Kurvendiskussion verknüpfter e-Funktionen
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Analysis (Technik und Nichttechnik)
Mit Produkt- und Kettenregel können Sie nun Funktionen wie \(x\cdot e^{-0{,}5x}\) vollständig untersuchen. Die Kurvendiskussion läuft nach demselben Schema wie bei ganzrationalen Funktionen – mit einem zusätzlichen, wichtigen Schritt: dem Verhalten im Unendlichen, denn e-Funktionen besitzen Asymptoten.
1 Verhalten im Unendlichen (Grenzwerte)
Stufe 1 · GrundideeZwei Bausteine
Baustein 1 – verkettete e-Funktion \(e^{p(x)}\): Betrachten Sie zuerst die innere Funktion \(p(x)\), dann schließen Sie auf \(e^{p(x)}\).
| innere Funktion | e-Funktion |
|---|---|
| \(p(x)\to+\infty\) | \(e^{p(x)}\to+\infty\) |
| \(p(x)\to-\infty\) | \(e^{p(x)}\to 0^{+}\) (Asymptote!) |
Baustein 2 – Produkt aus Potenz und e-Funktion: Hier hilft eine Grundtatsache:
Die e-Funktion dominiert jede Potenz. Für \(x\to+\infty\) fällt \(e^{-x}\) so viel schneller, als jede Potenz \(x^{n}\) wächst, dass gilt:
\(x^{n}\cdot e^{-x}\ \longrightarrow\ 0\quad (x\to+\infty)\)
Beispiel: \(x\cdot e^{-0{,}5x}\to 0\) für \(x\to+\infty\), obwohl der Faktor \(x\) selbst unbeschränkt wächst.
2 Vollständige Kurvendiskussion
Stufe 3 · AusbauDas Schema am Beispiel \(f(x)=x\cdot e^{-0{,}5x}\)
\(D_f=\mathbb{R}\) (Produkt zweier überall definierter Funktionen).
2. Nullstellen
| \(x\cdot e^{-0{,}5x}=0\) | \(e^{-0{,}5x}>0\) |
| \(\Rightarrow x=0\) ⇒ \(N(0\mid 0)\) |
3. Verhalten im Unendlichen
| \(x\to-\infty:\ x\to-\infty,\ e^{-0{,}5x}\to+\infty \Rightarrow f(x)\to-\infty\) | |
| \(x\to+\infty:\ f(x)=x\,e^{-0{,}5x}\to 0^{+}\) | Dominanz |
Waagerechte Asymptote \(y=0\) für \(x\to+\infty\).
4. Extrempunkte (1. Ableitung)
| \(f'(x)=e^{-0{,}5x}(1-0{,}5x)\) | Produkt-/Kettenregel |
| \(f'(x)=0 \Rightarrow 1-0{,}5x=0 \Rightarrow x=2\) | \(e^{-0{,}5x}>0\) |
| \(f“(2)<0 \Rightarrow\) Hochpunkt \(HP(2\mid 0{,}74)\) |
5. Wendepunkte (2. Ableitung)
| \(f“(x)=e^{-0{,}5x}(0{,}25x-1)=\tfrac{x-4}{4}\,e^{-0{,}5x}\) | |
| \(f“(x)=0 \Rightarrow x=4\) ⇒ \(WP(4\mid 0{,}54)\) |
6. Skizze
3 Anwendung
Stufe 4 · PrüfungsniveauSchadstoffkonzentration
Beispiel. Nach einem Störfall beschreibt \(K(t)=20\,t\cdot e^{-0{,}5t}\) die Schadstoffkonzentration in der Luft (in mg/m³, \(t\) in Stunden). Wann ist die Konzentration maximal, und wie hoch ist sie? In welchem Zeitraum liegt sie über dem Grenzwert \(10\) mg/m³?
Maximum (Hochpunkt)
| \(K'(t)=20\,e^{-0{,}5t}(1-0{,}5t)\) | Produkt-/Kettenregel |
| \(K'(t)=0 \Rightarrow 1-0{,}5t=0 \Rightarrow t=2\) | \(e^{-0{,}5t}>0\) |
| \(K(2)=40\,e^{-1}\approx 14{,}7\) |
Die Konzentration erreicht nach \(2\) Stunden ihr Maximum von rund \(14{,}7\) mg/m³.
Grenzwert 10 mg/m³ (mit Hilfsmittel / Grafik)
Die Gleichung \(20\,t\,e^{-0{,}5t}=10\) lässt sich nicht elementar nach \(t\) auflösen; man liest die beiden Schnittpunkte mit der Linie \(y=10\) ab (bzw. löst numerisch): \(t_1\approx 0{,}7\) und \(t_2\approx 4{,}3\).
Antwort: Die Konzentration liegt etwa zwischen \(0{,}7\) h und \(4{,}3\) h über dem Grenzwert.
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Bei den Nullstellen \(e^{(\ldots)}=0\) setzen.
✓ Richtig
\(e^{(\ldots)}>0\) – Nullstellen kommen nur aus dem anderen Faktor.
✗ Falsch
Aus \(x\to+\infty\) direkt \(x\,e^{-0{,}5x}\to+\infty\) folgern.
✓ Richtig
Die e-Funktion dominiert: \(x\,e^{-0{,}5x}\to 0^{+}\). Asymptote \(y=0\).
✗ Falsch
Den Grenzwert von \(e^{p(x)}\) ohne Blick auf die innere Funktion \(p\) raten.
✓ Richtig
Erst \(p(x)\to\pm\infty\) bestimmen, dann auf \(e^{p(x)}\to+\infty\) bzw. \(0^{+}\) schließen.
✗ Falsch
Den Hochpunkt als Antwort auf „wann über dem Grenzwert?“ angeben.
✓ Richtig
Der Hochpunkt ist das Maximum; für den Grenzwert-Zeitraum die Schnittpunkte mit \(y=10\) bestimmen.
Auf einen Blick
- Zusatzschritt: Verhalten im Unendlichen – e-Funktionen haben Asymptoten.
- \(e^{p(x)}\): über die innere Funktion \(p\) schließen; \(p\to-\infty \Rightarrow e^{p}\to 0^{+}\).
- Dominanz: \(x^{n}e^{-x}\to 0\) – die e-Funktion schlägt jede Potenz.
- \(e^{(\ldots)}>0\): Nullstellen von \(f\) und \(f’\) nur aus dem übrigen Faktor.
- Schema wie gewohnt: \(D_f\), Nullstellen, Grenzwerte, \(f’\)/Extrema, \(f“\)/Wende, Skizze.
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