Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Analytische Geometrie (Technik) · BY
Linearkombination und lineare Abhängigkeit
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1. Linearkombination
💡 Linearkombination
so heißt \( \vec{x} \) eine Linearkombination der Vektoren. Um zu prüfen, ob sich \( \vec{x} \) so darstellen lässt, löst man ein Gleichungssystem für die Koeffizienten \( q_1, q_2, \dots \)
In den folgenden Beispielen verwenden wir \( \vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \).
2. Kollinear: parallele Vektoren
✎ Lässt sich \( \vec{c}=\begin{pmatrix} -12 \\ -9 \\ -6 \end{pmatrix} \) als Linearkombination von \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) darstellen?
Ansatz \( q_1\vec{a}+q_2\vec{b}=\vec{c} \) führt auf ein Gleichungssystem. Aus den Zeilen 2 und 3 (wo \( \vec{a} \) eine Null hat) folgt \( q_2=-3 \), eingesetzt in Zeile 1 ergibt sich \( q_1=0 \):
💡 Kollinear
b und c liegen auf parallelen Geraden (c ist das -3-fache von b) — sie sind kollinear. c zeigt in die Gegenrichtung und ist dreimal so lang.
3. Komplanar: Vektoren in einer Ebene
✎ Lässt sich \( \vec{d}=\begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} \) als Linearkombination von \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) darstellen?
Der Ansatz \( q_1\vec{a}+q_2\vec{b}=\vec{d} \) liefert aus den Zeilen 2 und 3 übereinstimmend \( q_2=2 \), eingesetzt in Zeile 1 ergibt \( q_1=2 \):
💡 Komplanar
a, b und d liegen in einer gemeinsamen Ebene (d = 2a + 2b) — sie sind komplanar. Ein dritter Vektor, der aus zwei anderen kombinierbar ist, verlässt deren Ebene nicht.
✎ Und \( \vec{e}=\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \)?
Hier führt der Ansatz auf einen Widerspruch: Zeile 2 verlangt \( 3q_2=3 \Rightarrow q_2=1 \), Zeile 3 aber \( 2q_2=3 \Rightarrow q_2=1{,}5 \). Beides gleichzeitig geht nicht – das Gleichungssystem hat keine Lösung. Also lässt sich \( \vec{e} \) nicht als Linearkombination von \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) darstellen.
4. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit
💡 Definition
nur die triviale Lösung \( q_1=q_2=\dots=q_n=0 \) hat. Gibt es eine andere Lösung, sind die Vektoren linear abhängig.
💡 Anschauliche Bedeutung
- Kollinear (parallel) \( \Rightarrow \) linear abhängig.
- Komplanar (in einer Ebene) \( \Rightarrow \) linear abhängig.
- Zeigen die Vektoren wirklich in verschiedene Raumrichtungen (spannen ein Volumen auf) \( \Rightarrow \) linear unabhängig.
Für \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{e} \) führt der Ansatz \( q_1\vec{a}+q_2\vec{b}+q_3\vec{e}=\vec{0} \) mit dem Gauß-Verfahren nur auf die triviale Lösung \( q_1=q_2=q_3=0 \). Diese drei Vektoren sind also linear unabhängig.
5. Das Spatprodukt-Kriterium (drei Vektoren)
Bei genau drei Vektoren gibt es eine elegante Abkürzung: das Spatprodukt. Es ist eine Zahl, die dem Volumen des von den Vektoren aufgespannten Körpers (Spat) entspricht.
💡 Spatprodukt-Kriterium
- Spatprodukt \( =0 \): die drei Vektoren spannen kein Volumen auf → sie sind komplanar und linear abhängig.
- Spatprodukt \( \neq 0 \): sie spannen ein Volumen auf → linear unabhängig.
✎ Prüfen Sie \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{d} \) mit dem Spatprodukt.
Da \( \vec{d}=2\vec{a}+2\vec{b} \) (komplanar) ist, erwarten wir das Spatprodukt null:
Das Spatprodukt ist null – die drei Vektoren sind komplanar und linear abhängig. (Das Kreuzprodukt \( \times \) lernen Sie im Abschnitt zum Vektorprodukt.)
6. Basis und Dimension
💡 Basis eines Vektorraums
💡 Standardbasis des \( \mathbb{R}^3 \)
Der Raum \( \mathbb{R}^3 \) hat die Dimension 3 – man braucht drei linear unabhängige Vektoren, um jeden Punkt zu erreichen.
Die Standardbasis des Raums: die drei Einheitsvektoren e_1, e_2, e_3 zeigen entlang der Koordinatenachsen (hier zur besseren Sichtbarkeit verlängert).
7. Typische Fehler
8. Üben
💡 ✐ Jetzt selbst üben
Weiterlernen
- Vektoren im Raum – die Grundlagen.
- Gauß-Verfahren – löst die Gleichungssysteme.
- Skalarprodukt und Vektorprodukt.