Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Analytische Geometrie (Technik) · BY

Linearkombination und lineare Abhängigkeit

Lässt sich ein Vektor aus anderen „zusammensetzen“? Diese Frage führt zu den zentralen Begriffen der Vektorrechnung: Linearkombination, lineare Abhängigkeit und Basis. Sie beantworten, ob Vektoren parallel (kollinear) sind, in einer Ebene liegen (komplanar) oder wirklich in verschiedene Richtungen zeigen. Diese Seite erklärt alle Begriffe an durchgerechneten Beispielen – inklusive der Verbindung zum Gauß-Verfahren und zum Spatprodukt.

1. Linearkombination

💡 Linearkombination

Entsteht aus Vektoren \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\dots,\vec{a}_n\) und ihren Vielfachen durch Addition ein neuer Vektor \(\vec{x}\):

\(\vec{x}=q_1\vec{a}_1+q_2\vec{a}_2+\dots+q_n\vec{a}_n\)

so heißt \(\vec{x}\) eine Linearkombination der Vektoren. Um zu prüfen, ob sich \(\vec{x}\) so darstellen lässt, löst man ein Gleichungssystem für die Koeffizienten \(q_1, q_2, \dots\)

In den folgenden Beispielen verwenden wir \(\vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix} 4 \ 3 \ 2 \end{pmatrix}\).

2. Kollinear: parallele Vektoren

✎ Lässt sich \(\vec{c}=\begin{pmatrix} -12 \ -9 \ -6 \end{pmatrix}\) als Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) darstellen?

Ansatz \(q_1\vec{a}+q_2\vec{b}=\vec{c}\) führt auf ein Gleichungssystem. Aus den Zeilen 2 und 3 (wo \(\vec{a}\) eine Null hat) folgt \(q_2=-3\), eingesetzt in Zeile 1 ergibt sich \(q_1=0\):

\(\vec{c}=0\cdot\vec{a}-3\cdot\vec{b}=-3,\vec{b}\)

💡 Kollinear

\(\vec{c}\) ist ein Vielfaches von \(\vec{b}\). Zwei Vektoren, bei denen einer ein Vielfaches des anderen ist, heißen kollinear – sie sind parallel zueinander.
bc = -3b

b und c liegen auf parallelen Geraden (c ist das -3-fache von b) — sie sind kollinear. c zeigt in die Gegenrichtung und ist dreimal so lang.

3. Komplanar: Vektoren in einer Ebene

✎ Lässt sich \(\vec{d}=\begin{pmatrix} 12 \ 6 \ 4 \end{pmatrix}\) als Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) darstellen?

Der Ansatz \(q_1\vec{a}+q_2\vec{b}=\vec{d}\) liefert aus den Zeilen 2 und 3 übereinstimmend \(q_2=2\), eingesetzt in Zeile 1 ergibt \(q_1=2\):

\(\vec{d}=2\cdot\vec{a}+2\cdot\vec{b}\)

💡 Komplanar

Lässt sich ein Vektor als Linearkombination von zwei anderen darstellen, so liegen diese drei Vektoren in einer Ebene – sie heißen komplanar.
EbeneOabd

a, b und d liegen in einer gemeinsamen Ebene \(d = 2a + 2b\) — sie sind komplanar. Ein dritter Vektor, der aus zwei anderen kombinierbar ist, verlässt deren Ebene nicht.

✎ Und \(\vec{e}=\begin{pmatrix} 7 \ 3 \ 3 \end{pmatrix}\)?

Hier führt der Ansatz auf einen Widerspruch: Zeile 2 verlangt \(3q_2=3 Rightarrow q_2=1\), Zeile 3 aber \(2q_2=3 Rightarrow q_2=1{,}5\). Beides gleichzeitig geht nicht – das Gleichungssystem hat keine Lösung. Also lässt sich \(\vec{e}\) nicht als Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) darstellen.

4. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

💡 Definition

Vektoren \(\vec{a}_1,\dots,\vec{a}_n\) sind linear unabhängig, wenn der Ansatz

\(q_1\vec{a}_1+q_2\vec{a}_2+\dots+q_n\vec{a}_n=\vec{0}\)

nur die triviale Lösung \(q_1=q_2=\dots=q_n=0\) hat. Gibt es eine andere Lösung, sind die Vektoren linear abhängig.

💡 Anschauliche Bedeutung

  • Kollinear (parallel) ( Rightarrow ) linear abhängig.
  • Komplanar (in einer Ebene) ( Rightarrow ) linear abhängig.
  • Zeigen die Vektoren wirklich in verschiedene Raumrichtungen (spannen ein Volumen auf) ( Rightarrow ) linear unabhängig.

Für \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{e}\) führt der Ansatz \(q_1\vec{a}+q_2\vec{b}+q_3\vec{e}=\vec{0}\) mit dem Gauß-Verfahren nur auf die triviale Lösung \(q_1=q_2=q_3=0\). Diese drei Vektoren sind also linear unabhängig.

5. Das Spatprodukt-Kriterium (drei Vektoren)

Bei genau drei Vektoren gibt es eine elegante Abkürzung: das Spatprodukt. Es ist eine Zahl, die dem Volumen des von den Vektoren aufgespannten Körpers (Spat) entspricht.

💡 Spatprodukt-Kriterium

  • Spatprodukt \(=0\): die drei Vektoren spannen kein Volumen auf → sie sind komplanar und linear abhängig.
  • Spatprodukt ( neq 0 ): sie spannen ein Volumen auf → linear unabhängig.

✎ Prüfen Sie \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}\) mit dem Spatprodukt.

Da \(\vec{d}=2\vec{a}+2\vec{b}\) (komplanar) ist, erwarten wir das Spatprodukt null:

\(\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{d})=0\)

Das Spatprodukt ist null – die drei Vektoren sind komplanar und linear abhängig. (Das Kreuzprodukt ( times ) lernen Sie im Abschnitt zum Vektorprodukt.)

6. Basis und Dimension

💡 Basis eines Vektorraums

Sind Vektoren \(\vec{b}_1,\dots,\vec{b}_n\) linear unabhängig und lässt sich jeder Vektor des Raums als ihre Linearkombination darstellen, so bilden sie eine Basis des Vektorraums. Die Anzahl der Basisvektoren ist die Dimension des Raums.

💡 Standardbasis des \(\mathbb{R}^3\)

Die einfachste Basis besteht aus den drei Einheitsvektoren:

\(\vec{e}_1=\begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix},\quad \vec{e}_2=\begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix},\quad \vec{e}_3=\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}\)

Der Raum \(\mathbb{R}^3\) hat die Dimension 3 – man braucht drei linear unabhängige Vektoren, um jeden Punkt zu erreichen.

x₁x₂x₃e_1e_2e_3O

Die Standardbasis des Raums: die drei Einheitsvektoren e_1, e_2, e_3 zeigen entlang der Koordinatenachsen (hier zur besseren Sichtbarkeit verlängert).

7. Typische Fehler

✗ Falsch

Bei der linearen Unabhängigkeit die triviale Lösung als „abhängig“ gewertet.

✓ Richtig

Nur die triviale Lösung \(q_1=q_2=q_3=0\) bedeutet unabhängig. Erst eine weitere (nichttriviale) Lösung macht die Vektoren abhängig.

✗ Falsch

Kollinear und komplanar verwechselt.

✓ Richtig

Kollinear = zwei parallele Vektoren. Komplanar = drei Vektoren in einer Ebene. Beide sind linear abhängig, aber verschiedene Situationen.

✗ Falsch

Aus einer Widerspruchszeile auf „abhängig“ geschlossen.

✓ Richtig

Führt der Linearkombinations-Ansatz auf einen Widerspruch, ist der Vektor nicht darstellbar – die Vektoren sind dann eher unabhängig, nicht abhängig.

8. Üben

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