Vektoren – Grundlagen
Mathematik FOS/BOS · Bayern · Analytische Geometrie
Vektoren sind die Sprache der räumlichen Geometrie. Mit ihnen beschreibt man Punkte, Verschiebungen und Strecken im Raum – die Grundlage für Geraden, Ebenen und alle Lagebeziehungen.
1 Orts- und Verbindungsvektor
Ortsvektor. Der Pfeil vom Ursprung \(O\) zu einem Punkt \(P\). Seine Koordinaten sind die Punktkoordinaten: \(P(3\mid 2\mid 6)\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\vec p=\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}\).
Verbindungsvektor. Von \(A\) nach \(B\): \(\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\) – Merkregel „Spitze minus Fuß“.
Beispiel A. \(A(1\mid -2\mid 4)\), \(B(3\mid 2\mid 5)\).
| \(\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}\) | Spitze minus Fuß |
2 Rechnen mit Vektoren
Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einer Zahl \(s\) erfolgen komponentenweise:
\(\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{pmatrix}\qquad s\cdot\vec a=\begin{pmatrix}s\,a_1\\s\,a_2\\s\,a_3\end{pmatrix}\)
Beispiel B. Mit \(\vec a=\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}\) und \(\vec c=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\):
| \(\vec a+\vec c=\begin{pmatrix}3\\-2\\3\end{pmatrix}\qquad 4\cdot\vec c=\begin{pmatrix}8\\0\\-4\end{pmatrix}\) |
3 Betrag (Länge) eines Vektors
Stufe 2-3 · mit HilfsmittelLänge und Abstand
Betrag eines Vektors.
\(|\vec a|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}\)
Der Betrag ist die Länge des Vektors. Die Länge der Strecke \(\overline{AB}\) bzw. der Abstand der Punkte \(A\) und \(B\) ist \(|\overrightarrow{AB}|\).
Beispiel C. Abstand von \(A(1\mid 2\mid 3)\) und \(B(3\mid 5\mid 9)\).
| \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\) | |
| \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7\) |
4 Mittelpunkt einer Strecke
\(\overrightarrow{OM}=\tfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)\)
Beispiel D. Mittelpunkt von \(A(1\mid -2\mid 4)\), \(B(3\mid 2\mid 5)\).
| \(\overrightarrow{OM}=\tfrac12\left(\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}\right)=\tfrac12\begin{pmatrix}4\\0\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\4{,}5\end{pmatrix}\) |
Also \(M(2\mid 0\mid 4{,}5)\).
5 Schwerpunkt eines Dreiecks
\(\overrightarrow{OS}=\tfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\)
Beispiel E. Schwerpunkt des Dreiecks \(A(1\mid -2\mid 4)\), \(B(3\mid 2\mid 5)\), \(C(-3\mid 1\mid -2)\).
| \(\overrightarrow{OS}=\tfrac13\left(\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\1\\-2\end{pmatrix}\right)=\tfrac13\begin{pmatrix}1\\1\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac13\\\tfrac13\\\tfrac73\end{pmatrix}\) |
6 Kollinearität (parallele Vektoren)
Stufe 3 · AusbauZeigen zwei Vektoren in dieselbe Richtung?
Zwei Vektoren \(\vec a,\vec b\ (\neq\vec 0)\) heißen kollinear (parallel), wenn es eine Zahl \(k\) gibt mit \(\vec b=k\cdot\vec a\). Man prüft: In allen Komponenten muss derselbe Faktor \(k\) herauskommen.
Beispiel F.
| \(\begin{pmatrix}3\\6\\9\end{pmatrix}=k\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}?\ \Rightarrow\ k=\tfrac32,\ \tfrac64=\tfrac32,\ \tfrac96=\tfrac32\) | ✓ kollinear |
| \(\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}=k\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}?\ \Rightarrow\ k=1,\ 1,\ \tfrac56\) | Widerspruch → nicht kollinear |
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Verbindungsvektor als \(\vec a-\vec b\) (Fuß minus Spitze).
✓ Richtig
\(\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\) – Spitze minus Fuß.
✗ Falsch
Beim Betrag die Komponenten addieren statt quadrieren.
✓ Richtig
\(|\vec a|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}\) – erst quadrieren, summieren, dann Wurzel.
✗ Falsch
Mittelpunkt als \(\tfrac12\overrightarrow{AB}\) berechnen.
✓ Richtig
Mittelpunkt über die Ortsvektoren: \(\overrightarrow{OM}=\tfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\).
✗ Falsch
Kollinearität bejahen, obwohl der Faktor \(k\) nicht in allen Komponenten gleich ist.
✓ Richtig
Nur wenn alle Komponenten denselben Faktor \(k\) liefern, sind die Vektoren kollinear.
Auf einen Blick
- Ortsvektor = Punktkoordinaten; Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\).
- Betrag: \(|\vec a|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}\) = Länge/Abstand.
- Mittelpunkt: \(\tfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\); Schwerpunkt: \(\tfrac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\).
- Kollinear: \(\vec b=k\cdot\vec a\) mit gleichem \(k\) in allen Komponenten.
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