Mathematik Wirtschaftsschule Bayern · Klasse 9 · Lernbereich „Daten und Zufall“ (LehrplanPLUS) · BY
Wahrscheinlichkeit: Mehrstufige Zufallsexperimente
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten (z. B. zweimal ziehen) hilft ein Baumdiagramm. Mit den Pfadregeln berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit – ein fester Bestandteil der Abschlussprüfung.
- Das Baumdiagramm
- 1. Pfadregel (Produktregel)
- 2. Pfadregel (Summenregel)
- So wird es gebraucht
- Typische Fehler
1. Das Baumdiagramm
Jede Stufe des Experiments wird als Verzweigung gezeichnet. An jeden Ast schreibt man die Wahrscheinlichkeit. Beispiel: An einem Gewinnstand trifft man mit \( 11\% \) (T = Treffer, NT = kein Treffer).
2. Pfadregel (Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades (eine bestimmte Abfolge) ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
Musterbeispiel
Wahrscheinlichkeit für zweimal Treffer (T, T):
\( P(TT)=0,11\cdot 0,11 = 0,0121 \approx 1,2\% \)
3. Pfadregel (Summenregel)
Gehören zu einem Ereignis mehrere Pfade, addiert man deren Wahrscheinlichkeiten.
Musterbeispiel
Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer (T,NT oder NT,T):
\( P(TN)=0,11\cdot 0,89 \) und \( P(NT)=0,89\cdot 0,11 \)
\( P=2\cdot 0,11\cdot 0,89 = 0,1958 \approx 19,6\% \)
4. So wird es gebraucht
In der Prüfung soll man oft ein Baumdiagramm zeichnen und dann Wahrscheinlichkeiten wie „mindestens ein Treffer“ oder „genau zwei Treffer“ berechnen. Der Trick bei „mindestens ein“: über das Gegenereignis „kein Treffer“ rechnen.
5. Typische Fehler
✗ Falsch:
Bei mehreren Pfaden multipliziert statt addiert.
✓ Richtig:
Entlang eines Pfades multiplizieren, zwischen verschiedenen Pfaden addieren.
Tipp: „Und“ = mal, „Oder“ = plus.
✗ Falsch:
Bei „mindestens ein Treffer“ alle Pfade einzeln addiert (fehleranfällig).
✓ Richtig:
Über das Gegenereignis: \( P(\text{mind. 1}) = 1 – P(\text{kein Treffer}) \).
Tipp: \( 1 – 0,89\cdot 0,89 \) ist schneller als alle Pfade zu addieren.
Weiterlernen
✐ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Zeichnen Sie Baumdiagramme und berechnen Sie Wahrscheinlichkeiten mit den Pfadregeln – mit Diagramm und Lösungsweg, passend zur Wirtschaftsschule Klasse 9.