Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Analytische Geometrie (Technik) · BY

Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Verfahren

Drei Unbekannte, drei Gleichungen – von Hand durch Einsetzen wird das schnell unübersichtlich. Das Gauß-Verfahren (Gauß-Algorithmus) löst lineare Gleichungssysteme systematisch: Man schreibt das System als Koeffizientenmatrix, bringt es durch Zeilenumformungen in Dreiecksform und liest die Lösung durch Rückwärtseinsetzen ab. Diese Seite erklärt das Verfahren Schritt für Schritt und zeigt, wie man die drei möglichen Lösungsfälle erkennt: genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele.

1. Was ist ein lineares Gleichungssystem?

💡 Lineares Gleichungssystem (LGS)

Ein System aus mehreren Gleichungen, in denen dieselben Unbekannten nur in erster Potenz vorkommen, heißt lineares Gleichungssystem. Üblicherweise nummeriert man die Gleichungen mit römischen Zahlen.

Ein Beispiel mit drei Unbekannten:

\[\begin{array}{rrrrr} I & 3x & +2y & -3z & =3 \\ II & -x & -4y & +7z & =-1 \\ III & 2x & +y & +2z & =5 \end{array}\]

2. Die erweiterte Koeffizientenmatrix

Für das Gauß-Verfahren schreibt man nur noch die Koeffizienten (die Zahlen vor den Unbekannten) und die rechte Seite in eine Tabelle – die erweiterte Koeffizientenmatrix. Die Unbekannten selbst lässt man weg (ihre Position genügt):

\[\left(\begin{array}{rrr|r} 3 & 2 & -3 & 3 \\ -1 & -4 & 7 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & 5 \end{array}\right)\]

Der senkrechte Strich trennt die Koeffizienten (links) von der rechten Seite der Gleichungen.

3. Das Gauß-Verfahren: Dreiecksform

Ziel ist die Dreiecksform: Alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonale werden zu null gemacht. Erlaubt sind dabei diese Zeilenumformungen:

💡 Erlaubte Zeilenumformungen

  • Eine Zeile mit einer Zahl (≠ 0) multiplizieren.
  • Zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen addieren oder subtrahieren.
  • Zwei Zeilen vertauschen.

Diese Umformungen ändern die Lösung des Systems nicht.

Systematisch bringt man erst die Einträge der ersten Spalte unter der Diagonale auf null, dann den Eintrag in der zweiten Spalte – bis unterhalb der Diagonale überall null steht.

4. Vollständiges Beispiel (genau eine Lösung)

✎ Lösen Sie das Gleichungssystem \( 2x_1-4x_2+2x_3=-2 \); \( -4x_1+2x_2-2x_3=0 \); \( 3x_1-2x_2+2x_3=1 \).

Schritt 1 – erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen:

\[\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & -4 & 2 & -2 \\ -4 & 2 & -2 & 0 \\ 3 & -2 & 2 & 1 \end{array}\right)\]

Schritt 2 – erste Spalte unter der Diagonale auf null bringen. Zur zweiten Zeile addieren wir das Doppelte der ersten (\( II+2\cdot I \)); von der dritten ziehen wir passend ab (\( 2\cdot III-3\cdot I \)):

\[\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & -4 & 2 & -2 \\ 0 & -6 & 2 & -4 \\ 0 & 8 & -2 & 8 \end{array}\right)\]

Schritt 3 – zweite Spalte unter der Diagonale auf null bringen (\( 6\cdot III’+8\cdot II‘ \)):

\[\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & -4 & 2 & -2 \\ 0 & -6 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 4 & 16 \end{array}\right)\]

Jetzt liegt die Dreiecksform vor. Schritt 4 – Rückwärtseinsetzen. Die letzte Zeile heißt \( 4x_3=16 \):

\[4x_3=16 \quad|:4 \quad\Rightarrow\quad x_3=4\]

\( x_3=4 \) in die zweite Zeile \( -6x_2+2x_3=-4 \) einsetzen:

\[\begin{aligned} -6x_2+2\cdot 4 &= -4 \qquad |-8 \\ -6x_2 &= -12 \qquad |:(-6) \\ x_2 &= 2 \end{aligned}\]

\( x_2=2 \) und \( x_3=4 \) in die erste Zeile \( 2x_1-4x_2+2x_3=-2 \) einsetzen:

\[\begin{aligned} 2x_1-4\cdot 2+2\cdot 4 &= -2 \\ 2x_1-8+8 &= -2 \\ 2x_1 &= -2 \quad\Rightarrow\quad x_1=1 \end{aligned}\]

Das System hat genau eine Lösung:

\[\mathbb{L}=\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\right\}\]

5. Die drei Lösungsfälle

Am Ende der letzten Zeile erkennt man, welcher Fall vorliegt:

💡 Fall 1: genau eine Lösung

Die letzte Zeile hat die Form \( a\cdot x_3=b \) mit \( a\neq 0 \) (z. B. \( 4x_3=16 \)). Man kann eindeutig auflösen – das System hat genau eine Lösung.

💡 Fall 2: keine Lösung

Die letzte Zeile lautet \( 0\cdot x_3=b \) mit \( b\neq 0 \) (z. B. \( 0=5 \)) – eine falsche Aussage. Kein \( x_3 \) kann das erfüllen, das System hat keine Lösung (\( \mathbb{L}=\{\} \)).

💡 Fall 3: unendlich viele Lösungen

Die letzte Zeile lautet \( 0\cdot x_3=0 \) (z. B. \( 0=0 \)) – eine wahre Aussage für jedes \( x_3 \). Man setzt \( x_3=k \) mit \( k\in\mathbb{R} \) (Parameter) und drückt die anderen Unbekannten durch \( k \) aus – das System hat unendlich viele Lösungen (unterbestimmt).

6. Typische Fehler

✗ Falsch

Beim Umformen die rechte Seite vergessen.

✓ Richtig

Jede Zeilenumformung gilt für die ganze Zeile – die Zahl hinter dem Strich (rechte Seite) muss immer mitgerechnet werden.

✗ Falsch

Fehlende Unbekannte nicht als 0 notiert.

✓ Richtig

Kommt eine Unbekannte in einer Gleichung nicht vor, steht in der Matrix an ihrer Stelle eine \( 0 \) – die Spalte darf nicht verrutschen.

✗ Falsch

Bei \( 0=0 \) „keine Lösung“ statt „unendlich viele“ geschlossen.

✓ Richtig

\( 0=0 \) ist wahr → unendlich viele Lösungen. Nur \( 0=b \) mit \( b\neq 0 \) bedeutet keine Lösung.

7. Üben

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