Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Analytische Geometrie (Technik) · BY
Vektoren im Raum
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung im Raum – durch eine Richtung und eine Länge. In der analytischen Geometrie stellt man Punkte und Vektoren im dreidimensionalen Raum \(\mathbb{R}^3\) durch Zahlentripel dar und rechnet mit ihnen. Diese Seite erklärt Ortsvektoren und Verbindungsvektoren („Spitze minus Fuß“), die Grundrechenarten mit Vektoren und die wichtigen besonderen Punkte: Mittelpunkt, Spiegelpunkt und Schwerpunkt.
1. Was ist ein Vektor?
Ein Vektor im \(\mathbb{R}^3\) wird als Spaltenvektor mit drei Koordinaten geschrieben. Er beschreibt eine Verschiebung: so viele Einheiten in \(x_1\)-, \(x_2\)- und \(x_3\)-Richtung.
\(\vec{v}=\begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{pmatrix}q\quad \text{Beispiel: }\vec{v}=\begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 5 \end{pmatrix}\)
x₁ x₂ x₃ v O Ein Vektor als Pfeil im dreidimensionalen Koordinatensystem.
2. Ortsvektor und Verbindungsvektor
💡 Ortsvektor
Der
Ortsvektor \(\vec{OP}\) eines Punktes ( P ) ist der Pfeil vom Koordinatenursprung ( O ) zum Punkt ( P ). Seine Koordinaten sind gleich den Koordinaten des Punktes:
\(P(3\mid 2\mid 6) \Rightarrow \vec{OP}=\vec{p}=\begin{pmatrix} 3 \ 2 \ 6 \end{pmatrix}\)
x₁ x₂ x₃ OP P O Der Ortsvektor OP zeigt vom Ursprung O zum Punkt P(3|2|6).
💡 Verbindungsvektor: „Spitze minus Fuß“
Der Vektor
von Punkt ( A )
nach Punkt ( B ) berechnet sich als
„Spitze minus Fuß“ :
\(\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}\)
(Endpunkt B ist die „Spitze“, Startpunkt A der „Fuß“.)
✎ Verbindungsvektor von \(A(1\mid -2\mid 4)\) nach \(B(3\mid 2\mid 5)\).
\(\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=\begin{pmatrix} 3 \ 2 \ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-1 \ 2-(-2) \ 5-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \ 4 \ 1 \end{pmatrix}\)
3. Rechnen mit Vektoren
Addition, Subtraktion und die Multiplikation mit einer Zahl (Skalar) werden komponentenweise ausgeführt – man rechnet also in jeder Zeile getrennt.
💡 Die drei Grundoperationen
\(\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix} a_1+b_1 \ a_2+b_2 \ a_3+b_3 \end{pmatrix} \qquad \vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix} a_1-b_1 \ a_2-b_2 \ a_3-b_3 \end{pmatrix}\)
\(r\cdot \vec{a}=\begin{pmatrix} r\cdot a_1 \ r\cdot a_2 \ r\cdot a_3 \end{pmatrix} quad\text{(Multiplikation mit dem Skalar } r\text{)}\)
✎ Mit \(\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{c}=\begin{pmatrix} 2 \ 1 \ -1 \end{pmatrix}\): berechnen Sie \(\vec{a}+\vec{c}\) und \(4\cdot\vec{c}\).
\(\vec{a}+\vec{c}=\begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \ 1 \ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \ -1 \ 3 \end{pmatrix}\)
\(4\cdot\vec{c}=4\cdot\begin{pmatrix} 2 \ 1 \ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 \ 4 \ -4 \end{pmatrix}\)
4. Der Betrag (die Länge) eines Vektors
💡 Betrag eines Vektors
Der
Betrag \(|\vec{v}|\) ist die Länge des Vektors. Man berechnet ihn mit dem Satz des Pythagoras im Raum:
\(|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\)
✎ Länge des Vektors \(\vec{v}=\begin{pmatrix} 2 \ -3 \ 6 \end{pmatrix}\).
\(|\vec{v}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7\)
5. Mittelpunkt einer Strecke
💡 Mittelpunkt
Der Ortsvektor des
Mittelpunkts ( M ) einer Strecke ( overline{AB} ) ist der Mittelwert der beiden Ortsvektoren:
\(\vec{OM}=\frac{1}{2}\left(\vec{OA}+\vec{OB}\right)\)
✎ Mittelpunkt von \(A(1\mid -2\mid 4)\) und \(B(3\mid 2\mid 5)\).
\(\vec{OM}=\frac{1}{2}\left(\begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \ 2 \ 5 \end{pmatrix}\right)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 \ 0 \ 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 4{,}5 \end{pmatrix}\)
Der Mittelpunkt ist \(M(2\mid 0\mid 4{,}5)\).
x₁ x₂ x₃ A B M O Der Mittelpunkt M liegt genau in der Mitte der Strecke AB.
6. Spiegelpunkt
💡 Spiegelpunkt bezüglich eines Punktes
Spiegelt man ( P ) an einem Punkt ( Q ), so ist ( Q ) der Mittelpunkt zwischen ( P ) und dem Spiegelpunkt ( P‘ ). Daraus folgt:
\(\vec{OP‘}=2\cdot\vec{OQ}-\vec{OP}\)
✎ Spiegeln Sie \(P(3\mid -4\mid 1)\) am Punkt \(Q(0\mid 3\mid -5)\).
\(\vec{OP‘}=2\cdot\begin{pmatrix} 0 \ 3 \ -5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \ -4 \ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \ 6 \ -10 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \ -4 \ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \ 10 \ -11 \end{pmatrix}\)
Der Spiegelpunkt ist \(P'(-3\mid 10\mid -11)\).
x₁ x₂ x₃ P Q P‘ O Q ist der Mittelpunkt zwischen P und P‘. Die Strecke P-Q ist genauso lang wie Q-P‘.
7. Schwerpunkt eines Dreiecks
💡 Schwerpunkt
Der Ortsvektor des
Schwerpunkts ( S ) eines Dreiecks ( ABC ) ist der Mittelwert der drei Eckpunkt-Ortsvektoren:
\(\vec{OS}=\frac{1}{3}\left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right)\)
✎ Schwerpunkt des Dreiecks mit \(A(1\mid -2\mid 4)\), \(B(3\mid 2\mid 5)\), \(C(-3\mid 1\mid -2)\).
\(\vec{OS}=\frac{1}{3}\left(\begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \ 2 \ 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \ 1 \ -2 \end{pmatrix}\right)=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} \ \tfrac{1}{3} \ \tfrac{7}{3} \end{pmatrix}\)
x₁ x₂ x₃ A B C S O Der Schwerpunkt S liegt im Inneren des Dreiecks ABC (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden).
8. Typische Fehler
✗ Falsch
Verbindungsvektor „Fuß minus Spitze“ gerechnet.
✓ Richtig
Es gilt Spitze minus Fuß : \(\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}\). Vertauscht man, zeigt der Vektor in die falsche Richtung.
✗ Falsch
Bei der Subtraktion Vorzeichen verloren.
✓ Richtig
Komponentenweise sorgfältig rechnen: \(2-(-2)=4\). Doppelte Minuszeichen werden zu Plus.
✗ Falsch
Beim Betrag die Wurzel vergessen.
✓ Richtig
Der Betrag ist \(\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\) – erst quadrieren und summieren, dann die Wurzel ziehen.
9. Üben
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