Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Analytische Geometrie (Technik) · BY

Skalarprodukt und Vektorprodukt

Zwei Vektoren lassen sich auf zwei grundlegend verschiedene Arten „multiplizieren“. Das Skalarprodukt liefert eine Zahl und beantwortet Fragen nach dem Winkel und der Orthogonalität (Rechtwinkligkeit). Das Vektorprodukt liefert einen neuen Vektor, der senkrecht auf beiden steht – und mit ihm berechnet man Flächen und Volumina. Diese Seite erklärt beide Produkte mit ihren Anwendungen.

1. Das Skalarprodukt

💡 Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren (Zeichen \( \circ \)) ergibt eine Zahl (Skalar). Man berechnet es komponentenweise durch Multiplizieren und Summieren:

\[ \vec{a}\circ\vec{b}=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 \]

✎ Skalarprodukt von \( \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \).

\[\vec{a}\circ\vec{b}=1\cdot 4+2\cdot(-1)+3\cdot 2=4-2+6=8\]

💡 Rechengesetze

  • Kommutativ: \( \vec{a}\circ\vec{b}=\vec{b}\circ\vec{a} \)
  • Mit Skalar \( s \): \( (s\vec{a})\circ\vec{b}=s\,(\vec{a}\circ\vec{b}) \)
  • Distributiv: \( \vec{a}\circ(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\circ\vec{b}+\vec{a}\circ\vec{c} \)

2. Betrag und Winkel

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst liefert das Quadrat seiner Länge. So erhält man den Betrag:

\[|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\circ\vec{a}}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\]

💡 Winkel zwischen zwei Vektoren

Der Winkel \( \varphi \) zwischen zwei Vektoren ergibt sich aus:

\[ \cos\varphi=\frac{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \qquad (0°\leq\varphi\leq 180°) \]
abφ

Der Winkel φ zwischen den Vektoren a und b wird über das Skalarprodukt berechnet.

✎ Winkel zwischen \( \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \).

Wir kennen bereits \( \vec{a}\circ\vec{b}=8 \). Nun die Beträge:

\[|\vec{a}|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\qquad |\vec{b}|=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21}\]
\[\cos\varphi=\frac{8}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{21}}=\frac{8}{\sqrt{294}}\approx 0{,}467 \;\Rightarrow\; \varphi\approx 62{,}2°\]

3. Orthogonalität

💡 Orthogonalitäts-Kriterium

Wegen \( \cos(90°)=0 \) gilt: Zwei Vektoren stehen genau dann orthogonal (senkrecht) zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist:

\[ \vec{a}\perp\vec{b} \;\Longleftrightarrow\; \vec{a}\circ\vec{b}=0 \]

✎ Stehen \( \vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \) senkrecht zueinander?

\[\vec{a}\circ\vec{b}=2\cdot 1+(-1)\cdot 4+2\cdot 1=2-4+2=0\]

Das Skalarprodukt ist null – die Vektoren stehen orthogonal zueinander.

4. Das Vektorprodukt

💡 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Das Vektorprodukt \( \vec{a}\times\vec{b} \) ergibt einen neuen Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht. Man berechnet es so:

\[ \vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1-a_1 b_3 \\ a_1 b_2-a_2 b_1 \end{pmatrix} \]

✎ Vektorprodukt von \( \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \).

\[\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} 0\cdot 0-0\cdot 1 \\ 0\cdot 0-1\cdot 0 \\ 1\cdot 1-0\cdot 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Der Ergebnisvektor \( (0\mid 0\mid 1) \) steht senkrecht auf beiden – er zeigt in \( x_3 \)-Richtung.

aba × b

Das Vektorprodukt a × b (rot) steht senkrecht auf der Ebene, die von a und b aufgespannt wird.

5. Flächenberechnung

💡 Fläche eines Parallelogramms und Dreiecks

Der Betrag des Vektorprodukts ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird:

\[ A_{\text{Parallelogramm}}=|\vec{a}\times\vec{b}| \]

Ein Dreieck ist halb so groß: \( A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}| \).

✎ Fläche des Dreiecks, das von \( \vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \) aufgespannt wird.

\[\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\qquad |\vec{a}\times\vec{b}|=6\]
\[A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot 6=3\]
abDreieck = ½ Parallelogramm

a und b spannen ein Parallelogramm auf. Sein Flächeninhalt ist |a × b|; das Dreieck ist halb so groß.

6. Volumen mit dem Spatprodukt

💡 Spatprodukt und Volumen

Das Spatprodukt dreier Vektoren \( \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) \) ist eine Zahl. Sein Betrag ist das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Körpers (Spat/Parallelepiped):

\[ V_{\text{Spat}}=|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})| \]

Ist das Spatprodukt null, liegen die drei Vektoren in einer Ebene (komplanar) – das verbindet sich mit der linearen Abhängigkeit.

abc

Die drei Vektoren a, b, c spannen einen Spat (Parallelepiped) auf. Sein Volumen ist der Betrag des Spatprodukts.

7. Typische Fehler

✗ Falsch

Skalarprodukt und Vektorprodukt verwechselt.

✓ Richtig

Skalarprodukt \( \circ \) ergibt eine Zahl (für Winkel/Orthogonalität). Vektorprodukt \( \times \) ergibt einen Vektor (für Flächen/Volumen).

✗ Falsch

Beim Winkel die Beträge im Nenner vergessen.

✓ Richtig

\( \cos\varphi=\frac{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \) – das Skalarprodukt muss durch das Produkt der beiden Beträge geteilt werden.

✗ Falsch

Beim Dreieck die Hälfte vergessen.

✓ Richtig

\( |\vec{a}\times\vec{b}| \) ist die Parallelogramm-Fläche. Das Dreieck ist halb so groß.

8. Üben

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