Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
Mathematik FOS/BOS 13 · Bayern · Analytische Geometrie (Nichttechnik)
Vektoren heißen linear abhängig, wenn sich mindestens einer als Linearkombination der anderen schreiben lässt. Ist das nicht möglich, sind sie linear unabhängig. Das entscheidet, ob Vektoren dieselbe Gerade/Ebene aufspannen – die Grundlage für Geraden, Ebenen und Basen.
1 Linearkombination – die Grundidee
Eine Linearkombination der Vektoren \(\vec a,\vec b,\vec c\) ist ein Ausdruck \(r\,\vec a+s\,\vec b+t\,\vec c\) mit Zahlen \(r,s,t\).
- linear abhängig: mindestens einer der Vektoren ist Linearkombination der anderen.
- linear unabhängig: keiner der Vektoren ist Linearkombination der anderen.
2 Das Kriterium (Nullvektor-Ansatz)
Man untersucht, wann \(r\,\vec a+s\,\vec b+t\,\vec c=\vec 0\) gilt:
- Gibt es nur die triviale Lösung \(r=s=t=0\) ⇒ die Vektoren sind linear unabhängig.
- Gibt es eine nichttriviale Lösung (mind. eine Zahl \(\neq0\)) ⇒ die Vektoren sind linear abhängig.
Das ist ein lineares Gleichungssystem – gelöst mit dem Gauß-Verfahren.
3 Zwei Vektoren: Kollinearität
Zwei Vektoren \(\vec a,\vec b\;(\neq\vec 0)\) sind kollinear (parallel) genau dann, wenn ein \(\lambda\) existiert mit
\(\vec a=\lambda\,\vec b\)
Kollineare Vektoren sind linear abhängig; nicht kollineare sind linear unabhängig.
Beispiel. \(\vec a=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\), \(\vec b=\begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}\).
| \(\vec b=2\,\vec a\) | komponentenweise geprüft |
| \(\Rightarrow\) kollinear \(\Rightarrow\) linear abhängig |
4 Drei Vektoren im Raum: Komplanarität (Spatprodukt)
Drei Vektoren \(\vec a,\vec b,\vec c\) sind komplanar (liegen in einer Ebene) genau dann, wenn ihr Spatprodukt null ist:
\(\big[\vec a,\vec b,\vec c\big]=\big(\vec a\times\vec b\big)\cdot\vec c=0 \;\Longleftrightarrow\; \text{komplanar}\;\Longleftrightarrow\; \text{linear abhängig}\)
Ist das Spatprodukt \(\neq0\), spannen die drei Vektoren einen Körper (Spat) mit Volumen auf – sie sind linear unabhängig.
5 Beispiel über das LGS
Sind \(\vec a=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}\), \(\vec b=\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}\), \(\vec c=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\) linear unabhängig?
| \(2r+4s+t=0\) | 1. Komponente |
| \(2r+\;s\;\;\;=0\) | 2. Komponente |
| \(4r+\;s+3t=0\) | 3. Komponente |
| Gauß \(\Rightarrow r=s=t=0\) | nur triviale Lösung |
Das LGS \(r\,\vec a+s\,\vec b+t\,\vec c=\vec 0\) hat nur die triviale Lösung \(r=s=t=0\) ⇒ die Vektoren sind linear unabhängig (alternativ: Spatprodukt \(\neq0\)).
6 Basis des Raums
Drei linear unabhängige Vektoren im Raum bilden eine Basis: Jeder Vektor lässt sich eindeutig als Linearkombination von ihnen darstellen. Die Einheitsvektoren \(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\) sind die bekannteste Basis.
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Aus \(r\vec a+s\vec b+t\vec c=\vec 0\) mit Lösung \(r=s=t=0\) auf abhängig schließen.
✓ Richtig
Nur triviale Lösung ⇒ unabhängig. Abhängig ist es erst bei einer nichttrivialen Lösung.
✗ Falsch
Spatprodukt \(=0\) als „kein Volumen, also unabhängig“ deuten.
✓ Richtig
Spatprodukt \(=0\) ⇒ komplanar ⇒ abhängig. Unabhängig ist es bei Spatprodukt \(\neq0\).
✗ Falsch
Zwei Vektoren pauschal als unabhängig ansehen.
✓ Richtig
Erst \(\vec a=\lambda\vec b\) prüfen: sind sie kollinear, sind sie abhängig.
Auf einen Blick
- abhängig \(\Leftrightarrow\) einer ist Linearkombination der anderen \(\Leftrightarrow\) es gibt eine nichttriviale Lösung von \(r\vec a+s\vec b+t\vec c=\vec 0\).
- 2 Vektoren: kollinear (\(\vec a=\lambda\vec b\)) \(\Leftrightarrow\) abhängig.
- 3 Vektoren: komplanar (Spatprodukt \(=0\)) \(\Leftrightarrow\) abhängig.
- 3 unabhängige Vektoren im Raum bilden eine Basis.
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