Mathematik Realschule Bayern · Klasse 10 · Lernbereich 2 „Abbildungen“ (LehrplanPLUS, 30 Std.) · BY
Abbildungen im Koordinatensystem: mit Vektoren und Matrizen rechnen
Bis jetzt hast du Figuren verschoben, gestreckt, gespiegelt und gedreht – mit Zirkel, Lineal und Geodreieck. In der 10. Klasse machst du daraus Rechnung. Jeder Punkt bekommt einen Vektor, jede Abbildung bekommt eine Vorschrift, und für Drehung und Spiegelung an einer Ursprungsgeraden bekommst du sogar ein festes Rezept in Tabellenform: die Abbildungsmatrix. Du schiebst dann nicht mehr Papier hin und her, sondern rechnest die Bildkoordinaten aus – exakt, nachprüfbar und auch für Punkte, die weit außerhalb deines Zeichenblatts liegen.
Dieses Thema ist nur Teil von Mathematik I. Der Lernbereich „Abbildungen“ mit Vektoren und Matrizen steht im LehrplanPLUS ausschließlich in der Wahlpflichtfächergruppe I (Jgst. 10, 30 Std.). In Mathematik II/III kommt er nicht vor – wenn du dort bist, brauchst du diese Seite nicht für deine Abschlussprüfung.
Wozu brauchst du das?
Überall dort, wo eine Form nicht neu erfunden, sondern umgerechnet wird. Eine CNC-Fräse bekommt den Musterentwurf einer Stoßlehne und fährt ihn gedreht für die linke und die rechte Seite ab · ein CAD-Programm spiegelt einen Schrankaufbau an einer Achse, statt ihn zweimal zu zeichnen · aus einem Prototyp im Maßstab 1:2 wird durch zentrische Streckung das fertige Möbelstück · jede Bilddrehung in einem Grafikprogramm ist genau die Matrizenrechnung dieser Seite, millionenfach pro Sekunde. Und in der Abschlussprüfung: Bildpunkte berechnen, Trägergraphen bestimmen, Abbildungen verketten.
Inhalt dieser Seite
- Vektoren im Koordinatensystem – die Werkzeuge
- Parallelverschiebung mit dem Vektor
- Zentrische Streckung mit Vektoren
- Die Abbildungsmatrix als Rezept
- Achsenspiegelung an einer Ursprungsgeraden
- Drehung um den Ursprung
- Abbildungen verketten – Matrizen multiplizieren
- Funktionsgraphen abbilden: die Gleichung der Bildkurve
- Das Wichtigste in Kürze
1. Vektoren im Koordinatensystem – die Werkzeuge
Ein Vektor beschreibt keine Stelle, sondern eine Bewegung: so viel nach rechts, so viel nach oben. Du schreibst ihn als Spalte. Der Vektor \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \) heißt: 4 Einheiten in \( x \)-Richtung, 3 Einheiten in \( y \)-Richtung.
Zwei Sorten musst du auseinanderhalten:
- Der Ortsvektor \( \vec{OP} \) führt vom Ursprung zum Punkt \( P \). Seine Koordinaten sind genau die Punktkoordinaten: \( P(6\,|\,4) \) hat \( \vec{OP} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} \).
- Der Verbindungsvektor \( \vec{AB} \) führt von \( A \) nach \( B \). Du rechnest ihn als „Spitze minus Fuß“: \( \vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA} \).
Beispiel – gegengerechnet
Gegeben \( A(2\,|\,1) \) und \( B(6\,|\,1) \), außerdem \( C(6\,|\,4) \).
| Ortsvektor von \( C \) | \( \vec{OC} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} \) |
| \( \vec{AB} \) = Spitze minus Fuß | \( \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} \) |
| \( \vec{BC} \) | \( \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \) |
| Länge von \( \vec{AB} \) | \( |\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4 \) |
| Probe am Bild | 4 nach rechts, 0 nach oben ✓ |
Der Ortsvektor hängt am Ursprung fest, der Verbindungsvektor darf überall im Koordinatensystem stehen.
Merke: Ein Vektor ist eine Verschiebung, kein Punkt. Der Ortsvektor \( \vec{OP} \) hat dieselben Zahlen wie der Punkt \( P \). Den Verbindungsvektor rechnest du Spitze minus Fuß: \( \vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA} \). Seine Länge ist \( |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} \) – das ist nichts anderes als der Satz des Pythagoras.
2. Parallelverschiebung mit dem Vektor
Bei einer Parallelverschiebung bekommt jeder Punkt denselben Verschiebungsvektor \( \vec{v} \) aufaddiert. Mehr ist es nicht:
Beispiel – Holzwerk Brandl
Der Musterentwurf einer dreieckigen Eckkonsole liegt im CAD-Programm mit den Eckpunkten \( A(1\,|\,1) \), \( B(3\,|\,1) \), \( C(3\,|\,2) \) (Maße in Dezimetern). Für die zweite Konsole soll dieselbe Form an eine andere Stelle der Zeichnung wandern, verschoben um \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \). Berechne die Bildpunkte.
| \( A\‘ \) | \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \) |
| \( B\‘ \) | \( \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} \) |
| \( C\‘ \) | \( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix} \) |
| Kontrolle | \( \vec{A\’B\‘} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{AB} \) ✓ |
Die Kontrolle ist wichtig: Weil jeder Punkt denselben Vektor bekommt, müssen alle Verbindungsvektoren der Figur unverändert bleiben. Bild und Urbild sind deckungsgleich (kongruent) und gleich orientiert.
Derselbe Musterentwurf, nur an einer anderen Stelle der Zeichnung – Form und Größe bleiben gleich.
Merke: Bei der Parallelverschiebung addierst du zu jedem Ortsvektor denselben Vektor: \( \vec{OP\‘} = \vec{OP} + \vec{v} \). Umgekehrt findest du den Urpunkt durch Subtrahieren: \( \vec{OP} = \vec{OP\‘} – \vec{v} \). Und wenn Urbild und Bild gegeben sind, ist \( \vec{v} = \vec{PP\‘} \). Eine Verschiebung lässt sich nicht als Matrix schreiben – sie hat keinen Fixpunkt.
3. Zentrische Streckung mit Vektoren
Bei der zentrischen Streckung gibt es ein festes Zentrum \( Z \) und einen Streckfaktor \( k \). Jeder Punkt wandert auf dem Strahl von \( Z \) aus, und sein Abstand zum Zentrum wird mit \( |k| \) vervielfacht. In Vektorschreibweise:
Liegt das Zentrum im Ursprung, fällt \( \vec{OZ} \) weg und es bleibt die kurze Form \( \vec{OP\‘} = k \cdot \vec{OP} \) – du multiplizierst dann einfach beide Koordinaten mit \( k \).
Beispiel 1 – Zentrum im Ursprung, \( k = 2 \)
Der Prototyp der Eckkonsole aus Kapitel 2, \( A(1\,|\,1) \), \( B(3\,|\,1) \), \( C(3\,|\,2) \), wird für die große Ausführung im Maßstab 2:1 vom Ursprung aus gestreckt.
| \( A\‘ \) | \( 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \) |
| \( B\‘ \) | \( 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \) |
| \( C\‘ \) | \( 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} \) |
| Kontrolle Länge | \( \overline{AB} = 2 \), \( \overline{A\’B\‘} = 6 – 2 = 4 = 2 \cdot 2 \) ✓ |
| Kontrolle Fläche | \( A_{\triangle} = 1 \rightarrow A_{\triangle}\‘ = 4 = 2^2 \cdot 1 \) ✓ |
Nachgerechnet: Das Urdreieck hat die Katheten 2 und 1, also \( A_{\triangle} = \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \). Das Bilddreieck hat die Katheten 4 und 2, also \( \tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4 \). Längen wachsen mit \( k \), Flächen mit \( k^2 \).
Jeder Bildpunkt liegt auf dem Strahl vom Zentrum durch den Urpunkt – doppelt so weit draußen.
Beispiel 2 – Zentrum nicht im Ursprung
Strecke \( P(3\,|\,2) \) mit dem Zentrum \( Z(1\,|\,1) \) und \( k = 2 \). Jetzt darfst du nicht einfach verdoppeln.
| Vektor \( \vec{ZP} \) | \( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) |
| mit \( k = 2 \) | \( 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \) |
| vom Zentrum aus abtragen | \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \) |
| Ergebnis | \( P\'(5\,|\,3) \) |
Probe: \( \vec{ZP\‘} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \), und das ist genau das Doppelte von \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) ✓. Hättest du falsch einfach verdoppelt, wäre \( (6\,|\,4) \) herausgekommen – das liegt zwar auch auf einem Strahl, aber auf dem vom Ursprung aus.
Merke: Zentrische Streckung heißt \( \vec{ZP\‘} = k \cdot \vec{ZP} \). Rechne immer in drei Schritten: Vektor vom Zentrum zum Punkt bilden – mit \( k \) vervielfachen – vom Zentrum aus abtragen. Nur wenn \( Z = O \) ist, darfst du zu \( \vec{OP\‘} = k \cdot \vec{OP} \) abkürzen. Längen ändern sich mit \( |k| \), Flächeninhalte mit \( k^2 \). Ist \( k < 0 \), liegt das Bild auf der anderen Seite des Zentrums.
4. Die Abbildungsmatrix als Rezept
Drehung und Achsenspiegelung lassen sich nicht durch Addieren eines Vektors beschreiben – dort mischen sich \( x \) und \( y \). Genau dafür gibt es die Abbildungsmatrix: ein 2×2-Zahlenschema, das wie ein Rezept sagt, wie aus \( (x\,|\,y) \) das Bild \( (x\’\,|\,y\‘) \) entsteht.
Die Rechenregel heißt Zeile mal Spalte: Die erste Zeile der Matrix wird mit der Spalte des Punktes gliedweise multipliziert und aufaddiert – das ergibt \( x\‘ \). Die zweite Zeile liefert genauso \( y\‘ \). Mehr steckt nicht dahinter.
Was in der Matrix steht – die Spaltenregel
Setze den Punkt \( E_1(1\,|\,0) \) ein: Du erhältst \( \begin{pmatrix} a \cdot 1 + b \cdot 0 \\ c \cdot 1 + d \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} \) – das ist die erste Spalte. Ebenso liefert \( E_2(0\,|\,1) \) die zweite Spalte. Daraus folgt die praktischste Regel dieser Seite:
Willst du die Matrix einer Abbildung aufstellen, frage dich nur: Wohin geht \( (1\,|\,0) \), und wohin geht \( (0\,|\,1) \)? Diese beiden Bildpunkte schreibst du als Spalten nebeneinander – fertig ist die Matrix.
Beispiel – Schritt für Schritt gegengerechnet
Die zentrische Streckung am Ursprung mit \( k = 2 \) bildet \( (1\,|\,0) \) auf \( (2\,|\,0) \) ab und \( (0\,|\,1) \) auf \( (0\,|\,2) \). Also lautet ihre Matrix \( S = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \). Wende sie auf \( P(3\,|\,2) \) an:
| Ansatz | \( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \) |
| 1. Zeile mal Spalte | \( x\‘ = 2 \cdot 3 + 0 \cdot 2 = 6 \) |
| 2. Zeile mal Spalte | \( y\‘ = 0 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 4 \) |
| Bildpunkt | \( P\'(6\,|\,4) \) |
Probe: Dasselbe Ergebnis hattest du in Kapitel 3 mit \( 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} \) ✓. Die Matrix ist also wirklich nur eine andere Schreibweise für dieselbe Abbildung – aber eine, die auch dann noch funktioniert, wenn sich \( x \) und \( y \) vermischen.
Die Spalten der Matrix sind die Bilder der beiden Einheitsvektoren – daran erkennst du jede Abbildungsmatrix wieder.
Merke: Eine Abbildungsmatrix wird von links an den Ortsvektor multipliziert, gerechnet wird Zeile mal Spalte: \( x\‘ = a x + b y \), \( y\‘ = c x + d y \). Die Spalten der Matrix sind die Bilder von \( (1\,|\,0) \) und \( (0\,|\,1) \). Umgekehrt findest du den Urpunkt zu einem gegebenen Bildpunkt, indem du \( x\‘ \) und \( y\‘ \) einsetzt und das entstehende Gleichungssystem nach \( x \) und \( y \) auflöst. Der Ursprung bleibt bei jeder Matrixabbildung fest, denn \( M \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \).
5. Achsenspiegelung an einer Ursprungsgeraden
Bei der Achsenspiegelung an einer Geraden durch den Ursprung hilft dir die Spaltenregel direkt. Nimm die Winkelhalbierende \( y = x \) als Spiegelachse: Der Punkt \( (1\,|\,0) \) wird auf \( (0\,|\,1) \) gespiegelt, der Punkt \( (0\,|\,1) \) auf \( (1\,|\,0) \). Diese beiden Bilder als Spalten nebeneinander ergeben
Die wichtigsten Spiegelmatrizen bekommst du auf genau demselben Weg:
| Spiegelachse | Matrix | Wirkung auf \( (x\,|\,y) \) |
| \( x \)-Achse | \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \) | \( (x\,|\,-y) \) |
| \( y \)-Achse | \( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) | \( (-x\,|\,y) \) |
| \( y = x \) | \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) | \( (y\,|\,x) \) |
| \( y = -x \) | \( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \) | \( (-y\,|\,-x) \) |
| Gerade mit Steigungswinkel \( \alpha \) | \( \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} \) | allgemeiner Fall |
Setze zur Kontrolle \( \alpha = 45^\circ \) in die allgemeine Formel ein: \( 2\alpha = 90^\circ \), also \( \cos 2\alpha = 0 \) und \( \sin 2\alpha = 1 \). Es entsteht \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) – genau die Matrix für \( y = x \) ✓.
Beispiel – Holzwerk Brandl, gespiegelte Variante
Die Musterlehne einer Sitzbank hat im CAD die Eckpunkte \( A(5\,|\,1) \), \( B(6\,|\,1) \), \( C(6\,|\,3) \). Für die spiegelbildliche Bank wird sie an der Winkelhalbierenden \( y = x \) gespiegelt.
| \( A\‘ \) | \( x\‘ = 0 \cdot 5 + 1 \cdot 1 = 1 \), \( y\‘ = 1 \cdot 5 + 0 \cdot 1 = 5 \) → \( A\'(1\,|\,5) \) |
| \( B\‘ \) | \( x\‘ = 1 \), \( y\‘ = 6 \) → \( B\'(1\,|\,6) \) |
| \( C\‘ \) | \( x\‘ = 3 \), \( y\‘ = 6 \) → \( C\'(3\,|\,6) \) |
| Kontrolle Länge | \( \overline{AB} = 1 \), \( \overline{A\’B\‘} = 6 – 5 = 1 \) ✓ |
| Kontrolle Abstand zu O | \( \sqrt{5^2+1^2} = \sqrt{26} = \sqrt{1^2+5^2} \) ✓ |
Jede Verbindungsstrecke Urpunkt–Bildpunkt steht senkrecht auf der Achse und wird von ihr halbiert.
Merke: Die Achsenspiegelung an einer Ursprungsgeraden hat eine Matrix – die Spiegelung an einer beliebigen anderen Geraden nicht, denn dort ist der Ursprung kein Fixpunkt. Merk dir die vier Standardfälle: \( x \)-Achse \( \rightarrow (x\,|\,-y) \), \( y \)-Achse \( \rightarrow (-x\,|\,y) \), \( y = x \rightarrow (y\,|\,x) \), \( y = -x \rightarrow (-y\,|\,-x) \). Eine Spiegelung ist längentreu, kehrt aber den Umlaufsinn der Figur um.
6. Drehung um den Ursprung
Auch die Drehung um den Ursprung hat eine Matrix. Der Drehwinkel \( \varphi \) wird dabei – wie am Einheitskreis – gegen den Uhrzeigersinn positiv gezählt:
Auch hier stimmt die Spaltenregel: \( (1\,|\,0) \) landet nach der Drehung auf \( (\cos\varphi\,|\,\sin\varphi) \) – das ist die erste Spalte, und genau das ist die Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis aus dem Lernbereich Trigonometrie.
| \( \varphi \) | Matrix | Bild von \( (x\,|\,y) \) |
| \( 90^\circ \) | \( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) | \( (-y\,|\,x) \) |
| \( 180^\circ \) | \( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \) | \( (-x\,|\,-y) \) |
| \( 270^\circ \) | \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \) | \( (y\,|\,-x) \) |
Beispiel 1 – Drehung um \( 90^\circ \), Schritt für Schritt
Das Holzwerk Brandl legt den Musterentwurf einer Stoßlehne mit \( P(4\,|\,1) \), \( Q(4\,|\,3) \), \( R(2\,|\,3) \) an. Für die um eine Vierteldrehung gekippte Einbauvariante wird die Figur um \( 90^\circ \) um den Ursprung gedreht.
| Ansatz für \( P \) | \( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \) |
| 1. Zeile | \( x\‘ = 0 \cdot 4 + (-1) \cdot 1 = -1 \) |
| 2. Zeile | \( y\‘ = 1 \cdot 4 + 0 \cdot 1 = 4 \) |
| ebenso \( Q \) und \( R \) | \( Q\'(-3\,|\,4) \), \( R\'(-3\,|\,2) \) |
| Probe: Abstand zu O | \( 4^2 + 1^2 = 17 = (-1)^2 + 4^2 \) ✓ |
Diese Probe passt auf jede Drehung: Der Abstand zum Drehzentrum ändert sich nie, also muss \( x\’^2 + y\’^2 = x^2 + y^2 \) gelten. Findest du hier einen Unterschied, hast du dich verrechnet.
Der Ortsvektor wird um 90° weitergedreht – seine Länge bleibt dabei unverändert.
Beispiel 2 – ein krummer Drehwinkel
Drehe \( P(4\,|\,2) \) um \( \varphi = 60^\circ \) um den Ursprung. Mit \( \cos 60^\circ = 0{,}5 \) und \( \sin 60^\circ \approx 0{,}8660 \):
| \( x\‘ \) | \( 0{,}5 \cdot 4 – 0{,}8660 \cdot 2 = 2 – 1{,}7321 = 0{,}27 \) |
| \( y\‘ \) | \( 0{,}8660 \cdot 4 + 0{,}5 \cdot 2 = 3{,}4641 + 1 = 4{,}46 \) |
| Probe | \( 0{,}2679^2 + 4{,}4641^2 = 0{,}072 + 19{,}928 = 20{,}00 \) |
| Vergleich | \( 4^2 + 2^2 = 20 \) ✓, also \( P\'(0{,}27\,|\,4{,}46) \) |
Runde erst am Ende. Rechnest du mit gerundetem \( \sin 60^\circ \approx 0{,}87 \) weiter, stimmt die Probe schon in der zweiten Nachkommastelle nicht mehr.
Merke: Die Drehmatrix um den Ursprung lautet \( D_{\varphi} = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix} \), positiv gezählt gegen den Uhrzeigersinn. Das Minuszeichen steht oben rechts – das ist der häufigste Fehler. Ein negativer Winkel dreht im Uhrzeigersinn; wegen \( \cos(-\varphi) = \cos\varphi \) und \( \sin(-\varphi) = -\sin\varphi \) wandert das Minuszeichen dann nach unten links. Kontrolle immer über \( x\’^2 + y\’^2 = x^2 + y^2 \).
7. Abbildungen verketten – Matrizen multiplizieren
Führst du zwei Abbildungen nacheinander aus, kannst du entweder zweimal rechnen – oder du multiplizierst die beiden Matrizen zu einer Gesamtmatrix. Bei \( n \) Punkten sparst du damit die halbe Arbeit.
Wichtig ist die Reihenfolge. Wird zuerst mit \( D \) abgebildet und danach mit \( S \), so ist
Die Matrix der zuletzt ausgeführten Abbildung steht also links. Multipliziert werden zwei Matrizen wieder „Zeile mal Spalte“: Der Eintrag in Zeile \( i \), Spalte \( j \) des Produkts entsteht aus Zeile \( i \) der linken und Spalte \( j \) der rechten Matrix.
Beispiel – erst drehen, dann spiegeln
Der Musterentwurf wird erst um \( 90^\circ \) gedreht \( \left( D = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right) \) und danach an \( y = x \) gespiegelt \( \left( S = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right) \).
| Zeile 1 × Spalte 1 | \( 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 \) |
| Zeile 1 × Spalte 2 | \( 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = 0 \) |
| Zeile 2 × Spalte 1 | \( 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 \) |
| Zeile 2 × Spalte 2 | \( 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = -1 \) |
| Gesamtmatrix | \( S \cdot D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \) |
Das Ergebnis erkennst du aus Kapitel 5 wieder: Es ist die Spiegelung an der \( x \)-Achse. Zwei Abbildungen sind also zu einer einzigen zusammengeschmolzen.
Probe mit einem Punkt. Nimm \( P(4\,|\,1) \) und rechne einmal in zwei Schritten, einmal mit der Gesamtmatrix:
| Schritt 1: drehen | \( (4\,|\,1) \rightarrow (-1\,|\,4) \) |
| Schritt 2: spiegeln an \( y = x \) | \( (-1\,|\,4) \rightarrow (4\,|\,-1) \) |
| mit \( S \cdot D \) in einem Zug | \( x\‘ = 1 \cdot 4 + 0 \cdot 1 = 4 \), \( y\‘ = 0 \cdot 4 + (-1) \cdot 1 = -1 \) ✓ |
Zwei Schritte außen herum, ein Schritt senkrecht nach unten – beide Wege enden im selben Punkt.
Die Reihenfolge ist nicht beliebig
Vertausche die beiden Abbildungen: erst spiegeln, dann drehen. Dann rechnest du \( D \cdot S \):
Das ist die Spiegelung an der \( y \)-Achse – ein anderes Ergebnis als vorhin. Kontrolle mit \( P(4\,|\,1) \): spiegeln an \( y=x \) ergibt \( (1\,|\,4) \), Drehung um \( 90^\circ \) ergibt \( (-4\,|\,1) \). Und \( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix} \) ✓.
Merke: Zwei nacheinander ausgeführte Matrixabbildungen fasst du zu einer Gesamtmatrix zusammen – die zuletzt ausgeführte Abbildung steht links. Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ: \( S \cdot D \ne D \cdot S \). Vertauschst du die Reihenfolge, bekommst du in aller Regel eine andere Abbildung. Kontrolliere jede Gesamtmatrix an einem einzigen Punkt, den du auch in zwei Schritten durchrechnest.
8. Funktionsgraphen abbilden: die Gleichung der Bildkurve
Bildest du nicht nur einzelne Punkte ab, sondern einen ganzen Funktionsgraphen, entsteht eine Bildkurve – und die hat wieder eine Gleichung. Der Weg dorthin ist immer derselbe:
So gehst du vor: (1) Abbildungsgleichungen für \( x\‘ \) und \( y\‘ \) aufschreiben. (2) Nach den Urkoordinaten \( x \) und \( y \) auflösen. (3) Beides in die Ausgangsgleichung \( y = f(x) \) einsetzen. (4) Nach \( y\‘ \) auflösen und die Striche weglassen.
Beispiel 1 – Parabel verschieben
Der Graph von \( y = x^2 \) wird um \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \) verschoben.
| Abbildungsgleichungen | \( x\‘ = x + 2 \), \( y\‘ = y – 3 \) |
| nach \( x \) und \( y \) auflösen | \( x = x\‘ – 2 \), \( y = y\‘ + 3 \) |
| in \( y = x^2 \) einsetzen | \( y\‘ + 3 = (x\‘ – 2)^2 \) |
| Bildkurve | \( y = (x-2)^2 – 3 \) |
Probe an einem Punkt: Der Scheitel \( (0\,|\,0) \) muss auf \( (2\,|\,-3) \) wandern. Einsetzen: \( (2-2)^2 – 3 = -3 \) ✓. Zweiter Punkt: \( (1\,|\,1) \) wandert auf \( (3\,|\,-2) \), und \( (3-2)^2 – 3 = 1 – 3 = -2 \) ✓. Beachte die Falle: Verschiebung um \( +2 \) nach rechts ergibt \( (x-2) \), nicht \( (x+2) \).
Die Form der Parabel bleibt gleich – nur der Scheitel wandert entlang des Verschiebungsvektors.
Beispiel 2 – Parabel zentrisch strecken
Der Graph von \( y = x^2 \) wird am Ursprung mit \( k = 2 \) gestreckt: \( x\‘ = 2x \), \( y\‘ = 2y \), also \( x = \tfrac{x\‘}{2} \) und \( y = \tfrac{y\‘}{2} \). Einsetzen:
Probe: Der Punkt \( (1\,|\,1) \) der Normalparabel wird auf \( (2\,|\,2) \) gestreckt. Einsetzen in die Bildgleichung: \( \tfrac{1}{2} \cdot 2^2 = 2 \) ✓. Die Bildparabel ist also flacher – obwohl gestreckt wurde. Genau deshalb rechnest du und rätst nicht.
Beispiel 3 – Exponentialfunktion spiegeln
| Spiegelachse | Rechnung | Bildkurve von \( y = 2^x \) |
| \( x \)-Achse | \( y = -y\‘ \) einsetzen | \( y = -2^{x} \) |
| \( y \)-Achse | \( x = -x\‘ \) einsetzen | \( y = 2^{-x} \) |
| \( y = x \) | \( x = y\‘ \), \( y = x\‘ \) einsetzen | \( x = 2^{y} \), also \( y = \log_{2} x \) |
Probe zur dritten Zeile: Der Punkt \( (3\,|\,8) \) liegt auf \( y = 2^x \), denn \( 2^3 = 8 \). Gespiegelt an \( y = x \) ergibt das \( (8\,|\,3) \) – und tatsächlich ist \( \log_{2} 8 = 3 \) ✓. Die Spiegelung an der Winkelhalbierenden liefert also immer die Umkehrfunktion. Achte darauf, dass sich die Definitionsmenge mitdreht: \( y = 2^x \) ist für alle \( x \in \text{IR} \) definiert, die Bildkurve \( y = \log_{2} x \) dagegen nur für \( x > 0 \), also \( \text{ID} = \text{IR}^{+} \).
Beispiel 4 – Logarithmusfunktion verschieben. Auch Logarithmusgraphen sind Ausgangsfiguren. Verschiebe \( y = \log_{2} x \) um \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \): Aus \( x\‘ = x + 3 \) folgt \( x = x\‘ – 3 \), aus \( y\‘ = y \) folgt \( y = y\‘ \). Einsetzen ergibt \( y = \log_{2}(x-3) \). Probe: Der Punkt \( (1\,|\,0) \) wandert auf \( (4\,|\,0) \), und \( \log_{2}(4-3) = \log_{2} 1 = 0 \) ✓. Die Definitionsmenge wandert mit: \( \text{ID} = \{ x \in \text{IR} \mid x > 3 \} \), die senkrechte Asymptote liegt bei \( x = 3 \).
Merke: Die Gleichung einer Bildkurve findest du, indem du die Abbildungsgleichungen nach den Urkoordinaten auflöst und diese in \( y = f(x) \) einsetzt – niemals umgekehrt. Verschiebung um \( +a \) nach rechts liefert \( f(x-a) \). Streckung am Ursprung mit \( k \) liefert bei \( y = x^2 \) die Gleichung \( y = \tfrac{1}{k}x^2 \). Spiegelung an \( y = x \) liefert die Umkehrfunktion. Gib die Definitionsmenge der Bildkurve immer an – sie kann sich ändern.
9. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die sechs Kernpunkte dieser Seite:
- Parallelverschiebung: \( \vec{OP\‘} = \vec{OP} + \vec{v} \). Sie hat keine Matrix, weil kein Punkt fest bleibt.
- Zentrische Streckung: \( \vec{ZP\‘} = k \cdot \vec{ZP} \) – Vektor vom Zentrum bilden, mit \( k \) vervielfachen, vom Zentrum abtragen. Längen mit \( |k| \), Flächen mit \( k^2 \).
- Abbildungsmatrix: \( \begin{pmatrix} x\‘ \\ y\‘ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \), gerechnet Zeile mal Spalte. Ihre Spalten sind die Bilder von \( (1\,|\,0) \) und \( (0\,|\,1) \).
- Drehung: \( D_{\varphi} = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix} \), Minus oben rechts, Winkel gegen den Uhrzeigersinn. Spiegelung an \( y = x \): \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \), also \( (x\,|\,y) \rightarrow (y\,|\,x) \).
- Verkettung: zuletzt ausgeführte Abbildung steht links. \( S \cdot D \ne D \cdot S \) – die Reihenfolge zählt.
- Proben, die immer gehen: Drehung → \( x\’^2 + y\’^2 = x^2 + y^2 \). Streckung → alle Bildpunkte auf den Strahlen durch \( Z \). Bildkurve → einen bekannten Punkt abbilden und in die neue Gleichung einsetzen.
10. So fragt die Abschlussprüfung
In der Abschlussprüfung Mathematik I kommen Abbildungen fast immer in derselben Reihenfolge: Punkte abbilden, Längen und Flächen des Bildes bestimmen, zwei Abbildungen verketten und schließlich die Gleichung einer Bildkurve angeben. Vier typische Formen aus dem Holzwerk-Kontext, alle Koordinaten in dm.
Aufgabe 1 – zentrische Streckung: Punkt, Länge, Fläche. Lena vergrößert eine Schablone für ein Verschnittdreieck durch zentrische Streckung mit dem Zentrum \( Z(1\,|\,2) \) und dem Faktor \( k = 3 \). Bestimme das Bild von \( A(3\,|\,1) \). Die Schablone hat den Flächeninhalt \( 4\ \text{dm}^2 \) – wie groß ist das Bild?
| Vektor vom Zentrum | \( \vec{ZA} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \) |
| mit \( k \) vervielfachen | \( 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix} \) |
| vom Zentrum abtragen | \( A\‘ = (1+6 \,|\, 2-3) \) |
| Bildpunkt und Bildfläche | \( A\'(7\,|\,-1) \), \( \; A_{\text{Bild}} = k^2 \cdot 4\ \text{dm}^2 = 36\ \text{dm}^2 \) |
Gegenprobe: \( Z \), \( A \) und \( A\‘ \) müssen auf einer Geraden liegen und \( \overline{ZA\‘} \) muss dreimal so lang sein wie \( \overline{ZA} \): \( \vec{ZA\‘} = \binom{6}{-3} = 3 \cdot \binom{2}{-1} \) ✓. Längen: \( \left|\vec{ZA}\right| = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \) und \( \left|\vec{ZA\‘}\right| = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \) ✓. Antwort: \( A\'(7\,|\,-1) \); die Bildschablone hat \( 36\ \text{dm}^2 \). Längen wachsen mit \( |k| = 3 \), Flächen mit \( k^2 = 9 \) – das ist der Punkt, an dem die meisten Punkte verloren gehen.
Aufgabe 2 – Drehung mit der Matrix. Für einen Palettenplan dreht Jonas die Kontur eines Regalbretts um \( 90^\circ \) gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung. Bilde damit den Eckpunkt \( P(4\,|\,3) \) ab.
| Drehmatrix aufstellen | \( D_{90^\circ} = \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) |
| Zeile mal Spalte, erste Zeile | \( x\‘ = 0 \cdot 4 + (-1) \cdot 3 = -3 \) |
| zweite Zeile | \( y\‘ = 1 \cdot 4 + 0 \cdot 3 = 4 \) |
| Bildpunkt | \( P\'(-3\,|\,4) \) |
Gegenprobe – die Drehprobe: Eine Drehung um den Ursprung ändert den Abstand zum Ursprung nicht. \( x^2 + y^2 = 16 + 9 = 25 \) und \( x\’^2 + y\’^2 = 9 + 16 = 25 \) ✓. Zweite Kontrolle über die Spaltenregel: \( (1\,|\,0) \) muss auf \( (0\,|\,1) \) gehen – das ist genau die erste Spalte der Matrix ✓. Antwort: \( P\'(-3\,|\,4) \). Beachte die Lage des Minuszeichens: In der Drehmatrix steht es oben rechts.
Aufgabe 3 – Verkettung: die Reihenfolge entscheidet. Tobias dreht die Kontur zuerst um \( 90^\circ \) und spiegelt sie danach an der Geraden \( y = x \). Bestimme die Matrix der Gesamtabbildung und prüfe, ob die umgekehrte Reihenfolge dasselbe ergibt.
| zuletzt ausgeführt steht links | \( S \cdot D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) |
| erste Zeile | \( (0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \;;\; 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0) = (1\;;\,0) \) |
| zweite Zeile | \( (1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \;;\; 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0) = (0\;;\,-1) \) |
| Gesamtmatrix | \( S \cdot D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \) – Spiegelung an der \( x \)-Achse |
| umgekehrte Reihenfolge | \( D \cdot S = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) – Spiegelung an der \( y \)-Achse |
Gegenprobe am Punkt \( P(4\,|\,3) \): Schrittweise ergibt die Drehung \( (-3\,|\,4) \), die anschließende Spiegelung an \( y = x \) tauscht die Koordinaten zu \( (4\,|\,-3) \). Und \( S \cdot D \) liefert direkt \( x\‘ = 1 \cdot 4 + 0 \cdot 3 = 4 \), \( y\‘ = 0 \cdot 4 + (-1) \cdot 3 = -3 \) ✓. In der anderen Reihenfolge käme \( (-4\,|\,3) \) heraus – ein ganz anderer Punkt. Antwort: \( S \cdot D \) ist die Spiegelung an der \( x \)-Achse, \( D \cdot S \) die Spiegelung an der \( y \)-Achse. Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ; die zuletzt ausgeführte Abbildung steht links.
Aufgabe 4 – Gleichung der Bildkurve. Im CAD-Plan verläuft eine Leistenkante entlang der Geraden \( g: y = 2x + 1 \). Merve dreht den ganzen Plan um \( 90^\circ \) gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung. Wie lautet die Gleichung der Bildgeraden?
| Abbildungsgleichungen | \( x\‘ = -y \), \( \; y\‘ = x \) |
| nach \( x \) und \( y \) auflösen | \( x = y\‘ \), \( \; y = -x\‘ \) |
| in \( y = 2x + 1 \) einsetzen | \( -x\‘ = 2y\‘ + 1 \) |
| nach \( y\‘ \) auflösen | \( 2y\‘ = -x\‘ – 1 \) |
| Bildgerade | \( y = -0{,}5\,x – 0{,}5 \) |
Gegenprobe mit zwei Punkten: \( P(0\,|\,1) \) liegt auf \( g \) und wird zu \( P\'(-1\,|\,0) \); Einsetzen: \( -0{,}5 \cdot (-1) – 0{,}5 = 0 \) ✓. \( Q(1\,|\,3) \) liegt auf \( g \) und wird zu \( Q\'(-3\,|\,1) \); Einsetzen: \( -0{,}5 \cdot (-3) – 0{,}5 = 1{,}5 – 0{,}5 = 1 \) ✓. Dritte, unabhängige Kontrolle: Bei einer Drehung um \( 90^\circ \) stehen Original und Bild senkrecht aufeinander, und \( 2 \cdot (-0{,}5) = -1 \) ✓. Antwort: Die Bildgerade hat die Gleichung \( y = -0{,}5\,x – 0{,}5 \).
11. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Bei der zentrischen Streckung den Ortsvektor statt des Vektors vom Zentrum gestreckt. Ursache: Es wird \( k \cdot \vec{OP} \) gerechnet, was nur für \( Z = O \) richtig ist. Vermeidung: Immer \( \vec{ZP} \) bilden, mit \( k \) vervielfachen und das Ergebnis vom Zentrum aus abtragen: \( P\‘ = Z + k \cdot \vec{ZP} \). Probe: \( Z \), \( P \) und \( P\‘ \) müssen auf einer Geraden liegen.
- Flächen mit \( k \) statt mit \( k^2 \) gestreckt. Ursache: Der Streckfaktor wird auf alle Größen gleich angewendet. Vermeidung: Längen mit \( |k| \), Flächen mit \( k^2 \) – bei \( k = 3 \) also neunmal so groß. Kontrolliere am kleinen Beispiel: Ein Quadrat mit Seite 1 und Fläche 1 wird zu Seite 3 und Fläche 9.
- Matrix und Vektor in der falschen Richtung multipliziert. Ursache: Es wird spaltenweise gerechnet, also \( x\‘ = a x + c y \) statt \( x\‘ = a x + b y \). Vermeidung: Immer Zeile der Matrix mal Spalte des Vektors. Der Fehler fällt sofort auf, wenn du zusätzlich \( (1\,|\,0) \) abbildest – das Ergebnis muss die erste Spalte der Matrix sein.
- Bei der Verkettung die Reihenfolge vertauscht. Ursache: Die Matrizen werden in der Leserichtung der Aufgabe multipliziert („erst drehen, dann spiegeln“ wird zu \( D \cdot S \)). Vermeidung: Die zuletzt ausgeführte Abbildung steht links. Bei Unsicherheit bilde einen Punkt schrittweise ab und vergleiche mit dem Ergebnis der Gesamtmatrix – wie in Aufgabe 3.
- Das Minuszeichen der Drehmatrix falsch platziert. Ursache: \( \begin{pmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \\ -\sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix} \) wird notiert, was einer Drehung im Uhrzeigersinn entspricht. Vermeidung: Merke die Spaltenregel: \( (1\,|\,0) \) muss bei positivem \( \varphi \) nach oben wandern, also auf \( (\cos\varphi\,|\,\sin\varphi) \). Damit steht das Minus zwangsläufig oben rechts.
- Bei der Bildkurve die Rückeinsetzung vergessen. Ursache: Die Abbildungsgleichungen \( x\‘ = -y,\ y\‘ = x \) werden direkt in die Kurvengleichung eingesetzt, statt sie vorher nach \( x \) und \( y \) aufzulösen. Vermeidung: Der Weg ist immer: Abbildung aufstellen, nach den alten Koordinaten umstellen, diese in die alte Gleichung einsetzen, nach \( y\‘ \) auflösen. Zum Schluss zwei Punkte zur Probe abbilden.
- Der Parallelverschiebung eine Matrix zugeschrieben. Ursache: Alle Abbildungen des Kapitels werden als Matrizen behandelt. Vermeidung: Eine Matrix lässt den Ursprung immer fest (\( M \cdot \vec{0} = \vec{0} \)). Die Verschiebung hat keinen Fixpunkt und wird deshalb addiert: \( \vec{OP\‘} = \vec{OP} + \vec{v} \).
Weiterlernen
- Trigonometrie und Skalarprodukt – woher \( \cos\varphi \) und \( \sin\varphi \) in der Drehmatrix kommen.
- Ähnlichkeit und Strahlensätze – die zeichnerische Grundlage der zentrischen Streckung.
- Quadratische Funktionen – die Scheitelform, die hier als Bildkurve entsteht.
- Exponentialfunktionen und Logarithmen – warum die Spiegelung an \( y = x \) die Umkehrfunktion liefert.
- Potenzfunktionen – weitere Graphen, die du verschieben, strecken und spiegeln kannst.
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