Mathematik Wirtschaftsschule Bayern · Klasse 9 · Lernbereich „Funktionaler Zusammenhang“ (LehrplanPLUS) · BY
Exponentialfunktionen: Wachstum und Zerfall
Exponentielles Wachstum bedeutet: In gleichen Zeitschritten wird immer mit demselben Faktor multipliziert. So beschreibt man Bevölkerungswachstum, Zinseszins oder den Zerfall – Vorgänge, die sich beschleunigen oder abklingen.
1. Die Funktionsgleichung
Eine Exponentialfunktion hat die Form:
\( f(x)=b\cdot a^x \)
\( b \) ist der Startwert (bei \( x=0 \)), \( a \) der Wachstumsfaktor. Ist \( a>1 \): Wachstum. Ist \( 0 Ein Kapital von 1000 € wächst jährlich um 5 % (\( a=1,05 \)). Wert nach 8 Jahren? Bei Abnahme um einen festen Prozentsatz ist \( a<1 \). Beispiel: Eine Maschine verliert jährlich 15 % an Wert, also \( a=0,85 \). Exponentielles Wachstum ist die Grundlage des Zinseszinses (Klasse 10). Auch Wertverlust (Abschreibung), Bevölkerung oder Bakterienwachstum werden so beschrieben. ✗ Falsch: Wachstumsfaktor \( a \) als Prozentsatz statt als Faktor: \( a=5 \) bei 5 %. ✓ Richtig: \( a=1,05 \) bei 5 % Wachstum, \( a=0,85 \) bei 15 % Abnahme. Tipp: Faktor = 1 ± Prozentsatz als Dezimalzahl. ✗ Falsch: Exponentielles mit linearem Wachstum verwechselt (immer gleicher Betrag statt gleicher Faktor). ✓ Richtig: Exponentiell: mal gleichem Faktor. Linear: plus gleichem Betrag. Tipp: „Um X Prozent“ = exponentiell, „um X Euro“ = linear. ✐ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator Berechnen Sie Wachstum und Zerfall mit Exponentialfunktionen – mit Schaubild und Lösungsweg, passend zur Wirtschaftsschule Klasse 9.2. Wachstum berechnen
Musterbeispiel
\( f(x)=1000\cdot 1,05^x \)
\( f(8)=1000\cdot 1,05^8 \approx 1000\cdot 1,4775 = 1477,50\,\text{€} \)3. Zerfall
4. So wird es gebraucht
5. Typische Fehler
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