Stammfunktion und unbestimmtes Integral
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Analysis (Technik und Nichttechnik)
Bisher sind Sie von einer Funktion \(f\) zu ihrer Ableitung \(f’\) gegangen. Die Integralrechnung geht den umgekehrten Weg: Gesucht ist eine Funktion \(F\) mit \(F’=f\). Sie heißt Stammfunktion. Wie eng Stammfunktion und Ausgangsfunktion zusammenhängen, zeigt die NEW-Regel – das Herzstück dieser Seite.
1 Stammfunktion und Integrationskonstante
Stammfunktion. \(F\) ist Stammfunktion von \(f\), wenn \(F'(x)=f(x)\). Aufleiten ist die Umkehrung des Ableitens.
Dieser Zusammenhang steckt schon im Graphen: Die Steigung von \(F\) ist an jeder Stelle der Funktionswert von \(f\). Wo \(f\) negativ ist, fällt \(F\); wo \(f\) positiv ist, steigt \(F\); und wo \(f\) eine Nullstelle (mit Vorzeichenwechsel) hat, hat \(F\) eine waagerechte Tangente – also einen Extrempunkt.
Beim Ableiten fällt jede Konstante weg. Verschiebt man \(F\) senkrecht, ändert sich die Steigung an keiner Stelle – die verschobene Kurve hat also dieselbe Ableitung \(f\) und ist ebenfalls Stammfunktion. Jede Funktion besitzt daher unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um die Integrationskonstante \(C\) unterscheiden.
\(\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C\qquad(\text{unbestimmtes Integral})\)
2 Die Aufleitregeln
| Regel | Formel |
|---|---|
| Potenzregel | \(\displaystyle\int x^{n}\,dx=\tfrac{1}{n+1}\,x^{n+1}+C\quad(n\neq-1)\) |
| Faktor-/Summenregel | \(\displaystyle\int a\,f\,dx=a\!\int f\,dx\ ,\quad \int (f+g)\,dx=\int f\,dx+\int g\,dx\) |
| e-Funktion | \(\displaystyle\int e^{x}\,dx=e^{x}+C\ ,\qquad \int e^{ax}\,dx=\tfrac{1}{a}\,e^{ax}+C\) |
Stufe 2 · hilfsmittelfreiAufleiten und prüfen
Beispiel A (Polynom). \(f(x)=x^{2}-4\).
| \(F(x)=\tfrac13x^{3}-4x+C\) | termweise |
| Probe: \(F'(x)=x^{2}-4=f(x)\) ✓ |
Beispiel B (e-Funktion). \(g(x)=e^{2x}\Rightarrow G(x)=\tfrac12e^{2x}+C\). Probe: \(G'(x)=\tfrac12\cdot2\,e^{2x}=e^{2x}\) ✓
Stufe 3 · AusbauIntegrationskonstante bestimmen
Beispiel C. Gesucht ist die Stammfunktion \(F\) von \(h(x)=e^{0{,}25x}\) mit \(F(0)=1\).
| \(F(x)=\tfrac{1}{0{,}25}e^{0{,}25x}+C=4\,e^{0{,}25x}+C\) | |
| \(F(0)=4\,e^{0}+C=4+C\stackrel{!}{=}1\) | Bedingung |
| \(\Rightarrow C=-3\Rightarrow F(x)=4\,e^{0{,}25x}-3\) |
3 Die NEW-Regel: Zusammenhang zwischen \(F\) und \(f\)
Aus der Kurvendiskussion wissen Sie, wie \(f\) und \(f’\) zusammenhängen. Dasselbe gilt eine „Stufe höher“ zwischen \(F\) und \(f\). Die NEW-Regel fasst das für Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen kompakt zusammen:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| \(F(x)\) | N | E | W | |||
| \(f(x)\) | N | E | W | |||
| \(f'(x)\) | N | E | W | |||
| \(f“(x)\) | N | E | W |
Jede Zeile ist gegenüber der oberen um eine Spalte verschoben. Liest man eine Spalte von unten nach oben, wird aus einer Nullstelle eine Extremstelle und daraus eine Wendestelle.
Ablesen für die Stammfunktion. Ist \(F\) Stammfunktion von \(f\), dann gilt:
- \(x_0\) Nullstelle von \(f\) mit Vorzeichenwechsel ⇔ \(x_0\) Extremstelle von \(F\)
- \(x_0\) Nullstelle von \(f\) ohne Vorzeichenwechsel ⇔ \(x_0\) Terrassenstelle von \(F\)
- \(x_0\) Extremstelle von \(f\) ⇔ \(x_0\) Wendestelle von \(F\)
Stufe 3 · Anwendung der NEW-RegelOhne Rechnung auf die Form von \(F\) schließen
Beispiel D. Gegeben ist \(f(x)=x^{2}-4\). Wo hat eine Stammfunktion \(F\) Extrem- und Wendestellen? Bestimmen Sie es zuerst mit der NEW-Regel – und bestätigen Sie es dann rechnerisch.
Mit der NEW-Regel (aus dem Graphen von \(f\))
- \(f\) hat Nullstellen bei \(x=-2\) und \(x=2\) (jeweils mit VZW) → \(F\) hat dort Extremstellen.
- \(f\) hat eine Extremstelle (Minimum) bei \(x=0\) → \(F\) hat dort eine Wendestelle.
Rechnerische Bestätigung
| \(F(x)=\tfrac13x^{3}-4x+C\ \Rightarrow\ F'(x)=x^{2}-4=0\Rightarrow x=\pm2\) | Extremstellen |
| \(F“(x)=2x=0\Rightarrow x=0\) | Wendestelle |
Genau wie mit der NEW-Regel vorhergesagt – das Schema erspart Ihnen bei Graph-Aufgaben oft die ganze Rechnung.
4 Anwendung: von der Rate zum Bestand
Stufe 4 · mit HilfsmittelAufleiten rekonstruiert den Bestand
Beispiel E. Ein Regenrückhaltebecken enthält zu Beginn \(5\ \text{m}^3\) Wasser. Der Zufluss (in \(\text{m}^3\) pro Stunde) beträgt \(r(t)=4-0{,}5t\) für \(t\in[0;\,8]\). Bestimmen Sie den Bestand \(B(t)\) und den Wert nach \(8\) Stunden.
Bestand = Stammfunktion der Zuflussrate
| \(B(t)=\displaystyle\int (4-0{,}5t)\,dt=4t-0{,}25t^{2}+C\) | |
| \(B(0)=5\Rightarrow C=5\) | Anfangsbestand |
| \(B(t)=4t-0{,}25t^{2}+5\) |
Bestand nach 8 Stunden
\(B(8)=32-16+5=21\). Nach \(8\) Stunden enthält das Becken \(21\ \text{m}^3\). (Wegen \(r(8)=0\) ist dort zugleich der höchste Bestand im Intervall – NEW-Regel: Nullstelle von \(r\) mit VZW = Extremstelle von \(B\).)
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Beim unbestimmten Integral \(+C\) vergessen.
✓ Richtig
Jedes unbestimmte Integral endet mit \(+C\).
✗ Falsch
\(\displaystyle\int e^{ax}\,dx=e^{ax}+C\) (ohne \(\tfrac1a\)).
✓ Richtig
Durch die innere Ableitung teilen: \(\tfrac1a e^{ax}+C\).
✗ Falsch
NEW-Regel falsch herum: Extremstelle von \(f\) als Extremstelle von \(F\).
✓ Richtig
Eine Stufe höher: Extremstelle von \(f\) ⇔ Wendestelle von \(F\); Nullstelle (mit VZW) von \(f\) ⇔ Extremstelle von \(F\).
✗ Falsch
Bei „ohne Vorzeichenwechsel“ trotzdem eine Extremstelle von \(F\) annehmen.
✓ Richtig
Nullstelle von \(f\) ohne VZW ergibt eine Terrassenstelle von \(F\), keinen Hoch-/Tiefpunkt.
Auf einen Blick
- Stammfunktion: \(F’=f\); unbestimmtes Integral \(\int f\,dx=F+C\) (\(+C\) nie vergessen).
- Regeln: Potenz \(\tfrac1{n+1}x^{n+1}\), Faktor, Summe, \(\int e^{ax}dx=\tfrac1a e^{ax}+C\).
- NEW-Regel: Nullstelle (mit VZW) von \(f\) ⇔ Extremstelle von \(F\); Extremstelle von \(f\) ⇔ Wendestelle von \(F\).
- Probe: \(F\) ableiten → muss \(f\) ergeben; \(C\) aus der Anfangsbedingung.
Jetzt üben
Trainieren Sie Stammfunktionen, die NEW-Regel und die Integrationskonstante – mit Polynomen und e-Funktionen für die FOS/BOS 12 Bayern.