gleicher Abstand auf der anderen Seite |
| \( C \) | 140 | \( C\‘ \), gleicher Abstand auf der anderen Seite |
Verbindest du \( A\‘ \), \( B\‘ \) und \( C\‘ \) in derselben Reihenfolge wie im Original, entsteht das Bilddreieck – es ist deckungsgleich (kongruent) zum Ausgangsdreieck, nur spiegelverkehrt.
Merke: Um eine Figur zu spiegeln, spiegelst du jeden Eckpunkt einzeln (Lot fällen, Abstand mit dem Zirkel abtragen) und verbindest die Bildpunkte anschließend in der gleichen Reihenfolge wie im Original. Achte darauf, dass Punkte, die nahe an der Achse liegen, auch im Bild nahe an der Achse liegen – und Punkte auf der Achse bleiben unverändert.
5. Eigenschaften der Achsenspiegelung
Die Achsenspiegelung ist eine Kongruenzabbildung: Das Bild einer Figur ist immer deckungsgleich mit der Ausgangsfigur. Dabei bleiben bestimmte Eigenschaften garantiert erhalten.
Konstruktionsbeispiel: Längen- und Winkeltreue sichtbar gemacht
\( \overline{AB} = \overline{A\’B\‘} \), \( \overline{AC} = \overline{A\’C\‘} \), \( \overline{BC} = \overline{B\’C\‘} \) und \( \alpha = \alpha\‘ \) – nichts wird bei der Spiegelung verzerrt.
| Eigenschaft | Bedeutung |
| längentreu | Streckenlängen bleiben erhalten: \( \overline{AB} = \overline{A\’B\‘} \) |
| winkeltreu | Winkelmaße bleiben erhalten: \( \alpha = \alpha\‘ \) |
| geradentreu | das Bild einer Geraden ist wieder eine Gerade |
| parallelentreu | parallele Strecken bleiben auch im Bild parallel |
| kreistreu | das Bild eines Kreises ist ein Kreis mit gleichem Radius |
| Lage von Ur- und Bildgeraden | eine zur Achse parallele Gerade wird auf eine dazu parallele Bildgerade abgebildet; eine nicht parallele Gerade schneidet ihre Bildgerade auf der Spiegelachse; eine Gerade senkrecht zur Achse wird auf sich selbst abgebildet (Fixgerade) |
| umkehrbar | spiegelst du das Bild noch einmal an derselben Achse, erhältst du die Ausgangsfigur zurück |
| Umlaufsinn | kehrt sich um – aus „linksherum“ wird „rechtsherum“ und umgekehrt |
| Fixelemente | jeder Punkt auf der Achse ist ein Fixpunkt (Bild = Original), die Achse selbst ist eine Fixgerade |
Merke: Die Achsenspiegelung ist längen-, winkel-, geraden-, parallelen- und kreistreu und umkehrbar. Nur der Umlaufsinn dreht sich um. Punkte auf der Achse selbst verändern sich nicht – sie sind Fixpunkte, und die Achse ist eine Fixgerade. Eine Gerade senkrecht zur Achse wird ebenfalls auf sich selbst abgebildet, eine parallele Gerade auf eine parallele Bildgerade, und jede andere Gerade schneidet ihre Bildgerade genau auf der Spiegelachse.
6. Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende konstruieren
Zwei Fundamentalkonstruktionen mit Zirkel und Lineal hängen eng mit der Achsenspiegelung zusammen: die Mittelsenkrechte einer Strecke und die Winkelhalbierende eines Winkels. Beide sind selbst Symmetrieachsen.
Konstruktionsbeispiel: Mittelsenkrechte einer Strecke
Die Mittelsenkrechte \( m \) einer Strecke \( \overline{AB} \) geht durch deren Mittelpunkt und steht senkrecht auf ihr. Jeder Punkt auf \( m \) ist von \( A \) und \( B \) gleich weit entfernt. Konstruktion: (1) Steche mit dem Zirkel in \( A \) ein und schlage mit einem Radius von mehr als der halben Streckenlänge \( \overline{AB} \) einen Bogen. (2) Steche mit demselben Radius in \( B \) ein und schlage einen zweiten Bogen, sodass sich beide Bogen oberhalb und unterhalb der Strecke schneiden. (3) Verbinde die beiden Schnittpunkte mit dem Lineal – das ist die Mittelsenkrechte \( m \) von \( \overline{AB} \), z. B. bei Werkstücken im Holzwerk Brandl, wenn zwei Bohrungen exakt symmetrisch zu einer Kante liegen sollen.
Die Mittelsenkrechte \( m \) verläuft durch den Streckenmittelpunkt \( M \) und steht senkrecht auf \( \overline{AB} \).
Merke: Die Mittelsenkrechte \( m \) einer Strecke \( \overline{AB} \) geht durch deren Mittelpunkt \( M \) und steht senkrecht auf \( \overline{AB} \). Für jeden Punkt \( P \) auf \( m \) gilt \( \overline{PA} = \overline{PB} \) – und umgekehrt liegt jeder Punkt mit gleichem Abstand zu \( A \) und \( B \) auf \( m \).
Konstruktionsbeispiel: Winkelhalbierende
Die Winkelhalbierende \( w \) eines Winkels teilt diesen in zwei gleich große Teilwinkel und ist zugleich die Symmetrieachse des Winkels. Konstruktion: (1) Steche mit dem Zirkel im Scheitelpunkt \( S \) ein und schlage einen Bogen, der beide Schenkel schneidet – du erhältst die Punkte \( C \) und \( D \). (2) Steche nacheinander mit gleichem Radius in \( C \) und in \( D \) ein und schlage zwei Bogen, die sich innerhalb des Winkels schneiden. (3) Die Verbindung von \( S \) mit diesem Schnittpunkt ist die Winkelhalbierende \( w \).
Die Winkelhalbierende \( w \) teilt den Winkel in zwei gleich große Teilwinkel \( \alpha \).
Merke: Die Winkelhalbierende \( w \) eines Winkels teilt ihn in zwei maßgleiche Teilwinkel und ist die Symmetrieachse des Winkels. Jeder Punkt auf \( w \) hat von beiden Schenkeln des Winkels denselben Abstand – und umgekehrt liegt jeder Punkt mit gleichem Abstand zu beiden Schenkeln auf \( w \).
7. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die fünf Kernpunkte dieser Seite:
- Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn eine Faltlinie – die Symmetrieachse – sie deckungsgleich auf sich selbst faltet.
- Gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck sowie Drachenviereck, Raute, gleichschenkliges Trapez, Rechteck und Quadrat sind achsensymmetrisch; der Kreis hat sogar unendlich viele Symmetrieachsen.
- Einen Punkt spiegelst du mit Zirkel und Lineal: Lot fällen, Fußpunkt \( A \) bestimmen, den Abstand \( \overline{PA} \) mit dem Zirkel auf die andere Seite abtragen – so entsteht \( P\‘ \) mit \( \overline{PA} = \overline{AP\‘} \).
- Eine Figur spiegelst du, indem du jeden Eckpunkt einzeln spiegelst und die Bildpunkte in gleicher Reihenfolge verbindest.
- Die Achsenspiegelung ist längen-, winkel-, geraden-, parallelen- und kreistreu sowie umkehrbar; nur der Umlaufsinn dreht sich um, und Punkte auf der Achse sind Fixpunkte.
- Die Mittelsenkrechte einer Strecke und die Winkelhalbierende eines Winkels sind Fundamentalkonstruktionen mit Zirkel und Lineal und selbst Symmetrieachsen: Jeder Punkt auf ihnen ist von den beiden Streckenendpunkten bzw. von beiden Winkelschenkeln gleich weit entfernt.
8. So fragt die Abschlussprüfung
Die Achsenspiegelung wird in Prüfungsaufgaben selten allein abgefragt. Sie steckt in Sachaufgaben, in denen du Symmetrieachsen zählen, Spiegelpunkte angeben oder aus der Längentreue eine Größe schließen sollst. Drei typische Formen aus dem Holzwerk-Kontext, gelöst wie in der Prüfung erwartet:
Aufgabe 1 – Symmetrieachsen zählen. Katharina Brandl legt Lena drei Zuschnitte für Tischplatten vor: ein Quadrat mit 90 cm Kantenlänge, ein Rechteck 120 cm × 80 cm und ein gleichschenkliges Trapez. Wie viele Symmetrieachsen hat jede Platte – und wie viele insgesamt?
| Quadrat | 2 Mittelsenkrechte + 2 Diagonalen = 4 Achsen |
| Rechteck (\( 120 \ne 80 \)) | nur die 2 Mittelsenkrechten = 2 Achsen |
| gleichschenkliges Trapez | Mittelsenkrechte der parallelen Seiten = 1 Achse |
| Summe | \( 4 + 2 + 1 = 7 \) Symmetrieachsen |
Gegenprobe: Falte jede Figur in Gedanken. Beim Rechteck fällt die Diagonalfaltung nicht deckungsgleich zusammen, weil die Seiten unterschiedlich lang sind – deshalb 2 und nicht 4 ✓. Antwort: Die drei Platten haben zusammen 7 Symmetrieachsen.
Aufgabe 2 – Spiegelpunkt im Koordinatensystem. Auf einem Bohrplan für ein Regalsystem liegt der Bohrpunkt \( P(2\,|\,3) \). Jonas soll ihn an der senkrechten Achse \( a \) mit \( x = 5 \) spiegeln, damit das Regal symmetrisch wird. Welche Koordinaten hat \( P\‘ \)?
| Ansatz (Lot auf \( a \)) | Das Lot ist waagrecht, also bleibt \( y \) unverändert. |
| Abstand zur Achse | \( 5 – 2 = 3 \) |
| gleichen Abstand abtragen | \( 5 + 3 = 8 \) |
| Bildpunkt | \( P\'(8\,|\,3) \) |
Gegenprobe: Der Mittelpunkt von \( \overline{PP\‘} \) muss auf der Achse liegen: \( (2+8) : 2 = 5 \) ✓, und beide Punkte haben denselben \( y \)-Wert ✓. Antwort: Der Spiegelpunkt ist \( P\'(8\,|\,3) \).
Aufgabe 3 – Längentreue nutzen. Merve spiegelt ein dreieckiges Verschnittstück mit der Grundseite \( g = 12\ \text{cm} \) und der zugehörigen Höhe \( h = 5\ \text{cm} \) an einer Achse, um daraus eine zweite Eckverstärkung anzureihen. Wie groß ist die Gesamtfläche der beiden Stücke?
| Fläche des Originals | \( A = \tfrac{1}{2} \cdot 12\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm} = 30\ \text{cm}^2 \) |
| Spiegelbild | längen- und winkeltreu \( \Rightarrow \) \( A\‘ = 30\ \text{cm}^2 \) |
| Gesamtfläche | \( 30\ \text{cm}^2 + 30\ \text{cm}^2 = 60\ \text{cm}^2 \) |
Gegenprobe: Weil die Achsenspiegelung deckungsgleiche Figuren erzeugt, muss die Gesamtfläche genau das Doppelte sein: \( 60 : 2 = 30 \) ✓. Antwort: Die beiden Stücke bedecken zusammen 60 cm². Nur der Umlaufsinn der Eckpunkte hat sich umgedreht – die Fläche nicht.
9. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Beim Rechteck vier Symmetrieachsen angegeben. Ursache: Das Rechteck wird mit dem Quadrat verwechselt, die Diagonalen werden mitgezählt. Vermeidung: Falte in Gedanken entlang der Diagonale – nur wenn alle Seiten gleich lang sind (Quadrat), fallen die Hälften deckungsgleich zusammen.
- Das Lot nicht senkrecht gefällt. Ursache: Der Punkt wird „nach Gefühl“ auf die andere Seite übertragen, ohne Geodreieck. Vermeidung: Zuerst mit dem Geodreieck das Lot von \( P \) auf die Achse zeichnen, den Fußpunkt markieren – und erst dann den Abstand abtragen.
- Abstand zur Achse nur einmal statt doppelt abgetragen. Ursache: Der Bildpunkt wird auf die Achse selbst gesetzt statt gleich weit dahinter. Vermeidung: Kontrolliere immer \( \overline{PA} = \overline{AP\‘} \) – der Fußpunkt \( A \) ist der Mittelpunkt der Strecke \( \overline{PP\‘} \).
- Eckpunkte in falscher Reihenfolge verbunden. Ursache: Nach dem Spiegeln aller Punkte wird nicht auf die Zuordnung \( A \to A\‘ \), \( B \to B\‘ \), \( C \to C\‘ \) geachtet. Vermeidung: Beschrifte jeden Bildpunkt sofort nach dem Spiegeln und verbinde erst am Ende – in genau derselben Reihenfolge wie im Original.
- Symmetrieachse mit einer beliebigen Halbierungslinie verwechselt. Ursache: Jede Linie, die eine Figur in zwei flächengleiche Teile schneidet, wird als Symmetrieachse gezählt. Vermeidung: Flächengleich genügt nicht – die beiden Hälften müssen beim Falten deckungsgleich aufeinanderliegen.
- Umlaufsinn als Fehler statt als Eigenschaft behandelt. Ursache: Es wird versucht, das Spiegelbild „richtig herum“ zu zeichnen. Vermeidung: Merke dir, dass die Achsenspiegelung den Umlaufsinn immer umkehrt – Längen, Winkel und Flächen bleiben dabei unverändert.
Weiterlernen
- Flächeninhalt ebener Figuren – Drachenviereck und Raute nutzt du über ihre Symmetrieachsen, um Flächenformeln herzuleiten.
- Parallelverschiebung – die nächste Kongruenzabbildung, bei der sich der Umlaufsinn diesmal nicht umkehrt.
- Vierecke – Trapez, Drachenviereck, Parallelogramm, Raute, Rechteck und Quadrat im Detail unterscheiden.
- Drehung – eine weitere Kongruenzabbildung, bei der die Punktspiegelung ein Sonderfall ist.
✏️ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Erstelle dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zu Realschule Bayern und deiner Klasse. Kostenloses Konto erstellen und direkt testen.