Lineare Gleichungssysteme – das Gauß-Verfahren
Mathematik FOS/BOS 13 · Bayern · Analytische Geometrie (Nichttechnik)
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist eine Sammlung linearer Gleichungen mit denselben Unbekannten. Mit dem Gauß-Verfahren formt man das System schrittweise in Stufenform (Dreiecksform) um und liest daraus die Lösung ab. LGS sind die Grundlage der gesamten analytischen Geometrie.
1 Äquivalente Umformungen
Diese Umformungen ändern die Lösungsmenge nicht:
- eine Zeile mit einer Zahl \(\neq 0\) multiplizieren,
- ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren (Additionsverfahren),
- zwei Zeilen vertauschen.
Man rechnet meist mit der erweiterten Koeffizientenmatrix – nur mit den Zahlen statt mit ganzen Gleichungen.
2 Gauß-Verfahren Schritt für Schritt
Ziel: unterhalb der Diagonale lauter Nullen erzeugen (Stufenform), dann von unten nach oben rückwärts einsetzen.
Beispiel. Gesucht ist die Parabel \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) durch \((1\mid1)\), \((2\mid8)\), \((-3\mid-7)\). Das führt auf das LGS:
| (I) \(a+b+c=1\) | Punkt \((1\mid1)\) |
| (II) \(4a+2b+c=8\) | Punkt \((2\mid8)\) |
| (III) \(9a-3b+c=-7\) | Punkt \((-3\mid-7)\) |
Erweiterte Matrix und Elimination:
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 4 | 2 | 1 | 8 |
| 9 | -3 | 1 | -7 |
Start
(II)−4·(I) und (III)−9·(I):
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | -2 | -3 | 4 |
| 0 | -12 | -8 | -16 |
unter der 1. Spalte Nullen
(III)−6·(II):
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | -2 | -3 | 4 |
| 0 | 0 | 10 | -40 |
Stufenform erreicht
Rückwärts einsetzen:
| \(10c=-40 \Rightarrow c=-4\) | aus Zeile (III) |
| \(-2b-3(-4)=4 \Rightarrow b=4\) | aus Zeile (II) |
| \(a+4-4=1 \Rightarrow a=1\) | aus Zeile (I) |
Ergebnis: \(a=1,\;b=4,\;c=-4\), also \(f(x)=x^{2}+4x-4\). Probe: \(f(1)=1,\;f(2)=8,\;f(-3)=-7\) ✓
3 Die drei Lösbarkeitsfälle
| Letzte Zeile der Stufenform | Bedeutung |
|---|---|
| \((0\;0\;k\,|\,m)\) mit \(k\neq0\) | genau eine Lösung (rückwärts einsetzen) |
| \((0\;0\;0\,|\,0)\) | unendlich viele Lösungen (wahre Aussage \(0=0\); Parameter einführen) |
| \((0\;0\;0\,|\,m)\) mit \(m\neq0\) | keine Lösung (Widerspruch \(0=m\), \(m\neq0\)) |
Anschaulich bei zwei Geraden (zwei Gleichungen, zwei Unbekannte):
Schnittpunkt → eine Lösung; parallel → keine Lösung; identisch → unendlich viele Lösungen.
4 Beispiel: unendlich viele Lösungen
LGS mit \(x,y,z\):
| (I) \(x+y+z=3\) |
| (II) \(2x+y-z=2\) |
| (III) \(3x+2y=5\) |
Elimination ergibt in der letzten Zeile \((0\;0\;0\,|\,0)\). Man setzt \(z=t\) (Parameter) und drückt \(x,y\) durch \(t\) aus – die Lösungsmenge ist eine Gerade im Raum.
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Beim Addieren von Zeilen das Vorzeichen vergessen.
✓ Richtig
Sorgfältig: \((II)-4\cdot(I)\) heißt jede Zahl der Zeile behandeln, auch die rechte Seite.
✗ Falsch
Bei \((0\;0\;0\,|\,0)\) „keine Lösung“ sagen.
✓ Richtig
\((0\;0\;0\,|\,0)\) bedeutet unendlich viele Lösungen (Parameter). Keine Lösung nur bei \(0=m\neq0\).
✗ Falsch
Rückwärtseinsetzen in die falsche Zeile.
✓ Richtig
Immer von unten beginnen: erst \(c\), dann \(b\), dann \(a\).
Auf einen Blick
- Ziel: mit äquivalenten Umformungen auf Stufenform bringen.
- Dann: von unten rückwärts einsetzen.
- Genau eine Lösung: \((0\,0\,k\,|\,m)\), \(k\neq0\).
- Unendlich viele: \((0\,0\,0\,|\,0)\) (wahre Aussage) → Parameter.
- Keine: \((0\,0\,0\,|\,m)\), \(m\neq0\) (Widerspruch).
✏️ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Erstelle dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zu FOS/BOS Bayern und deiner Klasse. Kostenloses Konto erstellen und direkt testen.
Aufgaben erzeugen →🎮 Live-Quiz für die Klasse
Teste dein Wissen im interaktiven Quiz – mit Sofort-Erklärung nach jeder Frage. Für Lehrkräfte: eigenes Klassen-Quiz starten.
Live-Quiz entdecken →💡 Mehr auf lern.de
Entdecke weitere kostenlose Lernangebote für deine Schulart: