Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Analytische Geometrie (Technik) · BY
Vektoren im Raum
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung im Raum – durch eine Richtung und eine Länge. In der analytischen Geometrie stellt man Punkte und Vektoren im dreidimensionalen Raum \( \mathbb{R}^3 \) durch Zahlentripel dar und rechnet mit ihnen. Diese Seite erklärt Ortsvektoren und Verbindungsvektoren („Spitze minus Fuß“), die Grundrechenarten mit Vektoren und die wichtigen besonderen Punkte: Mittelpunkt, Spiegelpunkt und Schwerpunkt.
1. Was ist ein Vektor?
Ein Vektor im \( \mathbb{R}^3 \) wird als Spaltenvektor mit drei Koordinaten geschrieben. Er beschreibt eine Verschiebung: so viele Einheiten in \( x_1 \)-, \( x_2 \)- und \( x_3 \)-Richtung.
\[\vec{v}=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\qquad\text{Beispiel: }\vec{v}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}\]
x₁ x₂ x₃ v O Ein Vektor als Pfeil im dreidimensionalen Koordinatensystem.
2. Ortsvektor und Verbindungsvektor
💡 Ortsvektor
Der
Ortsvektor \( \vec{OP} \) eines Punktes \( P \) ist der Pfeil vom Koordinatenursprung \( O \) zum Punkt \( P \). Seine Koordinaten sind gleich den Koordinaten des Punktes:
\( P(3\mid 2\mid 6) \;\Rightarrow\; \vec{OP}=\vec{p}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \)
x₁ x₂ x₃ OP P O Der Ortsvektor OP zeigt vom Ursprung O zum Punkt P(3|2|6).
💡 Verbindungsvektor: „Spitze minus Fuß“
Der Vektor
von Punkt \( A \)
nach Punkt \( B \) berechnet sich als
„Spitze minus Fuß“ :
\[ \vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA} \]
(Endpunkt B ist die „Spitze“, Startpunkt A der „Fuß“.)
✎ Verbindungsvektor von \( A(1\mid -2\mid 4) \) nach \( B(3\mid 2\mid 5) \).
\[\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-1 \\ 2-(-2) \\ 5-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\]
3. Rechnen mit Vektoren
Addition, Subtraktion und die Multiplikation mit einer Zahl (Skalar) werden komponentenweise ausgeführt – man rechnet also in jeder Zeile getrennt.
💡 Die drei Grundoperationen
\( \vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{pmatrix} \qquad \vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3 \end{pmatrix} \)
\( r\cdot\vec{a}=\begin{pmatrix} r\cdot a_1 \\ r\cdot a_2 \\ r\cdot a_3 \end{pmatrix} \quad\text{(Multiplikation mit dem Skalar } r\text{)} \)
✎ Mit \( \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \) und \( \vec{c}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \): berechnen Sie \( \vec{a}+\vec{c} \) und \( 4\cdot\vec{c} \).
\[\vec{a}+\vec{c}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\]
\[4\cdot\vec{c}=4\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\]
4. Der Betrag (die Länge) eines Vektors
💡 Betrag eines Vektors
Der
Betrag \( |\vec{v}| \) ist die Länge des Vektors. Man berechnet ihn mit dem Satz des Pythagoras im Raum:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2} \]
✎ Länge des Vektors \( \vec{v}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} \).
\[|\vec{v}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7\]
5. Mittelpunkt einer Strecke
💡 Mittelpunkt
Der Ortsvektor des
Mittelpunkts \( M \) einer Strecke \( \overline{AB} \) ist der Mittelwert der beiden Ortsvektoren:
\[ \vec{OM}=\frac{1}{2}\left(\vec{OA}+\vec{OB}\right) \]
✎ Mittelpunkt von \( A(1\mid -2\mid 4) \) und \( B(3\mid 2\mid 5) \).
\[\vec{OM}=\frac{1}{2}\left(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\right)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4{,}5 \end{pmatrix}\]
Der Mittelpunkt ist \( M(2\mid 0\mid 4{,}5) \).
x₁ x₂ x₃ A B M O Der Mittelpunkt M liegt genau in der Mitte der Strecke AB.
6. Spiegelpunkt
💡 Spiegelpunkt bezüglich eines Punktes
Spiegelt man \( P \) an einem Punkt \( Q \), so ist \( Q \) der Mittelpunkt zwischen \( P \) und dem Spiegelpunkt \( P‘ \). Daraus folgt:
\[ \vec{OP‘}=2\cdot\vec{OQ}-\vec{OP} \]
✎ Spiegeln Sie \( P(3\mid -4\mid 1) \) am Punkt \( Q(0\mid 3\mid -5) \).
\[\vec{OP‘}=2\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 10 \\ -11 \end{pmatrix}\]
Der Spiegelpunkt ist \( P'(-3\mid 10\mid -11) \).
x₁ x₂ x₃ P Q P‘ O Q ist der Mittelpunkt zwischen P und P‘. Die Strecke P-Q ist genauso lang wie Q-P‘.
7. Schwerpunkt eines Dreiecks
💡 Schwerpunkt
Der Ortsvektor des
Schwerpunkts \( S \) eines Dreiecks \( ABC \) ist der Mittelwert der drei Eckpunkt-Ortsvektoren:
\[ \vec{OS}=\frac{1}{3}\left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right) \]
✎ Schwerpunkt des Dreiecks mit \( A(1\mid -2\mid 4) \), \( B(3\mid 2\mid 5) \), \( C(-3\mid 1\mid -2) \).
\[\vec{OS}=\frac{1}{3}\left(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\right)=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} \\ \tfrac{1}{3} \\ \tfrac{7}{3} \end{pmatrix}\]
x₁ x₂ x₃ A B C S O Der Schwerpunkt S liegt im Inneren des Dreiecks ABC (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden).
8. Typische Fehler
✗ Falsch
Verbindungsvektor „Fuß minus Spitze“ gerechnet.
✓ Richtig
Es gilt Spitze minus Fuß : \( \vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA} \). Vertauscht man, zeigt der Vektor in die falsche Richtung.
✗ Falsch
Bei der Subtraktion Vorzeichen verloren.
✓ Richtig
Komponentenweise sorgfältig rechnen: \( 2-(-2)=4 \). Doppelte Minuszeichen werden zu Plus.
✗ Falsch
Beim Betrag die Wurzel vergessen.
✓ Richtig
Der Betrag ist \( \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2} \) – erst quadrieren und summieren, dann die Wurzel ziehen.
9. Üben
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