Mathematik Realschule Bayern · Klasse 5 · Lernbereich 2 „Ganze Zahlen“ (LehrplanPLUS) · BY
Ganze Zahlen: wenn Zahlen unter die Null rutschen
Du kennst schon die natürlichen Zahlen: 0, 1, 2, 3 und so weiter, immer weiter, ohne Ende. Aber reichen die eigentlich für alles? Im Winter zeigt das Thermometer manchmal −8 °C, ein Konto kann mit −30 € im Minus stehen, und das Tote Meer liegt 430 m unter dem Meeresspiegel. Für all das reichen die natürlichen Zahlen nicht mehr aus – du brauchst Zahlen, die kleiner als null sind. Genau darum geht es auf dieser Seite: die ganzen Zahlen, ihr Zahlenstrahl und das Rechnen mit ihnen.
Wozu brauchst du das?
Negative Zahlen begegnen dir ständig: die Temperaturanzeige im Auto oder am Fenster · der Kontostand auf dem Kontoauszug deiner Eltern · Höhenangaben auf Landkarten (Höhe über oder unter dem Meeresspiegel) · Stockwerke im Aufzug (Tiefgaragen als −1, −2) · die Zeitrechnung vor und nach Christi Geburt. Überall dort, wo es ein „Nullpunkt“ gibt und man auch darunter fallen kann, brauchst du ganze Zahlen.
Inhalt dieser Seite
- Warum es negative Zahlen gibt
- Der Zahlenstrahl: Ordnen, Gegenzahl und Betrag
- Addition und Subtraktion ganzer Zahlen
- Multiplikation und Division ganzer Zahlen
- Verbundene Rechnungen und Sachaufgaben
- Das Wichtigste in Kürze
1. Warum es negative Zahlen gibt
Stell dir ein Thermometer im Winter vor. Um 6 Uhr morgens zeigt es 5 Grad unter null. Mit natürlichen Zahlen kannst du das nicht aufschreiben – „minus 5“ ist keine natürliche Zahl. Deshalb erweitert man den Zahlenbereich: Zu jeder natürlichen Zahl (außer der 0) bekommt man eine neue, negative Partnerzahl dazu. Die Menge aller positiven und negativen ganzen Zahlen sowie der 0 heißt die Menge der ganzen Zahlen, mit dem Buchstaben „IZ“ abgekürzt: \( \text{IZ} = \{ \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \} \).
Ein Thermometer eignet sich besonders gut, um dir das vorzustellen: Es ist im Grunde ein senkrecht gestellter Zahlenstrahl mit einem festen Nullpunkt.
Morgens minus 5 Grad, mittags plus 3 Grad – beides liest du direkt an der Skala ab.
Auch Höhenangaben funktionieren so: Die Zugspitze liegt bei +2962 m über dem Meeresspiegel, das Tote Meer dagegen bei −430 m, also 430 m unter dem Meeresspiegel. Und ein Kontostand von −20 € bedeutet: Auf dem Konto ist nicht nur nichts mehr, es fehlen sogar noch 20 € – das Konto ist „im Minus“, es sind Schulden.
Merke: Immer wenn es einen Nullpunkt gibt, unter den man auch fallen kann (Temperatur, Kontostand, Höhenlage, Stockwerk), reichen die natürlichen Zahlen nicht mehr aus. Man erweitert sie zur Menge der ganzen Zahlen \( \text{IZ} = \{ \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \} \). Zahlen größer als 0 heißen positiv (Vorzeichen +, wird meist weggelassen), Zahlen kleiner als 0 heißen negativ (Vorzeichen −, wird immer geschrieben). Die 0 selbst ist weder positiv noch negativ.
2. Der Zahlenstrahl: Ordnen, Gegenzahl und Betrag
Legst du das Thermometer waagrecht hin, erhältst du den Zahlenstrahl für ganze Zahlen: eine Gerade mit gleichmäßiger Skalierung, auf der jede ganze Zahl einen festen Platz hat. Nach rechts werden die Zahlen größer, nach links kleiner – das gilt auch im negativen Bereich.
−6 und 6 sind Gegenzahlen: gleich weit von der Null entfernt, aber auf verschiedenen Seiten.
Ordnen: Von zwei ganzen Zahlen ist die größer, die auf dem Zahlenstrahl weiter rechts liegt. Deshalb gilt zum Beispiel \( -7 < -2 \), obwohl 7 als „Zahlwert“ größer ist als 2 – entscheidend ist allein die Lage auf dem Strahl. Vergleiche zwei Wintertage: Bei −8 °C ist es kälter als bei −3 °C, denn \( -8 < -3 \).
Gegenzahl: Zwei Zahlen, die auf dem Zahlenstrahl gleich weit von der 0 entfernt sind, aber auf verschiedenen Seiten liegen, heißen Gegenzahlen. Die Gegenzahl von −6 ist 6, die Gegenzahl von 4 ist −4. Man erhält die Gegenzahl, indem man das Vorzeichen umdreht.
Betrag: Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur 0 auf dem Zahlenstrahl – und ein Abstand ist nie negativ. Man schreibt den Betrag mit zwei senkrechten Strichen: \( |-6| = 6 \), \( |4| = 4 \), \( |0| = 0 \). Gegenzahlen haben also immer den gleichen Betrag.
| Zahl | \( -6 \) | \( 4 \) | \( 0 \) |
| Gegenzahl | \( 6 \) | \( -4 \) | \( 0 \) |
| Betrag | \( 6 \) | \( 4 \) | \( 0 \) |
Merke: Auf dem Zahlenstrahl ist eine Zahl größer, wenn sie weiter rechts liegt – auch im Negativen (\( -7 < -2 \)). Die Gegenzahl entsteht durch Umdrehen des Vorzeichens (Gegenzahl von \( a \) ist \( -a \)). Der Betrag \( |a| \) ist der Abstand von \( a \) zur 0 und deshalb nie negativ.
3. Addition und Subtraktion ganzer Zahlen
Auf dem Zahlenstrahl kannst du dir jede Addition und Subtraktion als Bewegung vorstellen. Eine positive Zahl addieren heißt: nach rechts gehen. Eine positive Zahl subtrahieren heißt: nach links gehen. Eine negative Zahl zu subtrahieren dreht die Richtung noch einmal um – dazu gleich mehr.
Beispiel 1 – Addition, Bewegung nach rechts
In der Lackierkammer des Holzwerks Brandl zeigt das Thermometer morgens −3 °C (ungeheizt). Im Laufe des Vormittags steigt die Temperatur um 8 °C.
| Ansatz | \( -3 + 8 \) |
| Ergebnis | \( -3 + 8 = 5 \) |
Antwort: Um die Mittagszeit sind es 5 °C in der Kammer.
Beispiel 2 – Subtraktion, Bewegung nach links
Auf einem Konto stehen 20 €. Es wird eine Rechnung über 35 € abgebucht.
| Ansatz | \( 20 – 35 \) |
| Ergebnis | \( 20 – 35 = -15 \) |
Antwort: Das Konto steht danach bei −15 €, es sind also 15 € Schulden entstanden.
Beispiel 3 – eine negative Zahl subtrahieren
Was bedeutet \( -2 – (-5) \)? Eine negative Zahl wegzunehmen heißt: die Bewegung nach links, die diese Zahl bedeuten würde, wird rückgängig gemacht – man geht also nach rechts. Deshalb gilt: Minus einer negativen Zahl wird zu Plus.
| Ansatz | \( -2 – (-5) \) |
| Minus und Minus wird Plus | \( = -2 + 5 \) |
| Ergebnis | \( = 3 \) |
Ein Alltagsbeispiel dazu: „Um wie viel Grad ist es wärmer geworden, wenn die Temperatur von −4 °C auf 6 °C gestiegen ist?“ Du rechnest \( 6 – (-4) = 6 + 4 = 10 \) – die Temperatur ist um 10 °C gestiegen.
Merke: Auf dem Zahlenstrahl gilt: \( +(+b) \) und \( -(-b) \) bedeuten eine Bewegung nach rechts; \( +(-b) \) und \( -(+b) \) bedeuten eine Bewegung nach links. Kurz: Gleiche Vorzeichen hintereinander werden zu Plus, verschiedene Vorzeichen hintereinander werden zu Minus. So wird \( -2-(-5) \) zu \( -2+5=3 \).
4. Multiplikation und Division ganzer Zahlen
Auch für Multiplikation und Division ganzer Zahlen gibt es eine feste Vorzeichenregel. Am einfachsten siehst du sie, wenn du ein Muster fortsetzt: Multiplizierst du \( -4 \) immer mit einer um 1 kleineren Zahl, sinkt das Ergebnis jedes Mal um \( -4 \), also steigt es um 4.
| \( 3 \cdot (-4) \) | \( = -12 \) |
| \( 2 \cdot (-4) \) | \( = -8 \) |
| \( 1 \cdot (-4) \) | \( = -4 \) |
| \( 0 \cdot (-4) \) | \( = 0 \) |
| \( -1 \cdot (-4) \) | \( = 4 \) |
Das Muster zeigt: Negativ mal negativ ergibt positiv. Zusammengefasst gilt die Vorzeichenregel: gleiche Vorzeichen → Ergebnis positiv, verschiedene Vorzeichen → Ergebnis negativ. Diese Regel gilt für die Multiplikation genauso wie für die Division.
Beispiel 1 – Multiplikation
Die Familie Hofmann zahlt 5 Monate in Folge jeweils 12 € zu wenig Miete. Wie verändert sich ihr Rückstand insgesamt?
| Ansatz | \( 5 \cdot (-12) \) |
| Ergebnis | \( 5 \cdot (-12) = -60 \) |
Antwort: Nach 5 Monaten beträgt der Rückstand 60 €.
Beispiel 2 – Division
In der Lackierkammer sinkt die Temperatur über Nacht gleichmäßig um insgesamt 24 °C, verteilt auf mehrere gleich große Schritte von je −6 °C. Wie viele Schritte waren es?
| Ansatz | \( (-24) : (-6) \) |
| Ergebnis | \( (-24) : (-6) = 4 \) |
Antwort: Es waren 4 Schritte. Probe: \( 4 \cdot (-6) = -24 \) ✓.
Merke: Bei Multiplikation und Division ganzer Zahlen gilt die Vorzeichenregel: \( (+) \cdot (+) = (+) \), \( (-) \cdot (-) = (+) \), \( (+) \cdot (-) = (-) \), \( (-) \cdot (+) = (-) \). Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Ergebnis, verschiedene Vorzeichen ein negatives. Für das Dividieren gilt dieselbe Regel.
5. Verbundene Rechnungen und Sachaufgaben
Kommen in einer Aufgabe mehrere Rechenarten vor, gelten dieselben Regeln wie bei natürlichen Zahlen: Zuerst das, was in Klammern steht, dann Punktrechnung (Mal und Geteilt) vor Strichrechnung (Plus und Minus), und innerhalb der gleichen Rangstufe von links nach rechts.
Beispiel 1 – Kontostand mit Taschengeld
Ein Konto steht bei −50 €. In den folgenden 3 Wochen zahlt Paulas Opa ihr jede Woche 20 € Taschengeld ein. Danach hebt sie einmal 15 € ab. Wie steht das Konto jetzt?
| Ansatz | \( -50 + 3 \cdot 20 – 15 \) |
| Punkt vor Strich | \( = -50 + 60 – 15 \) |
| von links nach rechts | \( = 10 – 15 \) |
| Ergebnis | \( = -5 \) |
Antwort: Das Konto steht bei −5 €, also noch leicht im Minus.
Beispiel 2 – Temperatur in der Lackierkammer
Morgens zeigt das Thermometer in der ungeheizten Lackierkammer −3 °C. Die Heizung läuft 4 Stunden lang und erwärmt den Raum in jeder Stunde um 5 °C. Welche Temperatur herrscht danach?
| Ansatz | \( -3 + 4 \cdot 5 \) |
| Punkt vor Strich | \( = -3 + 20 \) |
| Ergebnis | \( = 17 \) |
Antwort: Nach 4 Stunden Heizen sind es 17 °C in der Kammer.
Merke: Auch bei ganzen Zahlen gilt: Klammer vor Punkt vor Strich, und innerhalb derselben Rangstufe rechnest du von links nach rechts. Rechne bei Sachaufgaben Schritt für Schritt und überlege am Ende, ob das Ergebnis zur Situation passt (z. B. ob ein Kontostand plausibel im Minus oder Plus liegt).
6. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die Kernpunkte dieser Seite:
- Die ganzen Zahlen \( \text{IZ} = \{ \ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots \} \) erweitern die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen – nötig für Temperatur, Kontostand oder Höhenlage.
- Auf dem Zahlenstrahl ist „weiter rechts“ immer „größer“. Die Gegenzahl entsteht durch Vorzeichenwechsel, der Betrag \( |a| \) ist der (nie negative) Abstand zur 0.
- Bei Addition und Subtraktion gilt: gleiche Vorzeichen hintereinander werden zu Plus (Bewegung nach rechts), verschiedene Vorzeichen hintereinander werden zu Minus (Bewegung nach links).
- Bei Multiplikation und Division gilt die Vorzeichenregel: gleiche Vorzeichen → positives Ergebnis, verschiedene Vorzeichen → negatives Ergebnis.
- Bei verbundenen Rechnungen gilt weiterhin: Klammer vor Punkt vor Strich, und bei Sachaufgaben immer eine Antwort mit Einheit.
7. So fragt die Abschlussprüfung
Ganze Zahlen werden später nicht mehr als eigenes Thema geprüft – sie stecken dann in Termen, Gleichungen und Koordinaten. Genau deshalb lohnt sich jetzt jede Minute: Wer hier die Vorzeichen sicher führt, verliert später keine Folgefehler-Punkte. Vier Aufgaben aus der Möbelmanufaktur Holzwerk Brandl e.K.:
Aufgabe 1 – Temperaturunterschied (Subtraktion). Im unbeheizten Holzlager werden morgens \( -7\ ^\circ\text{C} \) gemessen, mittags \( +6\ ^\circ\text{C} \). Um wie viel Grad ist es wärmer geworden?
| Ansatz: Endwert minus Anfangswert | \( 6 – (-7) \) |
| Minus vor der Klammer auflösen | \( 6 + 7 \) |
| Unterschied | \( 13 \) (13 Grad wärmer) |
Gegenprobe am Zahlenstrahl: Von \( -7 \) bis \( 0 \) sind es 7 Schritte, von \( 0 \) bis \( +6 \) weitere 6 Schritte, zusammen \( 7 + 6 = 13 \) ✓. Antwort: Es ist um 13 Grad wärmer geworden. Merke dir das Bild: Der Abstand geht über die Null hinweg, deshalb werden die beiden Beträge addiert.
Aufgabe 2 – Werkstattkasse (verbundene Addition und Subtraktion). In der Kasse liegen 240 €. Katharina Brandl bezahlt eine Rechnung von 380 € und legt danach eine Bareinnahme von 95 € hinein. Wie ist der Kassenstand am Abend?
| Ansatz | \( 240 – 380 + 95 \) |
| von links nach rechts | \( 240 – 380 = -140 \) |
| Kassenstand | \( -140 + 95 = -45 \) (also \( -45\ \text{€} \)) |
Gegenprobe mit anderer Reihenfolge: Erst alle Einnahmen: \( 240 + 95 = 335 \), dann die Ausgabe: \( 335 – 380 = -45 \) ✓. Antwort: Der Kassenstand beträgt \( -45\ \text{€} \) – es fehlen 45 €, die Kasse ist im Minus.
Aufgabe 3 – Trockenkammer (Multiplikation mit negativem Faktor). In der Trockenkammer beträgt die Temperatur \( +5\ ^\circ\text{C} \). Sie sinkt 4 Stunden lang pro Stunde um 3 Grad. Welche Temperatur wird danach gemessen?
| Ansatz | \( 5 + 4 \cdot (-3) \) |
| Punkt vor Strich | \( 4 \cdot (-3) = -12 \) (verschiedene Vorzeichen → negativ) |
| Endtemperatur | \( 5 + (-12) = -7 \) (also \( -7\ ^\circ\text{C} \)) |
Gegenprobe in Einzelschritten: \( 5 \rightarrow 2 \rightarrow -1 \rightarrow -4 \rightarrow -7 \) ✓ – genau vier Schritte um je 3 Grad nach unten. Antwort: Nach 4 Stunden werden \( -7\ ^\circ\text{C} \) gemessen.
Aufgabe 4 – gleichmäßige Absenkung (Division). Ein Prüfprogramm kühlt eine Probe in 6 gleich großen Schritten von \( 0\ ^\circ\text{C} \) auf \( -18\ ^\circ\text{C} \) ab. Um wie viel Grad sinkt die Temperatur pro Schritt?
| Ansatz | \( (-18) : 6 \) |
| Vorzeichenregel | verschiedene Vorzeichen → Ergebnis negativ |
| pro Schritt | \( -3 \) (3 Grad Absenkung je Schritt) |
Gegenprobe durch Umkehrung: \( 6 \cdot (-3) = -18 \) ✓. Antwort: Die Temperatur sinkt pro Schritt um 3 Grad, also jeweils um \( -3\ ^\circ\text{C} \).
8. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Vorzeichen und Rechenzeichen verwechselt. Ursache: In \( 6 – (-7) \) wird das Minus vor der Klammer übersehen und einfach \( 6 – 7 = -1 \) gerechnet. Vermeidung: Setze das Vorzeichen einer negativen Zahl immer in Klammern und löse die Klammer als eigenen, aufgeschriebenen Schritt auf: „minus minus wird plus“.
- Der Temperaturunterschied wird falsch herum gerechnet. Ursache: Es wird „Anfang minus Ende“ gerechnet, das Ergebnis wird negativ, obwohl es wärmer geworden ist. Vermeidung: Der Unterschied ist immer Endwert minus Anfangswert. Kontrolliere am Zahlenstrahl: Geht der Weg über die Null, werden die beiden Beträge addiert.
- Der Betrag wird negativ angegeben. Ursache: \( |-7| \) wird als \( -7 \) notiert, weil das Minuszeichen mitgeschrieben wird. Vermeidung: Der Betrag ist ein Abstand zur Null – und ein Abstand ist nie negativ. Es gilt \( |-7| = 7 \) und \( |+7| = 7 \).
- Beim Ordnen negativer Zahlen der Betrag verglichen. Ursache: Weil 7 größer als 3 ist, wird \( -7 > -3 \) geschrieben. Vermeidung: Auf dem Zahlenstrahl gilt immer: weiter rechts ist größer. Bei negativen Zahlen ist die Zahl mit dem größeren Betrag die kleinere Zahl, also \( -7 < -3 \).
- Die Vorzeichenregel bei mehreren Faktoren falsch angewendet. Ursache: Bei drei Faktoren wird pauschal „minus mal minus ist plus“ genommen, z. B. bei \( (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) \). Vermeidung: Arbeite Faktor für Faktor von links nach rechts. Hilfsregel: Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt ein positives, eine ungerade Anzahl ein negatives Ergebnis.
- Punkt vor Strich bei negativen Zahlen ignoriert. Ursache: In \( 5 + 4 \cdot (-3) \) wird zuerst \( 5 + 4 \) gerechnet. Vermeidung: Rechne die Multiplikation als eigene Zeile aus und setze das Teilergebnis in Klammern ein. Klammer vor Punkt vor Strich gilt für negative Zahlen genauso.
- Antwort ohne Einheit oder ohne Deutung. Ursache: Am Ende steht nur „\( -45 \)“. Vermeidung: Schreibe die Einheit dazu und sage in Worten, was die negative Zahl im Sachzusammenhang bedeutet – ein Minus in der Kasse, eine Temperatur unter dem Gefrierpunkt, eine Lage unter dem Meeresspiegel.
Weiterlernen
- Natürliche Zahlen – der Zahlenbereich, den die ganzen Zahlen gerade erweitert haben.
- Größen – Einheiten umrechnen, zum Beispiel bei Temperaturen und Geldbeträgen.
- Rationale Zahlen – der nächste Schritt: negative Zahlen treffen auf Brüche und Dezimalzahlen.
- Terme und Gleichungen – hier brauchst du die Rechenregeln für ganze Zahlen wieder.
✏️ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Erstelle dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zu Realschule Bayern und deiner Klasse. Kostenloses Konto erstellen und direkt testen.