Vertiefung des Integralbegriffs

Hilfsmittel-Hinweis (Bayern FOS/BOS): Die Idee der Ober-/Untersummen, die Eigenschaften der Integralfunktion und einfache uneigentliche Integrale sind hilfsmittelfrei zu verstehen und zu berechnen. Keine CAS-Befehle.

Man zerlegt das Intervall \([a;b]\) in \(n\) gleich breite Streifen der Breite \(\Delta x=\tfrac{b-a}{n}\) und nähert die Fläche durch Rechtecke an:

• Untersumme \(U_n\): Rechtecke unter dem Graphen (kleinster Wert je Streifen).
• Obersumme \(O_n\): Rechtecke über dem Graphen (größter Wert je Streifen).

Es gilt stets \(U_n\le A\le O_n\). Für \(n\to\infty\) (\(\Delta x\to0\)) streben beide gegen denselben Wert – das bestimmte Integral:

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}U_n=\lim_{n\to\infty}O_n=\int_a^b f(x)\,dx\)

Lässt man die obere Grenze variabel, entsteht die Integralfunktion zur unteren Grenze \(a\):

\(\displaystyle I_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt\)

• \(I_a(a)=0\)  (Fläche über einem Punkt ist null).
• Hauptsatz: \(I_a'(x)=f(x)\) – die Integralfunktion ist eine Stammfunktion von \(f\).
• \(I_a\) ist die Stammfunktion mit der Nullstelle bei \(x=a\).

Beispiel. \(f(t)=t\), untere Grenze \(a=0\): \(\displaystyle I_0(x)=\int_0^x t\,dt=\tfrac{1}{2}x^{2}\). Kontrolle: \(I_0′(x)=x=f(x)\) ✓, \(I_0(0)=0\) ✓.

Reicht der Integrationsbereich ins Unendliche (oder liegt eine Polstelle am Rand), definiert man das Integral über einen Grenzwert:

\(\displaystyle\int_a^{\infty} f(x)\,dx=\lim_{z\to\infty}\int_a^{z} f(x)\,dx\)

• Existiert der Grenzwert (endlich), heißt das Integral konvergent.
• Existiert er nicht (\(\pm\infty\)), heißt es divergent.

Beispiel A – konvergent. \(\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx\)

Beispiel B – divergent. \(\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{z\to\infty}\big[\ln x\big]_1^{z}=\lim_{z\to\infty}\ln(z)=\infty\) ⇒ divergent.