Mathematik Realschule Bayern · Klasse 8 · Lernbereich 2 „Drehung“ (LehrplanPLUS, Mathematik I, 6 Std., Gegenstandsbereich Raum und Form) · BY

Drehung und Punktspiegelung: Figuren um einen Punkt drehen

Ein Zahnrad, ein Windrad, ein Karussell, eine Schraube, ein gedrechseltes Tischbein: Überall dreht sich etwas um einen festen Punkt. In der Geometrie heißt dieser feste Punkt Drehzentrum, und die Bewegung selbst ist eine Drehung. Sie ist – wie die Achsenspiegelung und die Parallelverschiebung, die du schon kennst – eine Kongruenzabbildung: Die Bildfigur ist deckungsgleich mit der Originalfigur, sie liegt nur woanders. Auf dieser Seite lernst du, eine Drehung mit Zirkel und Geodreieck zu konstruieren, ihre Eigenschaften zu begründen, die Punktspiegelung als Sonderfall zu erkennen, dreh- und punktsymmetrische Figuren zu untersuchen und Punktkoordinaten über gedrehte Vektoren zu berechnen.

Inhalt dieser Seite

1. Was eine Drehung ist: Drehzentrum, Drehwinkel, Drehsinn
2. Einen Punkt drehen – die Konstruktion mit Zirkel und Geodreieck
3. Figuren drehen und die Eigenschaften der Drehung
4. Die Punktspiegelung als Drehung um 180°
5. Dreh- und punktsymmetrische Figuren untersuchen
6. Vektoren drehen und Punktkoordinaten berechnen
7. Das Wichtigste in Kürze

1. Was eine Drehung ist: Drehzentrum, Drehwinkel, Drehsinn

Eine Drehung ist durch zwei Angaben vollständig festgelegt: durch das Drehzentrum \( Z \) und durch den Drehwinkel \( \varphi \). Der Drehwinkel bekommt zusätzlich ein Vorzeichen, das den Drehsinn angibt:

Man schreibt die Abbildung kurz als \( D(Z;\varphi) \). Der Bildpunkt eines Punktes \( P \) heißt \( P\‘ \) (gesprochen „P Strich“).

Der entscheidende Gedanke: Bei einer Drehung bleibt jeder Punkt gleich weit vom Drehzentrum entfernt. Jeder Punkt wandert also auf einem Kreis um \( Z \) – jeder auf seinem eigenen, aber alle um denselben Winkel.

Die Strecken \( \overline{ZA} \) und \( \overline{ZA\‘} \) sind gleich lang – das gilt für jeden Punkt.

Ein Punkt bleibt bei der Drehung immer an Ort und Stelle: das Drehzentrum selbst. Es ist der einzige Fixpunkt der Drehung (außer bei \( \varphi = 0^\circ \) oder \( \varphi = 360^\circ \), wo sich gar nichts bewegt).

2. Einen Punkt drehen – die Konstruktion mit Zirkel und Geodreieck

Aus der Definition folgt die Konstruktion unmittelbar: Der Bildpunkt muss auf dem Kreis um \( Z \) durch \( P \) liegen (dabei hilft der Zirkel), und er muss auf dem um \( \varphi \) gedrehten Strahl liegen (dabei hilft das Geodreieck).

Aufgabe: Gegeben sind \( Z(0\,|\,0) \) und \( P(4\,|\,0) \). Konstruiere den Bildpunkt \( P\‘ \) bei der Drehung \( D(Z;\,60^\circ) \).

Konstruktionsbeschreibung

1. Zeichne den Strahl \( [ZP \) – er ist der erste Schenkel des Drehwinkels.
2. Stich den Zirkel in \( Z \) ein, nimm die Zirkelöffnung \( \overline{ZP} = 4\ \text{cm} \) und schlage den Kreisbogen \( k \) um \( Z \) durch \( P \). Auf diesem Bogen muss \( P\‘ \) liegen.
3. Lege das Geodreieck mit dem Mittelpunkt seiner Winkelskala auf \( Z \) und mit der Grundlinie auf den Strahl \( [ZP \). Trage von \( [ZP \) aus \( 60^\circ \) gegen den Uhrzeigersinn ab und zeichne den zweiten Schenkel \( [ZQ \).
4. Der Schnittpunkt des Kreisbogens \( k \) mit dem zweiten Schenkel ist der gesuchte Bildpunkt \( P\‘ \).

Planfigur mit Zirkelbogen: \( P\‘ \) ist der Schnittpunkt von Kreisbogen und zweitem Winkelschenkel.

Die Zeichnung rechnerisch prüfen

Ob die Konstruktion stimmt, kannst du mit den Winkelfunktionen nachrechnen. Liegt \( P \) im Abstand \( r \) vom Ursprung auf der positiven \( x \)-Achse, so hat der um \( \varphi \) gedrehte Punkt die Koordinaten \( P\'(r \cdot \cos\varphi \,|\, r \cdot \sin\varphi) \):

Beides passt: Der Bildpunkt ist genau 4 cm vom Drehzentrum entfernt – wie das Original – und der Winkel zwischen den beiden Strahlen beträgt genau \( 60^\circ \). In der Zeichnung liest du \( P\'(2\,|\,3{,}46) \) ab, das ist derselbe Punkt.

Zwei häufige Fehler bei der Konstruktion: Erstens wird der Winkel in statt gegen den Uhrzeigersinn abgetragen – dann läge \( P\‘ \) bei \( (2\,|\,-3{,}46) \). Zweitens wird die Zirkelöffnung zwischendurch verändert; dann stimmt der Abstand nicht mehr und die Abbildung ist keine Drehung.

3. Figuren drehen und die Eigenschaften der Drehung

Eine ganze Figur drehst du, indem du jeden Eckpunkt einzeln drehst und die Bildpunkte anschließend genauso verbindest wie die Originalpunkte. Mehr ist es nicht.

Aufgabe: Drehe das Dreieck \( ABC \) mit \( A(2\,|\,1) \), \( B(5\,|\,1) \), \( C(5\,|\,3) \) um \( Z(0\,|\,0) \) mit \( \varphi = +90^\circ \).

Konstruktionsbeschreibung

1. Zeichne die Strahlen \( [ZA \), \( [ZB \) und \( [ZC \).
2. Schlage mit dem Zirkel um \( Z \) je einen Kreisbogen durch \( A \), durch \( B \) und durch \( C \) – drei verschiedene Radien.
3. Trage mit dem Geodreieck an jeden Strahl \( 90^\circ \) gegen den Uhrzeigersinn an.
4. Markiere die Schnittpunkte als \( A\‘ \), \( B\‘ \), \( C\‘ \) und verbinde sie in derselben Reihenfolge zum Dreieck \( A\’B\’C\‘ \).

Die gestrichelten Kreisbögen zeigen den Weg von \( A \) nach \( A\‘ \) und von \( C \) nach \( C\‘ \).

Kontrolle mit den Winkelfunktionen am Punkt \( A \): Der Strahl \( [ZA \) schließt mit der \( x \)-Achse den Winkel \( \alpha \) mit \( \tan\alpha = \frac{1}{2} = 0{,}5 \), also \( \alpha = 26{,}57^\circ \) ein. Für \( A\'(-1\,|\,2) \) liegt der Strahl im II. Quadranten; dort gilt \( \tan\alpha\‘ = \frac{2}{-1} \) und damit \( \alpha\‘ = 180^\circ – 63{,}43^\circ = 116{,}57^\circ \). Die Differenz ist \( 116{,}57^\circ – 26{,}57^\circ = 90^\circ \) ✓.

Die Eigenschaften der Drehung

An der Zeichnung und an den Zahlen kannst du alle Eigenschaften ablesen:

Der letzte Punkt ist der wichtige Unterschied zur Achsenspiegelung: Diese kehrt den Umlaufsinn um, sie ist gegensinnig. Deshalb kannst du eine Achsenspiegelung niemals durch eine Drehung ersetzen – und genau daran erkennst du in einer Aufgabe, welche Abbildung vorliegt. Verkettest du dagegen zwei Achsenspiegelungen an sich schneidenden Achsen, so kehrt sich der Umlaufsinn zweimal um, bleibt also erhalten: Das Ergebnis ist wieder eine Drehung um den Schnittpunkt der Achsen, und zwar um den doppelten Winkel zwischen ihnen.

4. Die Punktspiegelung als Drehung um 180°

Nimm den Drehwinkel \( \varphi = 180^\circ \). Dann liegen \( P \), \( Z \) und \( P\‘ \) auf einer Geraden, und \( Z \) liegt genau in der Mitte zwischen \( P \) und \( P\‘ \). Diese besondere Drehung hat einen eigenen Namen: Punktspiegelung am Punkt \( Z \), kurz \( S_Z \). Das Drehzentrum heißt dann Spiegelzentrum oder Symmetriezentrum.

Beim Winkel \( 180^\circ \) spielt der Drehsinn keine Rolle: \( +180^\circ \) und \( -180^\circ \) liefern denselben Bildpunkt. Deshalb brauchst du bei der Punktspiegelung kein Vorzeichen.

Aufgabe: Spiegle \( P(4\,|\,3) \) am Punkt \( Z(1\,|\,1) \).

Konstruktionsbeschreibung

1. Zeichne die Gerade \( PZ \) und verlängere sie mit dem Geodreieck über \( Z \) hinaus.
2. Stich den Zirkel in \( Z \) ein und nimm die Öffnung \( \overline{ZP} \).
3. Schlage den Kreisbogen um \( Z \); sein Schnittpunkt mit der Verlängerung von \( \overline{PZ} \) ist der Bildpunkt \( P\‘ \).
4. Probe: \( Z \) muss der Mittelpunkt der Strecke \( \overline{PP\‘} \) sein.

Der Zirkelbogen ist hier ein Halbkreis – \( P \), \( Z \) und \( P\‘ \) liegen auf einer Geraden.

Rechnerische Kontrolle über die Mitte: \( Z \) ist Mittelpunkt von \( \overline{PP\‘} \), also gilt \( Z\left(\frac{4 + (-2)}{2} \,\middle|\, \frac{3 + (-1)}{2}\right) = Z(1\,|\,1) \) ✓. Aus dieser Bedingung folgt direkt die Abbildungsvorschrift der Punktspiegelung an \( Z(z_1\,|\,z_2) \):

Probe: \( x\‘ = 2 \cdot 1 – 4 = -2 \) und \( y\‘ = 2 \cdot 1 – 3 = -1 \) ✓. Liegt das Zentrum im Ursprung, vereinfacht sich das zu \( P(x\,|\,y) \mapsto P\'(-x\,|\,-y) \) – du kehrst also einfach beide Vorzeichen um.

Eine ganze Figur punktspiegeln

Auch hier spiegelst du jeden Eckpunkt einzeln. Beispiel: Dreieck \( ABC \) mit \( A(2\,|\,1) \), \( B(5\,|\,2) \), \( C(3\,|\,4) \), Spiegelzentrum \( Z(1\,|\,1) \).

Jede Verbindungsstrecke \( \overline{XX\‘} \) geht durch \( Z \); jede Bildstrecke ist parallel zur Originalstrecke.

Eine Besonderheit der Punktspiegelung, die die Drehung um andere Winkel nicht hat: Jede Bildstrecke ist zur zugehörigen Originalstrecke parallel, zeigt aber in die Gegenrichtung. Und: Führst du die Punktspiegelung zweimal hintereinander aus, landest du wieder beim Original, denn \( 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ \). Die Punktspiegelung ist also ihre eigene Umkehrabbildung.

5. Dreh- und punktsymmetrische Figuren untersuchen

Bisher hast du eine Figur genommen und ein Bild davon erzeugt. Jetzt drehst du die Frage um: Gibt es einen Drehwinkel, bei dem eine Figur auf sich selbst abgebildet wird? Wenn ja, heißt die Figur drehsymmetrisch. Der zugehörige Punkt ist ihr Drehzentrum, der kleinste passende Winkel ihr Drehwinkel.

Der kleinste Drehwinkel ist bei einer \( n \)-zähligen Drehsymmetrie immer

Dabei ist \( n \) die Zähligkeit: Sie gibt an, wie oft die Figur bei einer vollen Umdrehung mit sich zur Deckung kommt. Alle Vielfachen von \( \varphi \) sind dann ebenfalls Drehwinkel der Figur.

Das Windrad zeigt: Drehsymmetrie und Achsensymmetrie sind zwei verschiedene Dinge.

Und die Punktsymmetrie? Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn sie durch eine Drehung um genau \( 180^\circ \) auf sich selbst fällt. Das ist also nichts anderes als eine Drehsymmetrie, bei der \( 180^\circ \) unter den Drehwinkeln vorkommt. Und das ist genau dann der Fall, wenn die Zähligkeit \( n \) gerade ist:

So findest du Drehzentrum und Drehwinkel einer Figur: (1) Zähle, wie viele gleiche Teile die Figur bei einer vollen Umdrehung hat – das ist \( n \). (2) Rechne \( \varphi = 360^\circ : n \). (3) Das Drehzentrum ist der Punkt, in dem sich alle Verbindungsstrecken zusammengehörender Punkte treffen; bei regelmäßigen Vielecken ist es der Mittelpunkt des Umkreises.

Aus der Werkstatt: Das Holzwerk Brandl fertigt eine sechseckige Tischplatte mit einem Lochkreis für sechs Streben. Weil die Platte 6-zählig drehsymmetrisch ist, müssen die Bohrungen um jeweils \( 360^\circ : 6 = 60^\circ \) versetzt auf dem Lochkreis sitzen. Wird nur eine Bohrung um wenige Grad falsch gesetzt, wackelt der fertige Tisch – die Drehsymmetrie ist dann zerstört. Ein gedrechseltes Tischbein dagegen ist um jeden Winkel drehsymmetrisch: Sein Querschnitt ist ein Kreis. Genau deshalb lässt es sich überhaupt drechseln.

6. Vektoren drehen und Punktkoordinaten berechnen

Für die drei „schönen“ Drehwinkel \( \varphi = +90^\circ \), \( \varphi = -90^\circ \) und \( \varphi = 180^\circ \) brauchst du gar nicht zu konstruieren: Du kannst die Koordinaten direkt hinschreiben. Am einfachsten geht das mit Vektoren.

Drehst du den Vektor \( \vec{v} = \binom{x}{y} \) um den Ursprung, so entsteht:

Merkhilfe für \( +90^\circ \): Koordinaten tauschen, dann das Vorzeichen der neuen ersten Koordinate umkehren. Bei \( -90^\circ \) tauschst du ebenfalls, kehrst aber das Vorzeichen der neuen zweiten Koordinate um.

Alle vier Pfeile sind gleich lang: \( |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \).

Kontrolle mit den Winkelfunktionen: Für \( \varphi = 90^\circ \) ist \( \cos 90^\circ = 0 \) und \( \sin 90^\circ = 1 \). Mit \( x\‘ = x\cos\varphi – y\sin\varphi \) und \( y\‘ = x\sin\varphi + y\cos\varphi \) folgt \( x\‘ = 3 \cdot 0 – 1 \cdot 1 = -1 \) und \( y\‘ = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 3 \), also \( \binom{-1}{3} \) ✓ – genau die Regel „tauschen und Vorzeichen umkehren“. Die Länge stimmt ebenfalls: \( \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10} \) ✓.

Punktkoordinaten bei beliebigem Drehzentrum berechnen

Liegt das Drehzentrum nicht im Ursprung, gehst du in drei Schritten vor: Verbindungsvektor bilden, Vektor drehen, wieder an das Zentrum anhängen.

Aufgabe: Drehe \( Q(5\,|\,2) \) um \( Z(2\,|\,1) \) mit \( \varphi = +90^\circ \).

Probe: \( \overline{ZQ} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \) und \( \overline{ZQ\‘} = \sqrt{(1-2)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \) ✓. Auch der Winkel stimmt: Die beiden Vektoren \( \binom{3}{1} \) und \( \binom{-1}{3} \) stehen senkrecht aufeinander, denn \( 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = 0 \) ✓.

Dasselbe Verfahren mit \( 180^\circ \) führt genau auf die Punktspiegelungsformel aus Kapitel 4 zurück: \( \overrightarrow{ZP} = \binom{x – z_1}{y – z_2} \) wird zu \( \binom{z_1 – x}{z_2 – y} \), und angehängt an \( Z \) ergibt das \( P\'(2z_1 – x \,|\, 2z_2 – y) \) ✓. Die beiden Kapitel passen also lückenlos zusammen.

7. Das Wichtigste in Kürze

8. So fragt die Abschlussprüfung

Weil die Drehung nur im Zug I unterrichtet wird, tauchen die Aufgaben typisch in Mathematik I auf – und dort meist im Koordinatensystem: Punkte oder Figuren drehen, Bildkoordinaten berechnen und Symmetrien einer gegebenen Figur beschreiben. Drei typische Aufgabenformen aus dem Holzwerk-Kontext:

Aufgabe 1 – Bildkoordinaten bei beliebigem Drehzentrum. In der CAD-Zeichnung eines Regalsystems liegt eine Bohrung bei \( P(6\,|\,3) \). Lena soll das Bauteil um den Befestigungspunkt \( Z(2\,|\,1) \) mit \( \varphi = +90^\circ \) drehen. Wo liegt die Bohrung danach?

Gegenprobe: Die Drehung ist längentreu, also muss \( \overline{ZP\‘} = \overline{ZP} \) gelten: \( \overline{ZP} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \) und \( \overline{ZP\‘} = \sqrt{(0-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \) ✓. Zweite, unabhängige Kontrolle des Winkels: Die Vektoren \( \binom{4}{2} \) und \( \binom{-2}{4} \) stehen senkrecht aufeinander, denn \( 4 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 = -8 + 8 = 0 \) ✓. Antwort: Die Bohrung liegt nach der Drehung bei \( P\'(0\,|\,5) \).

Aufgabe 2 – Punktspiegelung: das Gegenstück bestimmen. Eine Regalfront von Katharina Brandl ist punktsymmetrisch aufgebaut, das Symmetriezentrum liegt bei \( Z(4\,|\,3) \). Ein Griff sitzt bei \( A(7\,|\,2) \). Jonas soll den Bohrpunkt des gegenüberliegenden Griffs \( A\‘ \) angeben.

Gegenprobe: \( Z \) muss der Mittelpunkt von \( \overline{AA\‘} \) sein: \( \left( \dfrac{7+1}{2} \,\middle|\, \dfrac{2+4}{2} \right) = (4\,|\,3) = Z \) ✓. Antwort: Der gegenüberliegende Griff wird bei \( A\'(1\,|\,4) \) gebohrt. Die Mittelpunktsprobe ist der schnellste Weg, das Ergebnis zu sichern – sie braucht nur zwei Halbierungen und deckt jeden Vorzeichenfehler auf.

Aufgabe 3 – Drehsymmetrie einer Figur beschreiben. Merve fräst eine kreisrunde Einlegearbeit als Rosette aus 8 gleichen Segmenten in eine Tischplatte. Herr Sailer fragt: a) Welcher ist der kleinste Drehwinkel, der die Rosette auf sich selbst abbildet? b) Ist die Rosette punktsymmetrisch?

Gegenprobe: Achtmal um \( 45^\circ \) gedreht ergibt \( 8 \cdot 45^\circ = 360^\circ \) ✓ – die Figur ist wieder in der Ausgangslage. Für die Punktsymmetrie muss \( 180^\circ \) unter den passenden Drehwinkeln sein: \( 180^\circ : 45^\circ = 4 \), also das 4-fache des kleinsten Winkels ✓. Antwort: Der kleinste Drehwinkel ist \( 45^\circ \); die Rosette ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt. Gegenbeispiel zum Mitdenken: Hätte die Rosette 5 Segmente, wäre \( \varphi = 360^\circ : 5 = 72^\circ \). \( 180^\circ \) ist kein Vielfaches von \( 72^\circ \) (denn \( 180 : 72 = 2{,}5 \)), also wäre sie nicht punktsymmetrisch – genau darauf zielt die Teilaufgabe b).

9. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest

• Drehsinn nicht beachtet. Ursache: Der Drehwinkel wird ohne Vorzeichen abgelesen und gegen den Uhrzeigersinn gedreht, obwohl \( -60^\circ \) gefordert war. Vermeidung: Unterstreiche das Vorzeichen in der Aufgabenstellung, bevor du anfängst. Positiv = gegen den Uhrzeigersinn, negativ = mit dem Uhrzeigersinn. Ein falscher Drehsinn liefert eine ganz andere Bildfigur, nicht nur eine Ungenauigkeit.
• Die Regeln für \( +90^\circ \) und \( -90^\circ \) verwechselt. Ursache: Beide Regeln tauschen die Koordinaten, nur das Minuszeichen sitzt woanders. Vermeidung: Nimm einen Testpunkt, dessen Bild du im Kopf siehst, etwa \( \binom{1}{0} \) auf der \( x \)-Achse. Bei \( +90^\circ \) muss daraus \( \binom{0}{1} \) werden – also \( \binom{x}{y} \mapsto \binom{-y}{x} \). Diese Kontrolle kostet fünf Sekunden.
• Bei fremdem Drehzentrum die Ursprungsregel direkt auf die Punktkoordinaten angewendet. Ursache: Aus \( P(6\,|\,3) \) wird sofort \( (-3\,|\,6) \) gemacht, ohne \( Z \) zu berücksichtigen. Vermeidung: Halte die drei Schritte ein – Vektor \( \overrightarrow{ZP} \) bilden, drehen, an \( Z \) anhängen. Die Kurzregeln gelten nur für das Drehzentrum im Ursprung.
• Punktspiegelungsformel halb hingeschrieben: \( z_1 – x \) statt \( 2z_1 – x \). Ursache: Die Formel wird als „Zentrum minus Punkt“ erinnert; der Faktor 2 fällt weg. Vermeidung: Denk sie über die Mittelpunktsformel: Aus \( z_1 = \frac{x + x\‘}{2} \) folgt \( x\‘ = 2z_1 – x \). Und prüfe zum Schluss immer, ob \( Z \) tatsächlich in der Mitte zwischen \( P \) und \( P\‘ \) liegt.
• Drehung und Achsenspiegelung durcheinandergebracht. Ursache: Beide sind Kongruenzabbildungen, deshalb wirken sie austauschbar. Vermeidung: Achte auf den Umlaufsinn. Die Drehung ist gleichsinnig – die Beschriftung \( A, B, C \) läuft im Bild in derselben Richtung herum. Die Achsenspiegelung ist gegensinnig und dreht den Umlaufsinn um. Und: Die Drehung hat nur einen Fixpunkt (\( Z \)), die Achsenspiegelung eine ganze Fixpunktgerade.
• Bei der Zähligkeit multipliziert statt dividiert. Ursache: Aus „6-zählig“ wird \( 6 \cdot 360^\circ \) statt \( 360^\circ : 6 \). Vermeidung: Der kleinste Drehwinkel ist stets \( \varphi = 360^\circ : n \) und damit kleiner als \( 360^\circ \). Kommt bei dir ein Winkel über \( 360^\circ \) heraus, hast du die Rechenart verdreht.
• Punktsymmetrie bei ungerader Zähligkeit behauptet. Ursache: „Drehsymmetrisch“ wird mit „punktsymmetrisch“ gleichgesetzt. Vermeidung: Punktsymmetrie heißt, dass ausgerechnet \( 180^\circ \) zu den passenden Drehwinkeln gehört – das klappt nur, wenn \( n \) gerade ist. Ein Dreizack (\( n = 3 \), \( \varphi = 120^\circ \)) ist drehsymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch.
• Konstruktion mit dem Zirkel am falschen Punkt angesetzt. Ursache: Der Kreisbogen wird um \( P \) statt um das Drehzentrum \( Z \) geschlagen. Vermeidung: Der Zirkel steht immer in \( Z \), die Zirkelöffnung ist \( \overline{ZP} \). Danach den Drehwinkel mit dem Geodreieck an den Schenkel \( [ZP \) antragen – \( P\‘ \) ist der Schnittpunkt von Bogen und freiem Schenkel. Bei Figuren jeden Eckpunkt einzeln so behandeln und die Bildfigur erst am Ende verbinden.

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