Mathematik Realschule Bayern · Klasse 10 · Mathematik I · Lernbereich 3 „Potenzen und Potenzfunktionen“ (LehrplanPLUS, 16 Std.) · BY

Potenzen und Potenzfunktionen: von \( 2^3 \) über \( 8^{2/3} \) bis zum Graphen von \( y = a(x+b)^c + d \)

Potenzen kennst du seit Jahren: \( 2^3 = 8 \), das ist Kurzschreibweise für \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \). In dieser Jahrgangsstufe passiert etwas Neues: Der Exponent darf jetzt jede rationale Zahl sein – auch negativ, auch ein Bruch. Damit wird \( 8^{2/3} \) zu einer ganz normalen Rechnung, und die Wurzel hört auf, ein Sonderfall zu sein. Und noch etwas kommt dazu: Du lässt den Exponenten fest und die Basis laufen. Dann entsteht aus der Potenz eine Funktion – \( f(x) = x^n \) –, und ihr Graph verrät dir mit einem Blick, ob \( n \) gerade oder ungerade, positiv oder negativ ist. Genau diesen Weg gehst du auf dieser Seite Schritt für Schritt.

Inhalt dieser Seite

1. Die Potenzgesetze – auch für negative Exponenten
2. Rationale Exponenten und die n-te Wurzel
3. Die Potenzfunktion \( f(x) = x^n \): gerade und ungerade Exponenten
4. Negative Exponenten: Hyperbeln, Definitionslücke, Asymptoten
5. Gebrochene Exponenten: die Wurzelfunktionen
6. Die allgemeine Form \( y = a(x+b)^c + d \)
7. Die Umkehrfunktion
8. Anwendungsaufgaben
9. Das Wichtigste in Kürze

1. Die Potenzgesetze – auch für negative Exponenten

Eine Potenz \( a^n \) hat eine Basis \( a \) und einen Exponenten \( n \). Für natürliche Exponenten gelten fünf Regeln, die du bereits kennst:

Jetzt die entscheidende Frage: Was bedeutet \( a^0 \), und was bedeutet \( a^{-3} \)? Die Antwort ist nicht willkürlich festgelegt, sondern erzwungen. Schau dir die Potenzen von 2 an und gehe im Exponenten immer eine Stufe nach unten. Bei jeder Stufe wird der Wert halbiert – und dieses Muster setzt du einfach fort:

Die Leiter bricht nicht ab: Sie erzwingt \( 2^0 = 1 \) und \( 2^{-2} = \tfrac{1}{4} \).

Formal folgt dasselbe aus dem Divisionsgesetz: \( a^n : a^n = a^{n-n} = a^0 \), und gleichzeitig ist \( a^n : a^n = 1 \). Also muss \( a^0 = 1 \) sein (für \( a \neq 0 \)). Genauso ist \( a^0 : a^n = a^{0-n} = a^{-n} \) und zugleich \( 1 : a^n = \tfrac{1}{a^n} \).

Beispiel 1 – ein Zahlenterm

Kontrolle mit reinen Zahlen: \( 3^5 = 243 \), \( 3^{-2} = \tfrac{1}{9} \), also Zähler \( 243 : 9 = 27 \). Nenner \( 3^4 = 81 \). Und \( 27 : 81 = \tfrac{1}{3} \) ✓.

Beispiel 2 – ein Term mit Variablen

Kontrolle mit \( a = 2 \) und \( b = 3 \): Ausgangsterm \( (2 \cdot 8 \cdot 3)^2 \cdot 2^{-2} = 48^2 \cdot \tfrac{1}{4} = 2304 : 4 = 576 \). Ergebnisterm \( 4 \cdot 2^4 \cdot 3^2 = 4 \cdot 16 \cdot 9 = 576 \) ✓.

2. Rationale Exponenten und die n-te Wurzel

Die n-te Wurzel aus \( a \) ist definiert für \( a \in \text{IR}^+ \) und \( n \in \text{IN} \): Sie ist die nichtnegative Lösung der Gleichung \( x^n = a \). Man schreibt \( \sqrt[n]{a} \).

Das Wort „nichtnegativ“ ist wichtig. Die Gleichung \( x^4 = 81 \) hat in IR zwei Lösungen, nämlich \( 3 \) und \( -3 \) – also \( \text{IL} = \{-3;\,3\} \). Die vierte Wurzel ist aber trotzdem eindeutig: \( \sqrt[4]{81} = 3 \). Nur so ist \( \sqrt[n]{\;} \) überhaupt eine Rechenoperation mit einem einzigen Ergebnis.

Und jetzt der Brückenschlag zur Potenz. Soll das Gesetz \( (a^r)^s = a^{r \cdot s} \) auch für Brüche gelten, dann muss \( \left(a^{1/n}\right)^n = a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a^1 = a \) sein. Eine Zahl, die mit \( n \) potenziert wieder \( a \) ergibt, ist genau die n-te Wurzel. Also bleibt gar keine Wahl:

Der Nenner des Exponenten ist der Wurzelexponent, der Zähler ist der Potenzexponent. Beim Ausrechnen ziehst du am besten zuerst die Wurzel und potenzierst danach – so bleiben die Zahlen klein.

Beispiel 1 – vier Werte berechnen

Der Dezimalexponent 0,75 in Zeile 3 zeigt den üblichen ersten Schritt: Dezimalzahl in einen Bruch verwandeln, denn nur am Bruch siehst du Wurzel- und Potenzexponent. \( 0{,}75 = \tfrac{75}{100} = \tfrac{3}{4} \).

Beispiel 2 – Wurzelterme mit Potenzgesetzen zusammenfassen

In Wurzelschreibweise kann man \( \sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} \) nicht zusammenfassen – die Wurzelexponenten sind verschieden. In Potenzschreibweise ist es eine Zeile:

Kontrolle mit \( a = 64 \): \( \sqrt{64} = 8 \) und \( \sqrt[3]{64} = 4 \), Produkt \( 32 \). Ergebnisterm: \( 64^{5/6} = \left(\sqrt[6]{64}\right)^5 = 2^5 = 32 \) ✓.

3. Die Potenzfunktion \( f(x) = x^n \): gerade und ungerade Exponenten

Bisher war die Basis fest und der Exponent variabel. Jetzt drehst du es um: Der Exponent bleibt fest, die Basis wird zur Variablen \( x \). So entsteht die Potenzfunktion

Verwechsle das nicht mit der Exponentialfunktion \( f(x) = 2^x \): Dort steht das \( x \) oben. Hier steht es unten, in der Basis.

Drei Punkte hat jeder dieser Graphen gemeinsam, egal wie groß \( n \) ist: \( (0\,|\,0) \) und \( (1\,|\,1) \), denn \( 0^n = 0 \) und \( 1^n = 1 \). Der dritte gemeinsame Punkt bei \( x = -1 \) entscheidet alles – und er hängt davon ab, ob \( n \) gerade oder ungerade ist:

Zeichne die vier Graphen \( y = x^2 \), \( y = x^3 \), \( y = x^4 \) und \( y = x^5 \) in ein Koordinatensystem, dann siehst du beides auf einmal: die Symmetrie und den Effekt eines größeren Exponenten.

Alle vier Graphen treffen sich in \( (0\,|\,0) \) und \( (1\,|\,1) \) – bei \( x = -1 \) trennen sich gerade und ungerade Exponenten.

Beispiel – Symmetrie rechnerisch nachweisen

Zeige, dass \( f(x) = x^4 \) achsensymmetrisch und \( g(x) = x^5 \) punktsymmetrisch ist. Du setzt dafür \( -x \) ein und vergleichst:

Zahlenprobe: \( f(-2) = (-2)^4 = 16 = f(2) \) ✓. \( g(-2) = (-2)^5 = -32 = -g(2) \) ✓.

Wertemenge: Für gerades \( n \) ist \( x^n \) nie negativ, also \( \text{IW} = \{y \in \text{IR} \mid y \geq 0\} \). Für ungerades \( n \) durchläuft \( x^n \) alle reellen Zahlen, also \( \text{IW} = \text{IR} \). Die Definitionsmenge ist in beiden Fällen \( \text{ID} = \text{IR} \) – jede reelle Zahl darf man potenzieren.

4. Negative Exponenten: Hyperbeln, Definitionslücke, Asymptoten

Setz jetzt einen negativen Exponenten ein. Aus Kapitel 1 weißt du: \( x^{-n} = \tfrac{1}{x^n} \). Das \( x \) rutscht in den Nenner – und damit ändert sich sofort die Definitionsmenge, denn durch null darf man nicht teilen:

Die Stelle \( x = 0 \) heißt Definitionslücke. Der Graph zerfällt dort in zwei getrennte Äste. Solche Graphen nennt man Hyperbeln.

Was passiert in der Nähe der Lücke und weit draußen? Rechne es an \( f(x) = \tfrac{1}{x} \) nach:

Näherst du dich der Null, wachsen die Werte über alle Grenzen; gehst du weit nach rechts, kommen sie der Null beliebig nahe, ohne sie je zu erreichen. Die beiden Achsen sind also Asymptoten: die senkrechte Asymptote \( x = 0 \) und die waagrechte Asymptote \( y = 0 \).

Auch hier gilt die Symmetrieregel: −1 ist ungerade → punktsymmetrisch, −2 ist gerade → achsensymmetrisch.

Die Symmetrieregel aus Kapitel 3 gilt unverändert weiter, weil sie nur davon abhängt, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. Rechne es nach: \( f(-x) = (-x)^{-2} = \tfrac{1}{(-x)^2} = \tfrac{1}{x^2} = f(x) \) – achsensymmetrisch. Und \( g(-x) = \tfrac{1}{-x} = -\tfrac{1}{x} = -g(x) \) – punktsymmetrisch.

Beispiel – Definitions- und Wertemenge bestimmen

Warum ist bei \( g \) die Null aus der Wertemenge ausgeschlossen, negative Werte aber auch? Weil \( x^2 \) für jedes \( x \neq 0 \) positiv ist, also ist auch der Kehrwert \( \tfrac{1}{x^2} \) positiv – und ein Bruch mit Zähler 1 wird nie null. Bei \( f \) dagegen ist \( \tfrac{1}{x} \) für negative \( x \) negativ, deshalb bleibt nur die Null ausgeschlossen.

5. Gebrochene Exponenten: die Wurzelfunktionen

Der dritte Fall: Der Exponent ist ein Bruch. Nach Kapitel 2 ist \( x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} \) und \( x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} \). Solche Funktionen heißen Wurzelfunktionen.

Entscheidend ist die Definitionsmenge. Die n-te Wurzel ist nur für nichtnegative Radikanden erklärt, deshalb gilt für jede Potenz mit gebrochenem Exponenten:

Das ist ein wichtiger Unterschied zu Kapitel 3: \( x^2 \) darfst du für jedes \( x \) berechnen, \( x^{1/2} \) nur für \( x \geq 0 \). Der Graph beginnt deshalb im Ursprung und geht nur nach rechts.

Beispiel – Wertetabelle für \( f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \)

Kontrolle: \( 0{,}5^2 = 0{,}25 \) ✓, \( 2^2 = 4 \) ✓, \( 3^2 = 9 \) ✓, \( 4^2 = 16 \) ✓. Also \( \text{ID} = \{x \in \text{IR} \mid x \geq 0\} \) und \( \text{IW} = \{y \in \text{IR} \mid y \geq 0\} \).

Beachte den Unterschied zwischen Exponenten kleiner und größer als 1: Ist der Exponent zwischen 0 und 1 (wie \( \tfrac{1}{2} \) oder \( \tfrac{1}{3} \)), wächst der Graph immer langsamer – er ist nach rechts gekrümmt. Ist er größer als 1 (wie \( \tfrac{3}{2} \)), wächst er immer schneller. Bei \( x = 1 \) treffen sich alle.

6. Die allgemeine Form \( y = a(x+b)^c + d \)

Jetzt der Schritt, der in der Prüfung zählt. Aus der Grundfunktion \( y = x^c \) wird durch vier Parameter die allgemeine Potenzfunktion:

So bestimmst du \( \text{ID} \), \( \text{IW} \) und die Asymptoten: (1) Schau auf \( c \). Ist \( c \) eine positive ganze Zahl, ist \( \text{ID} = \text{IR} \). Ist \( c \) negativ, steht \( (x+b) \) im Nenner, also \( \text{ID} = \text{IR} \setminus \{-b\} \). Ist \( c \) ein Bruch, muss der Radikand nichtnegativ sein: \( x + b \geq 0 \), also \( \text{ID} = \{x \in \text{IR} \mid x \geq -b\} \). (2) Bei negativem \( c \) ist die senkrechte Asymptote \( x = -b \) und die waagrechte \( y = d \), denn \( (x+b)^c \) geht für große Beträge von \( x \) gegen null. (3) Die Wertemenge folgt aus der Grundfunktion, verschoben um \( d \).

Beispiel 1 – eine verschobene Hyperbel

Hier ist \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -1 \), \( d = 3 \). Also: Die Grundhyperbel \( y = \tfrac{1}{x} \) wird um 1 nach rechts, um 3 nach oben verschoben und mit dem Faktor 2 gestreckt.

Warum ist 3 kein Funktionswert? Weil \( \tfrac{2}{x-1} = 0 \) unmöglich ist – ein Bruch mit Zähler 2 wird nie null. Also erreicht \( f \) den Wert \( 0 + 3 = 3 \) nie.

Wertetabelle (jeder Wert nachgerechnet):

Kontrolle an drei Stellen: \( f(2) = \tfrac{2}{1} + 3 = 5 \) ✓  ·  \( f(0) = \tfrac{2}{-1} + 3 = -2 + 3 = 1 \) ✓  ·  \( f(0{,}5) = \tfrac{2}{-0{,}5} + 3 = -4 + 3 = -1 \) ✓. Und die Werte nähern sich rechts von oben der 3: \( f(5) = 3{,}5 \), \( f(11) = \tfrac{2}{10} + 3 = 3{,}2 \).

Beispiel 2 – ein gebrochener Exponent

Kontrolle: \( g(0) = 3\sqrt{4} – 2 = 3 \cdot 2 – 2 = 4 \) ✓  ·  \( g(5) = 3\sqrt{9} – 2 = 9 – 2 = 7 \) ✓  ·  \( g(12) = 3 \cdot 4 – 2 = 10 \) ✓. Hier gibt es keine Asymptoten – die Wurzelfunktion wächst unbeschränkt, sie nähert sich keiner Geraden.

7. Die Umkehrfunktion

Eine Funktion ordnet jedem \( x \) ein \( y \) zu. Die Umkehrfunktion \( f^{-1} \) macht das rückgängig: Sie ordnet jedem \( y \) das zugehörige \( x \) zu. Das geht nur, wenn kein Funktionswert zweimal vorkommt – deshalb muss man bei \( f(x) = x^2 \) die Definitionsmenge auf \( x \geq 0 \) einschränken, sonst hätte der Wert 4 die beiden Urbilder 2 und −2.

So gehst du vor: (1) Funktionsgleichung als \( y = \ldots \) schreiben. (2) Nach \( x \) auflösen. (3) \( x \) und \( y \) vertauschen. (4) \( \text{ID} \) und \( \text{IW} \) tauschen ebenfalls die Rollen. Geometrisch bedeutet das: Der Graph von \( f^{-1} \) ist der an der Winkelhalbierenden \( y = x \) gespiegelte Graph von \( f \).

Beispiel 1 – die Grundform

Probe: \( f(1{,}5) = 2{,}25 \) und \( f^{-1}(2{,}25) = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5 \) ✓. Beide Funktionen haben hier \( \text{ID} = \text{IW} = \{x \in \text{IR} \mid x \geq 0\} \).

Beispiel 2 – die verschobene Hyperbel aus Kapitel 6

Definitions- und Wertemenge tauschen: \( f^{-1} \) hat \( \text{ID} = \text{IR} \setminus \{3\} \) und \( \text{IW} = \text{IR} \setminus \{1\} \) – genau vertauscht zu \( f \). Ebenso tauschen die Asymptoten: aus \( x = 1 \) und \( y = 3 \) wird \( x = 3 \) und \( y = 1 \).

Probe: \( f(2) = \tfrac{2}{1} + 3 = 5 \). Rückweg: \( f^{-1}(5) = \tfrac{2}{5-3} + 1 = \tfrac{2}{2} + 1 = 2 \) ✓. Zweite Probe: \( f(0) = 1 \) und \( f^{-1}(1) = \tfrac{2}{1-3} + 1 = -1 + 1 = 0 \) ✓.

Beispiel 3 – mit ungeradem Exponenten

Bei \( f(x) = (x-2)^3 + 1 \) muss die Definitionsmenge nicht eingeschränkt werden: Weil der Exponent ungerade ist, kommt jeder Funktionswert genau einmal vor. Auflösen: \( y – 1 = (x-2)^3 \), also \( x – 2 = \sqrt[3]{y-1} \) und \( x = \sqrt[3]{y-1} + 2 \). Damit ist \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x-1} + 2 \).

Probe: \( f(3) = 1^3 + 1 = 2 \), und \( f^{-1}(2) = \sqrt[3]{1} + 2 = 3 \) ✓. Zweite Probe: \( f(4) = 2^3 + 1 = 9 \), und \( f^{-1}(9) = \sqrt[3]{8} + 2 = 2 + 2 = 4 \) ✓.

8. Anwendungsaufgaben

Beispiel 1 – von der Kantenlänge zum Volumen und zurück

Das Holzwerk Brandl in Rosenheim baut würfelförmige Transportkisten. Für die Kantenlänge \( s \) (in Metern) gilt \( V(s) = s^3 \) – eine Potenzfunktion mit dem Exponenten 3.

a) Eine Kiste hat 0,5 m Kantenlänge. Welches Volumen hat sie? – \( V = 0{,}5^3\ \text{m}^3 = 0{,}125\ \text{m}^3 \), also 125 Liter.

b) Eine größere Kiste soll 0,216 m³ fassen. Wie lang ist ihre Kante? Hier brauchst du die Umkehrfunktion:

Probe: \( 0{,}6^3 = 0{,}6 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36 \cdot 0{,}6 = 0{,}216 \) ✓. Antwort: Die Kante ist 0,60 m lang.

c) Die Kantenlänge wird verdoppelt – wie ändert sich das Volumen? \( V(2s) = (2s)^3 = 8s^3 = 8 \cdot V(s) \). Das Volumen und damit das Gewicht wird achtmal so groß. Genau das ist der Kern jeder Potenzfunktion: Der Faktor bei der Basis wird mit dem Exponenten potenziert. Kontrolle mit Zahlen: \( 0{,}3^3 = 0{,}027 \) und \( 0{,}6^3 = 0{,}216 \), und \( 0{,}027 \cdot 8 = 0{,}216 \) ✓.

Beispiel 2 – Lack auf eine Fläche verteilen

In der Lackiererei des Holzwerks stehen 12 Liter Klarlack zur Verfügung. Verteilst du 1 Liter gleichmäßig auf 1 m², ergibt das eine Schichtdicke von 1 mm. Für die Schichtdicke \( d \) (in mm) in Abhängigkeit von der lackierten Fläche \( A \) (in m²) gilt also

Beachte die Definitionsmenge: Mathematisch wäre \( \text{IR} \setminus \{0\} \) richtig, aber eine Fläche kann nicht negativ sein – im Sachzusammenhang bleibt nur \( A > 0 \).

a) Wie dick ist die Schicht auf 8 m²? – \( d(8) = \tfrac{12}{8} = 1{,}5 \). Antwort: 1,5 mm.

b) Der Hersteller schreibt eine Schichtdicke von 0,75 mm vor. Welche Fläche lässt sich damit lackieren? Das ist wieder die Umkehrung:

Probe am Text: 12 l auf 16 m² sind \( 12 : 16 = 0{,}75 \) Liter je Quadratmeter, also 0,75 mm ✓. Antwort: Es lassen sich 16 m² vorschriftsmäßig lackieren.

c) Was passiert bei sehr großen Flächen? Die Werte nähern sich der Null, erreichen sie aber nie – die waagrechte Asymptote \( d = 0 \) hat hier eine handfeste Bedeutung: Bei fester Lackmenge wird die Schicht beliebig dünn, aber die Farbe verschwindet nicht.

9. Das Wichtigste in Kürze

10. So fragt die Abschlussprüfung

Dieser Lernbereich gehört ausschließlich zu Mathematik I. In der Abschlussprüfung erscheint er in zwei Gestalten: als reine Rechenaufgabe zu den Potenzgesetzen mit negativen und gebrochenen Exponenten – und als Sachaufgabe, in der ein Zusammenhang als Potenzfunktion modelliert und dann umgekehrt wird. Vier typische Aufgabenformen, drei davon im Holzwerk-Kontext:

Aufgabe 1 – Potenzgesetze anwenden. Vereinfache so weit wie möglich bzw. berechne. Es sei \( x \in \text{IR},\; x > 0 \).

Gegenprobe mit einer Zahl: Setze in a) \( x = 2 \) ein: \( \dfrac{2^5 \cdot 2^{-2}}{2^{-3}} = \dfrac{32 \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{8}} = \dfrac{8}{\frac{1}{8}} = 64 \) – und \( 2^{6} = 64 \) ✓. Zu c): \( 8^{4} = 4096 = 16^{3} \) ✓, denn \( 16^3 = 4096 \). Zu d): \( \left(\tfrac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = 8 \) ✓. Antwort: a) \( x^6 \), b) \( x \), c) 8, d) \( \tfrac{1}{4} \). Die Zahlenprobe mit \( x = 2 \) ist bei jedem Potenzterm der schnellste Selbsttest – nutze sie in der Prüfung immer.

Aufgabe 2 – Potenzfunktion und ihre Umkehrung im Sachzusammenhang. Das Holzwerk Brandl liefert würfelförmige Versandkisten. Das Volumen hängt von der Kantenlänge \( a \) (in dm) ab: \( V(a) = a^{3} \), \( \text{ID} = \{a \in \text{IR} \mid a > 0\} \). a) Welches Volumen hat eine Kiste mit \( a = 4\ \text{dm} \)? b) Lena braucht eine Kiste mit 125 dm³. Stelle die Umkehrfunktion auf und berechne die Kantenlänge.

Gegenprobe: Vorwärts eingesetzt ergibt \( 5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \) ✓, und \( 4^3 = 64 \) ✓. Größenordnung: \( 125 > 64 \), also muss die Kante größer als 4 dm sein – 5 dm passt ✓. Antwort: Die 4-dm-Kiste hat 64 dm³ (also 64 Liter); für 125 dm³ braucht Lena eine Kantenlänge von 5 dm. Der Definitionsbereich gehört zur Antwort: Negative Kantenlängen gibt es nicht, deshalb \( a > 0 \) – und genau deshalb ist \( V(a) = a^3 \) hier umkehrbar.

Aufgabe 3 – negativer Exponent: die Hyperbel im Sachzusammenhang. Ein Auftrag über 240 Regalbretter wird gleichmäßig auf \( x \) Paletten verteilt: \( f(x) = \dfrac{240}{x} = 240 \cdot x^{-1} \). Jonas soll die Wertetabelle füllen, den Definitionsbereich angeben und erklären, was die Asymptote \( y = 0 \) im Sachzusammenhang bedeutet.

Gegenprobe: Bei umgekehrter Proportionalität muss das Produkt \( x \cdot f(x) \) konstant sein: \( 2 \cdot 120 = 240 \), \( 4 \cdot 60 = 240 \), \( 6 \cdot 40 = 240 \), \( 8 \cdot 30 = 240 \), \( 10 \cdot 24 = 240 \) ✓ – fünfmal derselbe Wert, also ist die Tabelle sicher richtig. Zweite Kontrolle: Doppelte Palettenzahl muss die halbe Stückzahl ergeben – von \( x=4 \) (60) zu \( x=8 \) (30) ✓. Antwort: Je mehr Paletten, desto weniger Bretter je Palette; das Produkt bleibt stets 240. Der mathematische Definitionsbereich schließt nur \( x = 0 \) aus, im Sachzusammenhang sind aber nur natürliche Palettenzahlen sinnvoll. Die Asymptote \( y = 0 \) bedeutet: Die Stückzahl je Palette wird bei sehr vielen Paletten beliebig klein, erreicht aber nie 0 – auf jeder Palette liegt immer noch etwas.

Aufgabe 4 – allgemeine Form und Umkehrfunktion. Gegeben ist \( f(x) = 2(x-1)^{3} + 5 \) mit \( \text{ID} = \text{IR} \). Bestimme die Umkehrfunktion \( f^{-1} \).

Gegenprobe: \( f(3) = 2 \cdot (3-1)^{3} + 5 = 2 \cdot 8 + 5 = 21 \). Rückwärts: \( f^{-1}(21) = 1 + \sqrt[3]{\tfrac{21-5}{2}} = 1 + \sqrt[3]{8} = 1 + 2 = 3 \) ✓. Zweiter Testwert: \( f(1) = 2 \cdot 0 + 5 = 5 \) und \( f^{-1}(5) = 1 + \sqrt[3]{0} = 1 \) ✓. Antwort: \( f^{-1}(x) = 1 + \sqrt[3]{\dfrac{x-5}{2}} \) mit \( \text{ID} = \text{IR} \). Weil der Exponent 3 ungerade ist, ist \( f \) auf ganz \( \text{IR} \) umkehrbar – bei einem geraden Exponenten müsstest du den Definitionsbereich vorher einschränken, weil sonst zwei \( x \)-Werte denselben Funktionswert hätten.

11. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest

• Negativer Exponent als negatives Ergebnis gedeutet. Ursache: Aus \( 2^{-3} \) wird \( -8 \) statt \( \tfrac{1}{8} \). Vermeidung: Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert, nicht Vorzeichenwechsel: \( a^{-n} = \tfrac{1}{a^n} \). Und für \( a > 0 \) ist jede Potenz positiv – kommt bei dir ein negatives Ergebnis heraus, ist etwas schiefgelaufen.
• Beim Multiplizieren von Potenzen die Exponenten multipliziert. Ursache: Die Gesetze \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) und \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) werden verwechselt. Vermeidung: Merke dir die Zuordnung über ein Minimalbeispiel: \( x^2 \cdot x^3 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = x^5 \), also addiert. Multipliziert wird nur bei der Potenz einer Potenz. Zahlenprobe mit \( x = 2 \) entscheidet den Zweifelsfall in Sekunden.
• Bei \( a^{\frac{m}{n}} \) Zähler und Nenner verwechselt. Ursache: Aus \( 16^{\frac{3}{4}} \) wird \( \sqrt[3]{16^4} \). Vermeidung: Der Nenner ist der Wurzelexponent, der Zähler der Potenzexponent: \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m \). Zieh immer zuerst die Wurzel und potenziere danach – die Zahlen bleiben kleiner und die Rechnung im Kopf machbar.
• Definitionsmenge nicht angegeben. Ursache: Nach der Termumformung scheint die Aufgabe fertig. Vermeidung: Jede Potenzfunktion mit negativem Exponenten hat eine Definitionslücke (\( \text{ID} = \text{IR} \setminus \{0\} \)), jede Wurzelfunktion eine Einschränkung nach unten (\( \text{ID} = \{x \in \text{IR} \mid x \geq 0\} \)). Bei Sachaufgaben kommt die Sachlogik dazu – keine negativen Längen, oft nur natürliche Zahlen. Auf die Angabe von \( \text{ID} \) gibt es eigene Punkte.
• Verschiebungsrichtung falsch gelesen. Ursache: \( (x-1) \) wird als Verschiebung um 1 nach links gedeutet. Vermeidung: Das Vorzeichen kehrt sich um – \( (x-1) \) verschiebt um 1 nach rechts, \( (x+1) \) um 1 nach links. Kontrolle: Setze den Klammerinhalt gleich 0. Bei \( x – 1 = 0 \) ist \( x = 1 \), dort liegt also die senkrechte Asymptote bzw. das verschobene Zentrum.
• Umkehrfunktion nur durch Vertauschen von \( x \) und \( y \) gebildet. Ursache: Der eigentliche Rechenschritt – das Auflösen nach \( x \) – wird übersprungen. Vermeidung: Halte die Reihenfolge ein: erst nach \( x \) auflösen, dann \( x \) und \( y \) vertauschen, dann \( \text{ID} \) und \( \text{IW} \) vertauschen. Und prüfe mit einem Testwert: \( f^{-1}(f(3)) \) muss wieder 3 ergeben.
• Symmetrie bei geradem und ungeradem Exponenten verwechselt. Ursache: Beide Fälle werden pauschal als „symmetrisch“ abgehakt. Vermeidung: Gerader Exponent \( \rightarrow \) achsensymmetrisch zur \( y \)-Achse (wie die Parabel), ungerader Exponent \( \rightarrow \) punktsymmetrisch zum Ursprung. Testrechnung: \( (-2)^2 = 4 = 2^2 \) (gleich \( \rightarrow \) Achsensymmetrie), \( (-2)^3 = -8 = -2^3 \) (Vorzeichenwechsel \( \rightarrow \) Punktsymmetrie).
• Wurzel mit doppeltem Vorzeichen angesetzt. Ursache: Aus der quadratischen Gleichung ist „\( \pm \)“ im Gedächtnis, es wird \( \sqrt[3]{8} = \pm 2 \) geschrieben. Vermeidung: \( \sqrt[n]{a} \) bezeichnet stets die eine nichtnegative Lösung. Zwei Lösungen entstehen nur beim Auflösen von \( x^n = a \) mit geradem \( n \) – und dort schreibst du \( x = \pm\sqrt[n]{a} \) und prüfst am Definitionsbereich, welche Lösung im Sachzusammenhang bleibt.

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