Bestimmtes Integral und Flächen
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Analysis (Technik und Nichttechnik)
Die Stammfunktion aus dem vorigen Kapitel hat einen handfesten Nutzen: Mit ihr berechnen Sie Flächeninhalte zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse. Das Werkzeug dafür ist das bestimmte Integral.
1 Das bestimmte Integral (Hauptsatz)
Hauptsatz. Ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\), so gilt für das bestimmte Integral über \([a;b]\):
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\bigl[\,F(x)\,\bigr]_a^b=F(b)-F(a)\)
Liegt der Graph im Intervall oberhalb der \(x\)-Achse, ist dieser Wert direkt der Flächeninhalt.
Stufe 2 · hilfsmittelfreiFläche oberhalb der \(x\)-Achse
Beispiel A. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen \(f(x)=x^{2}\), der \(x\)-Achse und den Geraden \(x=0\) und \(x=3\).
| \(A=\displaystyle\int_0^3 x^{2}\,dx=\Bigl[\tfrac13x^{3}\Bigr]_0^3\) | Stammfunktion |
| \(=\tfrac13\cdot 27-\tfrac13\cdot 0=9\) |
Der Flächeninhalt beträgt \(9\) Flächeneinheiten.
2 Flächenbilanz ist nicht Flächeninhalt
Liegt der Graph teilweise unterhalb der \(x\)-Achse, liefert das Integral dort einen negativen Beitrag. Man unterscheidet:
- Flächenbilanz = \(\displaystyle\int_a^b f\,dx\): Flächen oberhalb zählen positiv, unterhalb negativ – sie können sich aufheben.
- Flächeninhalt: die tatsächliche Fläche. Dazu an den Nullstellen zerlegen und die Beträge der Teilintegrale addieren.
Beispiel B. Betrachten Sie \(f(x)=x^{3}-4x\) über \([-2;\,2]\).
1. Nullstellen (die Zerlegungsstellen)
| \(x^{3}-4x=x(x^{2}-4)=0 \Rightarrow x=-2,\ 0,\ 2\) |
2. Flächenbilanz über das ganze Intervall
| \(\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^{3}-4x)\,dx=\Bigl[\tfrac14x^{4}-2x^{2}\Bigr]_{-2}^{2}=0\) | symmetrisch → hebt sich auf |
Die Bilanz ist \(0\) – aber die Fläche ist natürlich nicht null!
3. Flächeninhalt: Teilstücke mit Betrag
| \(\displaystyle\int_{0}^{2}(x^{3}-4x)\,dx=\Bigl[\tfrac14x^{4}-2x^{2}\Bigr]_{0}^{2}=4-8=-4\) | unterhalb |
| \(A=\bigl|{-4}\bigr|+\bigl|{-4}\bigr|=8\) | beide Lappen gleich groß |
Der Flächeninhalt beträgt \(8\) Flächeneinheiten (linker Lappen \(A_1=4\), rechter \(A_2=4\)).
3 Fläche zwischen zwei Graphen
Stufe 3 · Ausbau„Obere minus untere Funktion“
Fläche zwischen \(f\) und \(g\). Mit \(f(x)\ge g(x)\) im betrachteten Bereich:
\(\displaystyle A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\)
Die Grenzen \(a,b\) sind die Schnittstellen von \(f\) und \(g\). Ein gemeinsamer konstanter Anteil fällt bei der Differenz weg.
Beispiel C. Welche Fläche schließen \(f(x)=-x^{2}+4\) und \(g(x)=x+2\) ein?
1. Schnittstellen (Grenzen)
| \(-x^{2}+4=x+2 \Rightarrow x^{2}+x-2=0\) | gleichsetzen |
| \(\Rightarrow x_1=-2,\ x_2=1\) |
2. Differenzfunktion (oben minus unten)
| \(d(x)=f(x)-g(x)=-x^{2}-x+2\) | Parabel liegt oben |
3. Integrieren
| \(A=\displaystyle\int_{-2}^{1}(-x^{2}-x+2)\,dx=\Bigl[-\tfrac13x^{3}-\tfrac12x^{2}+2x\Bigr]_{-2}^{1}\) | |
| \(=\tfrac{7}{6}-\bigl(-\tfrac{10}{3}\bigr)=\tfrac{27}{6}=4{,}5\) |
Die eingeschlossene Fläche beträgt \(4{,}5\) Flächeneinheiten.
4 Anwendung: Fläche als Gesamtmenge
Stufe 4 · mit HilfsmittelIntegral einer Rate = angesammelte Menge
Beispiel D. Wasser fließt mit der Rate \(r(t)=2\,e^{-0{,}5t}\) (in Litern pro Stunde) in einen Behälter. Welche Wassermenge fließt in den ersten \(4\) Stunden insgesamt zu? Die Gesamtmenge ist die Fläche unter der Ratenkurve.
| \(\displaystyle\int_0^4 2\,e^{-0{,}5t}\,dt=\Bigl[-4\,e^{-0{,}5t}\Bigr]_0^4\) | Stammfunktion |
| \(=-4e^{-2}-(-4e^{0})=4-4e^{-2}\approx 3{,}46\) |
In den ersten \(4\) Stunden fließen rund \(3{,}46\) Liter zu. (Dasselbe Ergebnis liefert \(B(4)-B(0)\) mit der Bestandsfunktion aus dem vorigen Kapitel – Fläche und Bestandsänderung sind dasselbe.)
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Bei einer Fläche unter der \(x\)-Achse das negative Integral als Flächeninhalt angeben.
✓ Richtig
Flächeninhalte sind positiv – unterhalb der Achse den Betrag nehmen.
✗ Falsch
Über ein Intervall mit Vorzeichenwechsel „in einem Rutsch“ integrieren.
✓ Richtig
An den Nullstellen zerlegen und die Beträge der Teilintegrale addieren.
✗ Falsch
Bei zwei Graphen \(g-f\) statt \(f-g\) rechnen und ein negatives Ergebnis erhalten.
✓ Richtig
Immer obere minus untere Funktion; im Zweifel den Betrag des Integrals nehmen.
✗ Falsch
Die Schnittstellen als Grenzen vergessen und feste Zahlen raten.
✓ Richtig
Die Integrationsgrenzen sind die Schnittstellen – zuerst \(f(x)=g(x)\) lösen.
Auf einen Blick
- Hauptsatz: \(\int_a^b f\,dx=F(b)-F(a)\).
- Bilanz vs. Inhalt: Flächeninhalt = an Nullstellen zerlegen, Beträge addieren.
- Zwischen zwei Graphen: \(A=\int_a^b(\text{oben}-\text{unten})\,dx\), Grenzen = Schnittstellen.
- Anwendung: Integral einer Rate = angesammelte Gesamtmenge.
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Trainieren Sie das bestimmte Integral, Flächenbilanz und Flächeninhalt sowie Flächen zwischen zwei Graphen – mit Polynomen und e-Funktionen für die FOS/BOS 12 Bayern.