M10 Mathematik Bayern – der gesamte Prüfungsstoff

So läuft die Abschlussprüfung ab

Teil A müssen alle bearbeiten. In Teil B werden zwei Aufgabengruppen angeboten – der Prüfungsausschuss wählt eine davon für Deine Klasse verbindlich aus. Du rechnest also nur eine Gruppe, und einzelne Aufgaben dürfen nicht getauscht werden.

Notenschlüssel (von 48 Punkten): 48,0–41,0 = Note 1 · 40,5–33,0 = 2 · 32,5–25,0 = 3 · 24,5–16,0 = 4 · 15,5–8,0 = 5 · 7,5–0 = 6.

Fünf Dinge, die in jeder Prüfung Punkte bringen

• In Teil A wird viel begründet, angekreuzt und erklärt. Schreib dort immer einen ganzen Satz – „falsch“ allein gibt keinen Punkt.
• Runde erst am Ende und schreib zu jedem Ergebnis die Einheit.
• Gib bei Gleichungen immer die Definitionsmenge \( \mathrm{ID} \) an, auch wenn nicht ausdrücklich danach gefragt wird.
• Rechne mit \( \pi \approx 3{,}14 \), so wie es auch in den amtlichen Lösungen gemacht wird.
• Der Taschenrechner muss auf DEG (Gradmaß) stehen, sonst stimmen alle Winkel nicht.

Die zehn Themen – spring direkt zu Deinem

1. Lösen von Termen (Potenzen und Wurzeln)
2. Binomische Formeln
3. Lösen von Gleichungen (Bruchgleichungen)
4. Lineare Funktionen – Geradengleichungen
5. Quadratische Funktionen – Parabel
6. Exponentialfunktionen (Wachstum, Zerfall, Zins)
7. Geometrie der Ebene (Pythagoras, Trigonometrie)
8. Strahlensätze und zentrische Streckung
9. Raumgeometrie – Körper
10. Statistik und Wahrscheinlichkeit

Ganz unten: Formelübersicht auf einen Blick und die Fehler, die am meisten Punkte kosten.

Das musst Du wissen

Potenzgesetze (für \( a, b > 0 \)):

\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad a^m : a^n = \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \)

\( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \qquad a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)

Wurzelgesetze:

\( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \qquad \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \qquad \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} \qquad \sqrt{a^2} = a \ \ (a \ge 0) \)

Merke: Beim Multiplizieren werden die Exponenten addiert, beim Dividieren subtrahiert, beim Potenzieren einer Potenz multipliziert. Zusammenfassen darfst Du nur Potenzen mit derselben Basis.

Schritt für Schritt

1. Klammern auflösen. Jeder Faktor in der Klammer wird potenziert – auch die Zahl davor.
2. Sortieren: zuerst die Zahlen, dann die Variablen alphabetisch.
3. Zahlen ausrechnen.
4. Gleiche Basen zusammenfassen (Exponenten addieren bzw. subtrahieren).
5. Negative Exponenten in einen Bruch umschreiben.

Beispiel: Term mit mehreren Variablen vereinfachen

Vereinfache so weit wie möglich (\( a, b > 0 \)):   \( T = \dfrac{\left(2a^3b\right)^2 \cdot 3a^2b^4}{6a^5b^3} \)

Varianten, die genauso gefragt werden

a) Term mit Wurzel. Vereinfache \( \sqrt{x^6y^4} \) für \( x, y > 0 \). Eine Wurzel ist eine Potenz mit dem Exponenten \( \frac{1}{2} \):

\( \sqrt{x^6y^4} = \left(x^6y^4\right)^{\frac{1}{2}} = x^{3} \cdot y^{2} \)

b) Negative Exponenten. Vereinfache \( \dfrac{5x^{-2}}{20x^{-5}} \) für \( x \neq 0 \):

\( \dfrac{5x^{-2}}{20x^{-5}} = \dfrac{5}{20} \cdot x^{-2-(-5)} = \dfrac{1}{4} \cdot x^{3} = \dfrac{x^3}{4} \)

c) Die Unbekannte steht im Exponenten. Schreib beide Seiten als Potenz mit derselben Basis, dann müssen auch die Exponenten gleich sein.

\( 2^x = \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3} = 2^{-3} \quad \Rightarrow \quad x = -3 \)

\( 7^x : 7^{-1} = 7^4 \quad \Rightarrow \quad 7^{\,x+1} = 7^4 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \)

d) Fehler finden und berichtigen (typische Teil-A-Aufgabe). In \( \left(5x^3\right)^2 = 5x^6 \) steckt ein Fehler.

Antwort: Beim Potenzieren einer Klammer muss jeder Faktor potenziert werden, also auch die Zahl 5. Richtig ist \( \left(5x^3\right)^2 = 25x^6 \).

Typische Fehler

• Vorfaktor vergessen: \( \left(3x^4\right)^2 \) ist nicht \( 3x^8 \), sondern \( 9x^8 \).
• Exponenten multipliziert statt addiert: \( a^3 \cdot a^4 = a^{7} \), nicht \( a^{12} \).
• Verschiedene Basen zusammengefasst. Nur bei gleichem Exponenten geht das: \( s^2 \cdot t^2 = (s \cdot t)^2 \).
• Minuszeichen verschluckt: \( a^{-2-(-5)} = a^{-2+5} = a^{3} \). Klammer setzen hilft.
• Zu früh gekürzt. Erst alles auf eine Bruchform bringen, dann kürzen.

Das musst Du wissen

1. binomische Formel: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

2. binomische Formel: \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)

3. binomische Formel: \( (a+b) \cdot (a-b) = a^2 – b^2 \)

So erkennst Du die richtige Formel:

• drei Glieder, mittleres Glied mit \( + \)  →  1. binomische Formel
• drei Glieder, mittleres Glied mit \( – \)  →  2. binomische Formel
• zwei Glieder, dazwischen ein \( – \)  →  3. binomische Formel

Beispiel: Term als Quadrat schreiben

Ergänze: \( 9x^2 – 30xy + 25y^2 = (\ \square \ – \ \square \ )^2 \)

• Drei Glieder, mittleres Glied negativ → 2. binomische Formel
• \( a = \sqrt{9x^2} = 3x \)  (Wurzel aus dem ersten Glied)
• \( b = \sqrt{25y^2} = 5y \)  (Wurzel aus dem letzten Glied)
• Probe: \( 2ab = 2 \cdot 3x \cdot 5y = 30xy \) – stimmt mit dem mittleren Glied überein

\( 9x^2 – 30xy + 25y^2 = (3x – 5y)^2 \)

Varianten

a) 3. binomische Formel. Zwei Glieder mit Minus dazwischen: \( \sqrt{16a^2} = 4a \), \( \sqrt{49b^2} = 7b \):

\( 16a^2 – 49b^2 = (4a + 7b) \cdot (4a – 7b) \)

b) Nur das mittlere Glied ist bekannt. Ergänze \( \square + 12x + \square = (\square + \square)^2 \). Hier gibt es mehrere richtige Lösungen; Bedingung ist nur \( 2 \cdot a \cdot b = 12x \):

\( x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2 \qquad \text{oder} \qquad 4x^2 + 12x + 9 = (2x+3)^2 \)

Schreib in der Prüfung dazu, dass auch andere Lösungen möglich sind – das zeigt, dass Du das Prinzip verstanden hast.

c) Bruchterm kürzen. Vereinfache \( \dfrac{x^2-16}{x+4} \) und gib die Definitionsmenge an.

Der Nenner darf nicht null werden: \( x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4 \), also \( \mathrm{ID} = \mathrm{IR} \setminus \{-4\} \).

\( \dfrac{x^2-16}{x+4} = \dfrac{(x+4) \cdot (x-4)}{x+4} = x – 4 \)

Merke: Kürzen darfst Du nur Faktoren, niemals einzelne Summanden.

Typische Fehler

• Das mittlere Glied fehlt: \( (a+b)^2 \) ist nicht \( a^2+b^2 \). Das ist der häufigste Fehler überhaupt.
• Faktor 2 vergessen. Im mittleren Glied steht \( 2ab \), nicht \( ab \).
• Zweite binomische Formel: Das letzte Glied ist \( +b^2 \), denn \( (-b) \cdot (-b) = +b^2 \).
• Minus vor der Klammer nur auf das erste Glied angewendet: \( -(a-b)^2 = -a^2+2ab-b^2 \).
• Summanden gekürzt und Definitionsmenge vergessen.

Das musst Du wissen

Definitionsmenge: Ein Nenner darf niemals null werden. Setz also jeden Nenner gleich null und schließ diese Werte aus.

Beispiel: \( x – 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \), also \( \mathrm{ID} = \mathrm{IR} \setminus \{3\} \)

Quadratische Gleichung in der Form \( ax^2+bx+c = 0 \) bzw. \( x^2+px+q = 0 \):

Lösungsformel: \( x_{1;2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4 \cdot a \cdot c}}{2a} \)

p-q-Formel: \( x_{1;2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 – q} \)

Warum beide? Die p-q-Formel ist kürzer, funktioniert aber nur, wenn vor dem \( x^2 \) eine 1 steht. Die Lösungsformel funktioniert immer. Wenn Du nach der 10. Klasse an die FOS oder ans Gymnasium wechselst, stehen dort regelmäßig andere Zahlen als 1 oder \( -1 \) vor dem höchsten Exponenten – wer die Lösungsformel kennt, muss dann nichts Neues lernen. In der Prüfung darfst Du frei wählen.

Diskriminante \( D \) (der Ausdruck unter der Wurzel): \( D > 0 \Rightarrow \) zwei Lösungen, \( D = 0 \Rightarrow \) eine Lösung, \( D < 0 \Rightarrow \) keine Lösung.

Schritt für Schritt

1. Definitionsmenge bestimmen: jeden Nenner \( \neq 0 \) setzen.
2. Hauptnenner suchen – Nenner wie \( x^2-4 \) vorher faktorisieren: \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \).
3. Alle Brüche auf den Hauptnenner bringen.
4. Mit dem Hauptnenner multiplizieren – die Brüche verschwinden.
5. Ausmultiplizieren und ordnen zu \( ax^2+bx+c = 0 \).
6. Lösen mit Lösungsformel oder p-q-Formel.
7. Vergleich mit \( \mathrm{ID} \): Lösungen, die nicht in \( \mathrm{ID} \) liegen, streichen (Scheinlösungen).
8. Lösungsmenge \( \mathrm{IL} \) hinschreiben.

Beispiel: Bruchgleichung mit Scheinlösung

Gib die Definitionsmenge an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch:

\( \dfrac{x}{x-2} + \dfrac{4}{x+2} = \dfrac{8}{x^2-4} \)

Der Nenner \( x^2-4 \) lässt sich mit der 3. binomischen Formel zerlegen: \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \). Damit gilt \( x \neq 2 \) und \( x \neq -2 \):

\( \mathrm{ID} = \mathrm{IR} \setminus \{-2;\,2\} \)

Der Hauptnenner ist \( (x-2)(x+2) \):

Mit der Lösungsformel (\( a = 1 \), \( b = 6 \), \( c = -16 \)):

\( x_{1;2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{6^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = \dfrac{-6 \pm 10}{2} \)

Mit der p-q-Formel (\( p = 6 \), \( q = -16 \)):

\( x_{1;2} = -3 \pm \sqrt{3^2 – (-16)} = -3 \pm \sqrt{25} = -3 \pm 5 \)

Beide Wege ergeben \( x_1 = 2 \) und \( x_2 = -8 \). Da \( x_1 = 2 \) nicht in \( \mathrm{ID} \) liegt, ist es eine Scheinlösung:

\( \mathrm{IL} = \{-8\} \)

Varianten

a) Bruchgleichung, die auf eine lineare Gleichung führt: \( \dfrac{3}{x+1} = \dfrac{2}{x-4} \) mit \( \mathrm{ID} = \mathrm{IR} \setminus \{-1;\,4\} \).

\( 3 \cdot (x-4) = 2 \cdot (x+1) \ \Rightarrow \ 3x – 12 = 2x + 2 \ \Rightarrow \ x = 14 \)

\( 14 \in \mathrm{ID} \), also \( \mathrm{IL} = \{14\} \). Bei genau zwei Brüchen darfst Du auch „über Kreuz“ multiplizieren – das ist dasselbe.

b) Quadratische Gleichung ohne Bruch: \( 2x^2 – 8x – 24 = 0 \), also \( \mathrm{ID} = \mathrm{IR} \). Zuerst durch 2 teilen:

\( x^2 – 4x – 12 = 0 \ \Rightarrow \ x_{1;2} = 2 \pm \sqrt{4+12} = 2 \pm 4 \ \Rightarrow \ \mathrm{IL} = \{-2;\,6\} \)

c) Wie viele Lösungen gibt es? Bei \( x^2 – 6x + 11 = 0 \) ist \( D = (-3)^2 – 11 = -2 \).

Da \( D < 0 \), kann die Wurzel nicht gezogen werden: Die Gleichung hat keine Lösung, \( \mathrm{IL} = \{\ \} \).

d) Definitionsmenge begründen (typische Teil-A-Aufgabe). Warum ist bei \( \dfrac{x+1}{5} = \dfrac{2x}{7} \) die Definitionsmenge \( \mathrm{ID} = \mathrm{IR} \)?

Antwort: In den Nennern stehen nur die Zahlen 5 und 7. Sie enthalten kein \( x \) und können deshalb niemals null werden. Also ist jede reelle Zahl einsetzbar.

Typische Fehler

• Definitionsmenge vergessen. Dafür gibt es eigene Punkte – und ohne \( \mathrm{ID} \) erkennst Du die Scheinlösung nicht.
• Nur einen Teil der Gleichung multipliziert. Der Hauptnenner muss mit jedem Summanden auf beiden Seiten multipliziert werden.
• Nenner nicht faktorisiert. \( x^2-4 \) ist \( (x-2)(x+2) \).
• Scheinlösung stehen gelassen. Immer zum Schluss mit \( \mathrm{ID} \) vergleichen.
• Vorzeichenfehler bei \( \frac{p}{2} \): Bei \( p = -4 \) ist \( -\frac{p}{2} = +2 \).
• Nur eine Lösung angegeben – das \( \pm \) liefert zwei Werte.

Das musst Du wissen

\( y = m \cdot x + t \)

\( m \) ist die Steigung, \( t \) der \( y \)-Achsenabschnitt (dort schneidet die Gerade die \( y \)-Achse).

Sonderfälle: \( m = 0 \) ergibt eine waagrechte Gerade \( y = t \). Eine senkrechte Gerade \( x = c \) ist keine Funktion und hat keine Gleichung der Form \( y = mx+t \).

Schritt für Schritt: Geradengleichung aus zwei Punkten

1. Steigung berechnen: \( m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \)
2. Einen der beiden Punkte zusammen mit \( m \) in \( y = mx+t \) einsetzen.
3. Nach \( t \) auflösen.
4. Gleichung hinschreiben: \( g \colon y = mx+t \)
5. Probe: Setz den anderen Punkt ein. Er muss die Gleichung erfüllen.

Beispiel: die komplette Geradenaufgabe

Gegeben sind \( A(-2\,|\,1) \) und \( B(2\,|\,3) \).

a) Gleichung der Geraden \( g \) durch \( A \) und \( B \)

\( m = \dfrac{3-1}{2-(-2)} = \dfrac{2}{4} = 0{,}5 \)

\( A \) einsetzen: \( 1 = 0{,}5 \cdot (-2) + t = -1 + t \ \Rightarrow \ t = 2 \)

\( g \colon y = 0{,}5x + 2 \)

b) Nullstelle von \( g \)

\( 0 = 0{,}5x + 2 \ \Rightarrow \ -2 = 0{,}5x \ \Rightarrow \ x = -4 \), also \( N(-4\,|\,0) \)

c) Punktprobe: Liegt \( P(6\,|\,5) \) auf \( g \)?

\( 0{,}5 \cdot 6 + 2 = 5 \)  und  \( y_P = 5 \) → \( P \) liegt auf \( g \).

d) Steigungswinkel zur \( x \)-Achse

\( \tan \alpha = m = 0{,}5 \ \Rightarrow \ \alpha = \tan^{-1}(0{,}5) \approx 26{,}6^\circ \)

e) Gerade \( k \) durch \( B \), die senkrecht auf \( g \) steht

\( m_k = -\dfrac{1}{0{,}5} = -2 \),   \( B \) einsetzen: \( 3 = -2 \cdot 2 + t \ \Rightarrow \ t = 7 \)

\( k \colon y = -2x + 7 \)

f) Schnittpunkt von \( g \) mit \( h \colon y = -x + 8 \)

\( 0{,}5x + 2 = -x + 8 \ \Rightarrow \ 1{,}5x = 6 \ \Rightarrow \ x = 4 \)

\( x = 4 \) in \( g \): \( y = 0{,}5 \cdot 4 + 2 = 4 \), also \( S(4\,|\,4) \)

Varianten

a) Parallele Gerade. Gib eine Gerade \( p \) an, die parallel zu \( g \colon y = 0{,}5x+2 \) verläuft und durch \( Q(0\,|\,-3) \) geht. Parallel bedeutet gleiche Steigung, und \( t = -3 \) ist ablesbar: \( p \colon y = 0{,}5x – 3 \).

b) Fehlende Koordinate. \( R(a\,|\,7) \) liegt auf \( g \): \( 7 = 0{,}5a + 2 \Rightarrow a = 10 \), also \( R(10\,|\,7) \).

c) Waagrechte Gerade durch \( A(-2\,|\,1) \): \( m = 0 \), also \( w \colon y = 1 \).

d) Begründen statt rechnen (typische Teil-A-Aufgabe). Begründe, dass sich \( g_1 \colon y = 3x-1 \) und \( g_2 \colon y = 3x+4 \) nicht schneiden.

Antwort: Beide Geraden haben dieselbe Steigung \( m = 3 \), aber verschiedene \( y \)-Achsenabschnitte. Sie sind also echt parallel und haben deshalb keinen gemeinsamen Punkt.

Typische Fehler

• \( \Delta x \) und \( \Delta y \) vertauscht. Die Steigung ist „Höhe durch Breite“.
• Vorzeichen im Nenner: \( x_2-x_1 = 2-(-2) = 4 \), nicht 0.
• Bei „senkrecht“ nur das Vorzeichen gedreht. Es braucht den negativen Kehrwert: aus \( 0{,}5 \) wird \( -2 \), nicht \( -0{,}5 \).
• Beim Schnittpunkt nur \( x \) angegeben. Ein Schnittpunkt hat zwei Koordinaten.
• Taschenrechner nicht auf DEG – dann kommt beim Steigungswinkel Unsinn heraus.
• Zeichnung ohne Beschriftung. Achsen, Geradennamen und Punkte gehören beschriftet.

Das musst Du wissen

Normalform: \( y = ax^2 + bx + c \)

Scheitelpunktform: \( y = a \cdot (x – x_s)^2 + y_s \)   mit   \( S(x_s\,|\,y_s) \)

Scheitelpunkt aus der Normalform:

\( S\left(-\dfrac{b}{2a} \ \middle| \ c – \dfrac{b^2}{4a}\right) \)   oder   über die quadratische Ergänzung

Nullstellen: \( y = 0 \) setzen und die quadratische Gleichung lösen (Lösungsformel oder p-q-Formel).

Schnittpunkt mit der \( y \)-Achse: \( x = 0 \) einsetzen, ergibt \( (0\,|\,c) \).

Schnittpunkte zweier Graphen: beide Gleichungen gleichsetzen.

Der Faktor \( a \):

• \( a > 0 \): Parabel nach oben geöffnet, der Scheitel ist der tiefste Punkt.
• \( a < 0 \): Parabel nach unten geöffnet, der Scheitel ist der höchste Punkt.
• \( a = 1 \) bzw. \( a = -1 \): Normalparabel – in der M10-Prüfung ist das der Regelfall.

Spiegelungen (bei der Normalparabel): an der \( x \)-Achse wechseln \( y_s \) und \( a \) das Vorzeichen, an der \( y \)-Achse wechselt \( x_s \) das Vorzeichen.

Schritt für Schritt: von der Normalform zum Scheitelpunkt (quadratische Ergänzung)

1. Falls \( a \neq 1 \): den Faktor \( a \) aus den ersten beiden Gliedern ausklammern.
2. Die Hälfte von \( b \) nehmen und quadrieren.
3. Diese Zahl addieren und sofort wieder subtrahieren – der Term ändert sich dadurch nicht.
4. Die ersten drei Glieder mit der binomischen Formel zu einem Quadrat zusammenfassen.
5. Den Rest zusammenrechnen – fertig ist die Scheitelpunktform.

Beispiel: die komplette Parabelaufgabe

Gegeben ist die Parabel \( p_1 \colon y = x^2 – 6x + 5 \).

a) Scheitelpunkt bestimmen. Beide Wege führen zum Ziel.

Quadratische Ergänzung:

\( y = x^2 – 6x + 5 = \underbrace{x^2 – 6x + 9}_{(x-3)^2} – 9 + 5 = (x-3)^2 – 4 \)

Scheitelpunktformel mit \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 5 \):

\( x_s = -\dfrac{-6}{2} = 3 \qquad y_s = 5 – \dfrac{36}{4} = -4 \)

\( S(3\,|\,-4) \)

b) Nullstellen berechnen: \( x^2 – 6x + 5 = 0 \)

Lösungsformel: \( x_{1;2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{6 \pm 4}{2} \)

p-q-Formel (\( p = -6 \), \( q = 5 \)): \( x_{1;2} = 3 \pm \sqrt{9-5} = 3 \pm 2 \)

\( N_1(1\,|\,0) \) und \( N_2(5\,|\,0) \)

c) Schnittpunkt mit der \( y \)-Achse: \( x = 0 \) einsetzen ergibt \( y = 5 \), also \( S_y(0\,|\,5) \).

d) Spiegelung an der \( x \)-Achse. Der Scheitel \( S(3\,|\,-4) \) wird zu \( S'(3\,|\,4) \), die Parabel ist nach unten geöffnet:

\( p_2 \colon y = -(x-3)^2 + 4 = -\left(x^2-6x+9\right) + 4 = -x^2 + 6x – 5 \)

e) Schnittpunkte von \( p_1 \) mit der Geraden \( g \colon y = x-1 \)

\( x^2 – 6x + 5 = x – 1 \quad | -x \ +1 \quad \Rightarrow \quad x^2 – 7x + 6 = 0 \)

\( x_{1;2} = 3{,}5 \pm \sqrt{3{,}5^2 – 6} = 3{,}5 \pm \sqrt{6{,}25} = 3{,}5 \pm 2{,}5 \)

\( x_1 = 1 \) und \( x_2 = 6 \); eingesetzt in \( g \): \( y_1 = 0 \), \( y_2 = 5 \)

\( S_1(1\,|\,0) \) und \( S_2(6\,|\,5) \)

Varianten

a) Parabel aus zwei Punkten. Eine Normalparabel \( y = x^2 + px + q \) geht durch \( A(1\,|\,0) \) und \( B(5\,|\,0) \). Beide Punkte einsetzen ergibt zwei Gleichungen:

(I) \( 0 = 1 + p + q \)    (II) \( 0 = 25 + 5p + q \)

(II) − (I): \( 0 = 24 + 4p \Rightarrow p = -6 \), eingesetzt in (I): \( q = 5 \)

\( y = x^2 – 6x + 5 \)

b) Parabel aus dem Scheitelpunkt. Eine nach unten geöffnete Normalparabel hat den Scheitel \( S(-2\,|\,3) \):

\( y = -(x+2)^2 + 3 = -\left(x^2+4x+4\right) + 3 = -x^2 – 4x – 1 \)

c) Punktprobe. Liegt \( P(4\,|\,-3) \) auf \( p_1 \)? \( 4^2 – 6 \cdot 4 + 5 = 16 – 24 + 5 = -3 \) – ja, \( P \) liegt auf der Parabel.

d) Kein Schnittpunkt – über die Diskriminante begründen. Zeige, dass \( p_1 \) und \( h \colon y = x – 10 \) keinen gemeinsamen Punkt haben.

\( x^2 – 6x + 5 = x – 10 \ \Rightarrow \ x^2 – 7x + 15 = 0 \)

\( D = (-3{,}5)^2 – 15 = 12{,}25 – 15 = -2{,}75 < 0 \)

Die Gleichung hat keine Lösung, also haben Parabel und Gerade keinen gemeinsamen Punkt.

e) Parabel im Graphen ablesen (typische Teil-A-Aufgabe). Du liest den Scheitel \( S(2\,|\,-1) \) ab und erkennst eine Normalparabel:

\( y = (x-2)^2 – 1 = x^2 – 4x + 4 – 1 = x^2 – 4x + 3 \)

Typische Fehler

• Vorzeichen in der Scheitelpunktform. \( y = (x-3)^2 – 4 \) gehört zu \( S(3\,|\,-4) \) – das Vorzeichen von \( x_s \) dreht sich, das von \( y_s \) nicht.
• Bei der quadratischen Ergänzung nur addiert. Die ergänzte Zahl muss sofort wieder abgezogen werden.
• Nullstellen mit dem \( y \)-Achsenabschnitt verwechselt. Nullstellen: \( y = 0 \) setzen. \( y \)-Achsenabschnitt: \( x = 0 \) einsetzen.
• Beim Schnittpunkt den \( y \)-Wert vergessen.
• Beim Zeichnen zu wenige Punkte benutzt. Scheitel, beide Nullstellen und der \( y \)-Achsenabschnitt reichen meist für eine saubere Parabel.

Das musst Du wissen

\( W_n = W_0 \cdot q^{\,n} \)

Den Faktor \( q \) bestimmen:

Zunahme um \( p\ \% \): \( q = 1 + \dfrac{p}{100} \)  (\( +3\ \% \Rightarrow q = 1{,}03 \))

Abnahme um \( p\ \% \): \( q = 1 – \dfrac{p}{100} \)  (\( -15\ \% \Rightarrow q = 0{,}85 \))

Halbierung: \( q = 0{,}5 \)  ·  Verdoppelung: \( q = 2 \)

Die vier Grundfragen:

\( W_n = W_0 \cdot q^{\,n} \qquad W_0 = \dfrac{W_n}{q^{\,n}} \qquad q = \sqrt[n]{\dfrac{W_n}{W_0}} \qquad n = \dfrac{\log\left(\frac{W_n}{W_0}\right)}{\log q} \)

Beim Zinssatz danach nicht vergessen: \( p = (q-1) \cdot 100\ \% \).

Schritt für Schritt

1. Werte zuordnen: Was ist \( W_0 \), was \( W_n \), was \( n \)? Schreib die Angaben untereinander.
2. \( q \) bestimmen. Achte darauf, ob zu- oder abgenommen wird.
3. Formel nach der gesuchten Größe umstellen.
4. Einsetzen und ausrechnen.
5. Sinnvoll runden und einen Antwortsatz mit Einheit schreiben.

Achtung bei \( n \): Wird nach „nach wie vielen ganzen Jahren“ gefragt, musst Du aufrunden – auch bei 23,4 Jahren ist das Ziel erst nach 24 Jahren erreicht.

Beispiel: Zinseszins – alle vier Grundfragen an einem Sachverhalt

Frau Berger legt 2500 € zu einem Zinssatz von 3 % pro Jahr an.

a) Welches Kapital hat sie nach 8 Jahren?

\( q = 1 + \dfrac{3}{100} = 1{,}03 \)

\( W_8 = 2500\ \text{€} \cdot 1{,}03^{\,8} \approx 3166{,}93\ \text{€} \)

Nach acht Jahren beläuft sich das Kapital auf etwa 3166,93 €.

b) Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt?

\( 2500 \cdot 1{,}03^{\,n} = 5000 \quad |: 2500 \quad \Rightarrow \quad 1{,}03^{\,n} = 2 \)

\( n = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}03} \approx 23{,}45 \)

Da nur ganze Jahre verzinst werden, ist das Kapital erst nach 24 Jahren verdoppelt.

c) Anderes Angebot: aus 2500 € werden in 5 Jahren 2900 €. Wie hoch ist der Zinssatz?

\( q = \sqrt[5]{\dfrac{2900}{2500}} = \sqrt[5]{1{,}16} \approx 1{,}0301 \)

\( p = (q-1) \cdot 100\ \% \approx 3{,}01\ \% \)

Der Zinssatz beträgt rund 3,0 % pro Jahr.

d) Welchen Betrag hätte sie vor 6 Jahren anlegen müssen, um bei 3 % heute genau 4000 € zu haben?

\( W_0 = \dfrac{4000\ \text{€}}{1{,}03^{\,6}} \approx 3349{,}94\ \text{€} \)

Sie hätte etwa 3349,94 € anlegen müssen.

Varianten

a) Wertverlust. Ein Auto kostet neu 24 000 € und verliert jährlich 15 % an Wert.

\( q = 1 – \dfrac{15}{100} = 0{,}85 \qquad W_4 = 24\,000\ \text{€} \cdot 0{,}85^{\,4} \approx 12\,528{,}15\ \text{€} \)

Nach vier Jahren ist es noch etwa 12 528,15 € wert.

b) Unterschiedliche Raten in den einzelnen Jahren. Ein Grundstück ist 80 000 € wert. Im ersten Jahr steigt der Wert um 10 %, im zweiten um 5 %, im dritten fällt er um 8 %. Hier wird nicht potenziert, sondern Faktor für Faktor multipliziert:

\( W_3 = 80\,000\ \text{€} \cdot 1{,}10 \cdot 1{,}05 \cdot 0{,}92 = 85\,008\ \text{€} \)

c) Halbwertszeit. Von einem radioaktiven Stoff sind 200 g vorhanden, die Halbwertszeit beträgt 8 Tage.

nach 24 Tagen: \( n = \dfrac{24}{8} = 3 \), also \( W_3 = 200\ \text{g} \cdot 0{,}5^{\,3} = 25\ \text{g} \)

noch 12,5 g übrig: \( 0{,}5^{\,n} = 0{,}0625 \Rightarrow n = 4 \), also \( 4 \cdot 8\ \text{d} = 32\ \text{d} \)

nach 5 Halbwertszeiten noch 6 g: \( W_0 = \dfrac{6\ \text{g}}{0{,}5^{\,5}} = 6\ \text{g} \cdot 32 = 192\ \text{g} \)

d) Graph zuordnen und begründen (typische Teil-A-Aufgabe). Welcher der beiden Graphen oben passt zum radioaktiven Zerfall?

Antwort: Der gestrichelte, fallende Graph. Beim Zerfall nimmt die Masse in jedem gleich langen Zeitabschnitt um denselben Anteil ab; der Wachstumsfaktor liegt also zwischen 0 und 1. Der Graph nähert sich der \( n \)-Achse immer weiter an, erreicht sie aber nie.

Typische Fehler

• \( q = 3 \) statt \( q = 1{,}03 \). Der Prozentsatz muss erst zum Faktor umgerechnet werden.
• Bei Abnahme \( q = 0{,}15 \) statt \( q = 0{,}85 \). „15 % Verlust“ heißt: 85 % bleiben übrig.
• \( p \) und \( q \) verwechselt. Am Ende \( p = (q-1) \cdot 100\ \% \) nicht vergessen.
• Bei \( n \) abgerundet. „Nach wie vielen ganzen Jahren“ bedeutet aufrunden.
• \( n \) falsch gezählt. Bei Halbwertszeiten ist \( n \) die Anzahl der Halbwertszeiten, nicht der Tage.
• Bei wechselnden Raten potenziert statt die einzelnen Faktoren zu multiplizieren.

Das musst Du wissen

Im rechtwinkligen Dreieck (rechter Winkel bei \( C \), Hypotenuse \( c \), Höhe \( h \) auf \( c \), Hypotenusenabschnitte \( p \) und \( q \)):

Satz des Pythagoras: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Höhensatz: \( h^2 = p \cdot q \)

Kathetensatz: \( a^2 = c \cdot p \)   und   \( b^2 = c \cdot q \)

Dabei liegt \( p \) an der Kathete \( a \) und \( q \) an \( b \); außerdem gilt \( p + q = c \).

Winkelfunktionen (nur im rechtwinkligen Dreieck!):

\( \sin \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \qquad \cos \alpha = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \qquad \tan \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \)

Satz des Thales: Liegt \( C \) auf einem Halbkreis über der Strecke \( \overline{AB} \), dann ist das Dreieck \( ABC \) bei \( C \) rechtwinklig.

Innenwinkelsumme im Dreieck: \( 180^\circ \)  ·  im Viereck: \( 360^\circ \).

Flächen und Umfänge:

\( A_\triangle = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \qquad A_{\text{Rechteck}} = a \cdot b \qquad A_{\text{Parallelogramm}} = g \cdot h \)

\( A_{\text{Trapez}} = \dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \qquad A_{\text{Kreis}} = r^2\pi \qquad u_{\text{Kreis}} = 2r\pi = d\pi \)

Kreissektor: \( A = r^2\pi \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ} \qquad b = 2r\pi \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ} \)

Schritt für Schritt

1. Skizze anschauen und beschriften. Trag alle gegebenen Werte ein.
2. Rechten Winkel suchen. Nur dort gelten Pythagoras und die Winkelfunktionen.
3. Hypotenuse festlegen: Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist immer die längste Seite.
4. Passende Formel wählen: zwei Seiten gegeben, dritte gesucht → Pythagoras. Ein Winkel im Spiel → sin, cos oder tan. Kommen \( h \), \( p \) oder \( q \) vor → Höhen- oder Kathetensatz.
5. Rechnen, Taschenrechner auf DEG.
6. Antwortsatz mit Einheit schreiben.

Beispiel: rechtwinkliges Dreieck vollständig berechnen

Im Dreieck \( ABC \) (siehe Skizze) ist der Winkel bei \( C \) ein rechter Winkel. Gegeben sind \( c = 25\ \text{cm} \) und \( p = 9\ \text{cm} \).

a) Berechne \( q \), \( a \), \( b \) und \( h \).

\( q = c – p = 25\ \text{cm} – 9\ \text{cm} = 16\ \text{cm} \)

Kathetensatz: \( a^2 = c \cdot p = 225\ \text{cm}^2 \Rightarrow a = 15\ \text{cm} \)

\( b^2 = c \cdot q = 400\ \text{cm}^2 \Rightarrow b = 20\ \text{cm} \)

Höhensatz: \( h^2 = p \cdot q = 144\ \text{cm}^2 \Rightarrow h = 12\ \text{cm} \)

Probe mit dem Satz des Pythagoras: \( 225 + 400 = 625 = 25^2 \) – stimmt.

b) Berechne die Winkel \( \alpha \) und \( \beta \). \( a \) ist die Gegenkathete von \( \alpha \), \( c \) die Hypotenuse:

\( \sin \alpha = \dfrac{15}{25} = 0{,}6 \ \Rightarrow \ \alpha = \sin^{-1}(0{,}6) \approx 36{,}9^\circ \)

\( \beta = 180^\circ – 90^\circ – 36{,}87^\circ \approx 53{,}1^\circ \)

c) Berechne den Flächeninhalt. Im rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten Grundlinie und Höhe zueinander:

\( A = \dfrac{1}{2} \cdot 15\ \text{cm} \cdot 20\ \text{cm} = 150\ \text{cm}^2 \)

Kontrolle über \( c \) und \( h \): \( \frac{1}{2} \cdot 25\ \text{cm} \cdot 12\ \text{cm} = 150\ \text{cm}^2 \) – gleiches Ergebnis.

Varianten

a) Trapez – Höhe über den Sinus, dann Fläche. Im Trapez \( ABCD \) ist \( a = 12\ \text{cm} \), \( c = 7\ \text{cm} \), der Schenkel \( d = 6\ \text{cm} \) und \( \alpha = 30^\circ \). Im rechtwinkligen Hilfsdreieck ist \( h \) die Gegenkathete von \( \alpha \):

\( h = d \cdot \sin \alpha = 6\ \text{cm} \cdot \sin 30^\circ = 3\ \text{cm} \)

\( A = \dfrac{1}{2} \cdot (12 + 7)\ \text{cm} \cdot 3\ \text{cm} = 28{,}5\ \text{cm}^2 \)

b) Satz des Thales. Über \( \overline{AB} \) mit \( 10\ \text{cm} \) wird ein Halbkreis gezeichnet, \( C \) liegt darauf, \( \alpha = 35^\circ \). Nach Thales ist das Dreieck bei \( C \) rechtwinklig, \( c \) ist die Hypotenuse:

\( \overline{AC} = 10\ \text{cm} \cdot \cos 35^\circ \approx 8{,}19\ \text{cm} \)

\( \overline{BC} = 10\ \text{cm} \cdot \sin 35^\circ \approx 5{,}74\ \text{cm} \)

\( A \approx \dfrac{1}{2} \cdot 5{,}74\ \text{cm} \cdot 8{,}19\ \text{cm} \approx 23{,}5\ \text{cm}^2 \)

c) Kreissektor mit \( r = 6\ \text{cm} \) und \( \alpha = 120^\circ \) (mit \( \pi \approx 3{,}14 \)):

\( A = 36\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 \cdot \dfrac{120^\circ}{360^\circ} = 37{,}68\ \text{cm}^2 \)

\( b = 2 \cdot 6\ \text{cm} \cdot 3{,}14 \cdot \dfrac{1}{3} = 12{,}56\ \text{cm} \)

d) Voraussetzung nennen (typische Teil-A-Aufgabe). Im Dreieck \( ABC \) soll \( \sin \alpha = \frac{a}{c} \) gelten. Welche Voraussetzung muss erfüllt sein?

Antwort: Das Dreieck muss rechtwinklig sein, und zwar mit dem rechten Winkel bei \( C \). Nur dann ist \( c \) die Hypotenuse und \( a \) die Gegenkathete von \( \alpha \). In einem beliebigen Dreieck gilt diese Beziehung nicht.

Typische Fehler

• Pythagoras im nicht rechtwinkligen Dreieck angewendet. Immer zuerst den rechten Winkel suchen.
• Falsche Seite als Hypotenuse. Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel – nicht automatisch die waagrechte Seite.
• \( p \) und \( q \) vertauscht. \( p \) liegt an \( a \), \( q \) an \( b \). Kontrolle: \( p + q = c \).
• sin und cos verwechselt. Merke: sin geht mit der Gegenkathete, cos mit der Ankathete.
• Taschenrechner im Bogenmaß (RAD statt DEG).
• Winkel nicht zurückgerechnet. Aus \( \sin \alpha = 0{,}6 \) wird \( \alpha \) erst mit \( \sin^{-1} \).
• Beim Quadrieren die Einheit vergessen: \( 225\ \text{cm}^2 \) ergibt \( 15\ \text{cm} \), nicht \( 15\ \text{cm}^2 \).

Das musst Du wissen

Strahlensatz (früher auch Vierstreckensatz): Werden zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt \( Z \) von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann gilt:

\( \dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}} = \dfrac{\overline{ZA‘}}{\overline{ZB‘}} \qquad \text{und} \qquad \dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}} = \dfrac{\overline{AA‘}}{\overline{BB‘}} \)

Merksatz: Verhältnisse auf dem einen Strahl = Verhältnisse auf dem anderen Strahl. Wichtig ist, dass Du immer beide Male vom selben Punkt aus misst.

Zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor \( k \):

\( k > 1 \): Die Figur wird größer.   \( 0 < k < 1 \): Die Figur wird kleiner.

Umgekehrt: \( k = \sqrt{\dfrac{A‘}{A}} \)   und   \( k = \sqrt[3]{\dfrac{V‘}{V}} \)

Schritt für Schritt

1. Zentrum \( Z \) suchen – der Punkt, in dem sich die beiden Strahlen treffen.
2. Parallele Geraden markieren. Ohne Parallelität gilt der Strahlensatz nicht.
3. Verhältnisgleichung aufstellen: links die beiden Strecken auf dem einen Strahl, rechts die entsprechenden auf dem anderen – immer von \( Z \) aus gemessen.
4. Nach der gesuchten Strecke auflösen.
5. Antwortsatz mit Einheit schreiben.

Vorsicht: In der Angabe stehen häufig Teilstrecken wie \( \overline{AB} \). Für den Strahlensatz brauchst Du aber die ganze Strecke \( \overline{ZB} = \overline{ZA} + \overline{AB} \).

Beispiel: Strecken am Strahlensatz berechnen

In der Skizze gilt \( \overline{ZA} = 4\ \text{cm} \), \( \overline{AB} = 6\ \text{cm} \) und \( \overline{ZA‘} = 6\ \text{cm} \). Berechne \( \overline{ZB‘} \) und \( \overline{A’B‘} \).

Zuerst die ganze Strecke auf dem ersten Strahl:

\( \overline{ZB} = 4\ \text{cm} + 6\ \text{cm} = 10\ \text{cm} \)

\( \dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{\overline{ZB‘}} \quad \Rightarrow \quad \overline{ZB‘} = \dfrac{10 \cdot 6}{4}\ \text{cm} = 15\ \text{cm} \)

\( \overline{A’B‘} = 15\ \text{cm} – 6\ \text{cm} = 9\ \text{cm} \)

Varianten

a) Wie hoch ist der Baum? Eine 1,70 m große Person wirft einen 2,50 m langen Schatten. Der Schatten eines Baumes ist zur selben Zeit 12,50 m lang. Sonnenstrahlen treffen praktisch parallel auf, Person und Baum stehen senkrecht:

\( \dfrac{h}{1{,}70\ \text{m}} = \dfrac{12{,}50\ \text{m}}{2{,}50\ \text{m}} \quad \Rightarrow \quad h = \dfrac{1{,}70 \cdot 12{,}50}{2{,}50}\ \text{m} = 8{,}50\ \text{m} \)

b) Zentrische Streckung – Längen und Fläche. Ein Dreieck hat \( a = 6\ \text{cm} \), \( b = 8\ \text{cm} \), \( c = 10\ \text{cm} \) und \( A = 24\ \text{cm}^2 \). Es wird mit \( k = 1{,}5 \) zentrisch gestreckt:

\( a‘ = 9\ \text{cm} \qquad b‘ = 12\ \text{cm} \qquad c‘ = 15\ \text{cm} \)

\( A‘ = A \cdot k^2 = 24\ \text{cm}^2 \cdot 2{,}25 = 54\ \text{cm}^2 \)

Die Winkel ändern sich nicht.

c) Streckungsfaktor aus einem Flächen- oder Volumenverhältnis.

Fläche auf das 6,25-fache: \( k^2 = 6{,}25 \Rightarrow k = 2{,}5 \)

Volumen 27-mal so groß: \( k^3 = 27 \Rightarrow k = 3 \)

Radius einer Kugel vervierfacht: \( k = 4 \Rightarrow k^3 = 64 \)

d) Verhältnis ankreuzen (typische Teil-A-Aufgabe). Welche Gleichung ist richtig: \( \dfrac{\overline{ZA}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{ZB‘}}{\overline{A’B‘}} \) oder \( \dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}} = \dfrac{\overline{ZA‘}}{\overline{ZB‘}} \)?

Antwort: Richtig ist die zweite. In der ersten stehen einmal eine Teilstrecke und einmal eine ganze Strecke – das passt nicht zusammen. Beim Strahlensatz müssen auf beiden Seiten einander entsprechende Strecken stehen.

Typische Fehler

• Teilstrecke statt ganzer Strecke. \( \overline{ZB} = \overline{ZA} + \overline{AB} \) – das ist der häufigste Fehler bei diesem Thema.
• Verhältnisse nicht einander zugeordnet.
• Parallelität nicht geprüft.
• Bei Flächen mit \( k \) statt \( k^2 \) gerechnet (und bei Volumina mit \( k \) statt \( k^3 \)).
• \( k \) aus einem Flächenverhältnis ohne Wurzel bestimmt.
• Winkel mitgestreckt. Winkel bleiben gleich.
• Einheiten gemischt (m und cm).

Das musst Du wissen

Beim Kegel ist \( s \) die Mantellinie: \( s = \sqrt{r^2 + h^2} \) (Pythagoras).

Dichte: \( \varrho = \dfrac{m}{V} \), also \( m = \varrho \cdot V \) und \( V = \dfrac{m}{\varrho} \).

Einheiten: \( 1\ \text{cm}^3 = 1000\ \text{mm}^3 \) · \( 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3 \) · \( 1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3 \) · \( 1\ \text{l} = 1\ \text{dm}^3 \) · \( 1\ \text{ml} = 1\ \text{cm}^3 \). In der Prüfung wird mit \( \pi \approx 3{,}14 \) gerechnet.

Schritt für Schritt

1. Skizze machen und den Körper in bekannte Grundkörper zerlegen.
2. Radius prüfen: Ist der Durchmesser gegeben? Dann zuerst \( r = \frac{d}{2} \).
3. Einheiten angleichen – alles in dieselbe Einheit, bevor Du rechnest.
4. Formel(n) hinschreiben, dann Zahlen einsetzen.
5. Bei Oberflächen überlegen: Welche Flächen sind nach dem Zusammensetzen noch sichtbar? Verdeckte Kreisflächen zählen nicht mit.
6. Sinnvoll runden, Einheit dazuschreiben, Antwortsatz formulieren.

Beispiel: Kugel – Volumen, Oberfläche und Masse

Eine Stahlkugel hat den Durchmesser \( d = 12\ \text{cm} \). Stahl hat die Dichte \( \varrho = 7{,}8\ \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \).

Zuerst der Radius: \( r = \dfrac{12\ \text{cm}}{2} = 6\ \text{cm} \).

\( V = \dfrac{4}{3} \cdot 216\ \text{cm}^3 \cdot 3{,}14 = 904{,}32\ \text{cm}^3 \)

\( O = 4 \cdot 36\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 = 452{,}16\ \text{cm}^2 \)

\( m = \varrho \cdot V = 7{,}8\ \tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 904{,}32\ \text{cm}^3 \approx 7053{,}7\ \text{g} \approx 7{,}05\ \text{kg} \)

Die Kugel hat \( V = \) 904,32 cm³, \( O = \) 452,16 cm² und wiegt rund 7,05 kg.

Varianten

a) Hohlkugel – Volumendifferenz. Außenradius \( r_a = 6\ \text{cm} \), Innenradius \( r_i = 5\ \text{cm} \):

\( V = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot \left(r_a^3 – r_i^3\right) = \dfrac{4}{3} \cdot 3{,}14 \cdot (216 – 125)\ \text{cm}^3 \approx 380{,}99\ \text{cm}^3 \)

Merke: \( r_a^3 – r_i^3 \) ist nicht dasselbe wie \( (r_a – r_i)^3 \).

b) Zusammengesetzter Körper: Zylinder mit zwei Halbkugeln. Ein Gasbehälter besteht aus einem Zylinder (\( r = 5\ \text{m} \), \( h = 20\ \text{m} \)) mit je einer aufgesetzten Halbkugel. Die beiden Halbkugeln ergeben zusammen eine ganze Kugel:

\( V_{\text{Zyl}} = 25\ \text{m}^2 \cdot 3{,}14 \cdot 20\ \text{m} = 1570\ \text{m}^3 \)

\( V_{\text{Kugel}} = \dfrac{4}{3} \cdot 125\ \text{m}^3 \cdot 3{,}14 \approx 523{,}33\ \text{m}^3 \)

\( V_{\text{ges}} \approx 2093{,}33\ \text{m}^3 \)

Bei der Oberfläche zählen die beiden Kreisflächen des Zylinders nicht mit – sie sind von den Halbkugeln verdeckt:

\( O = 2r\pi h + 4r^2\pi = 628\ \text{m}^2 + 314\ \text{m}^2 = 942\ \text{m}^2 \)

c) Kegel mit \( r = 3\ \text{cm} \) und \( h = 4\ \text{cm} \). Zuerst die Mantellinie:

\( s = \sqrt{3^2+4^2}\ \text{cm} = 5\ \text{cm} \)

\( V = \dfrac{1}{3} \cdot 9\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 \cdot 4\ \text{cm} = 37{,}68\ \text{cm}^3 \)

\( O = 28{,}26\ \text{cm}^2 + 47{,}10\ \text{cm}^2 = 75{,}36\ \text{cm}^2 \)

d) Wasserverdrängung. Ein unregelmäßiger Körper wird in ein zylindrisches Gefäß (\( r = 10\ \text{cm} \)) getaucht, der Wasserspiegel steigt um 3 cm. Das verdrängte Wasser bildet einen Zylinder:

\( V = 100\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 \cdot 3\ \text{cm} = 942\ \text{cm}^3 \)

e) Kugel im Würfel (typische Teil-A-Aufgabe). Ein Würfel hat \( O = 600\ \text{cm}^2 \). Welchen Radius hat die größtmögliche Kugel darin?

\( 6a^2 = 600\ \text{cm}^2 \ \Rightarrow \ a^2 = 100\ \text{cm}^2 \ \Rightarrow \ a = 10\ \text{cm} \)

Die größtmögliche Kugel berührt alle sechs Seitenflächen, ihr Durchmesser ist also genau die Würfelkante: \( r = 5\ \text{cm} \).

Typische Fehler

• Durchmesser statt Radius eingesetzt.
• Der Faktor \( \frac{1}{3} \) beim Kegel oder bei der Pyramide fehlt.
• Einheiten nicht angeglichen: \( 1\ \text{dm}^3 \) sind 1000 cm³, nicht 10 cm³.
• Bei zusammengesetzten Körpern alle Flächen addiert. Verdeckte Flächen zählen nicht mit.
• \( r_a^3 – r_i^3 \) mit \( (r_a – r_i)^3 \) verwechselt.
• Mantellinie \( s \) mit der Höhe \( h \) verwechselt. \( s \) ist immer länger als \( h \).
• Volumen und Oberfläche vertauscht. Die Einheit ist Deine Kontrolle: cm³ gegen cm².

Das musst Du wissen

\( P(E) = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} \)  (Laplace)

Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs dieses Pfades.

Summenregel: Gehören mehrere Pfade zum selben Ereignis, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.

Gegenereignis: \( P(\overline{E}) = 1 – P(E) \)

Mit oder ohne Zurücklegen?

• mit Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeiten bleiben auf jeder Stufe gleich.
• ohne Zurücklegen: Auf jeder Stufe wird der Nenner um 1 kleiner; beim gezogenen Objekt auch der Zähler.

Kontrolle: Die Wahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten weggehen, ergeben zusammen immer 1. Ebenso ergeben alle Pfadwahrscheinlichkeiten zusammen 1.

Kombinatorik – wie viele Möglichkeiten gibt es?

\( n \) Dinge in eine Reihenfolge bringen: \( n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \)

\( k \) aus \( n \) mit Reihenfolge, ohne Wiederholung: \( n \cdot (n-1) \cdot \ldots \) (\( k \) Faktoren)

\( k \) aus \( n \) mit Reihenfolge, mit Wiederholung: \( n^k \)

Beispiel: Ziehen ohne Zurücklegen

In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen, ohne sie zurückzulegen (siehe Baumdiagramm).

Kontrolle: \( \frac{6}{20} + \frac{6}{20} + \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{20}{20} = 1 \) – das Baumdiagramm ist vollständig.

a) Zwei rote Kugeln? Nur der Pfad \( rr \) ist günstig:

\( P = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3 = 30\ \% \)

b) Genau eine rote Kugel? Günstig sind die Pfade \( rb \) und \( br \) (Summenregel):

\( P = \dfrac{6}{20} + \dfrac{6}{20} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 = 60\ \% \)

c) Mindestens eine rote Kugel? Das ist das Gegenteil von „keine rote“, also von \( bb \):

\( P = 1 – \dfrac{2}{20} = \dfrac{18}{20} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9 = 90\ \% \)

Über das Gegenereignis bist Du mit einer Rechnung fertig statt mit drei.

Varianten

a) Dasselbe Experiment, aber mit Zurücklegen. Die gezogene Kugel kommt zurück, es liegen also immer wieder 5 Kugeln in der Urne:

\( P(rr) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25} = 0{,}36 = 36\ \% \)

Vergleich: Ohne Zurücklegen waren es nur 30 % – nach dem ersten Zug ist eine rote Kugel weniger da.

b) Fehler im Baumdiagramm finden (typische Teil-A-Aufgabe). Bei „Ziehen ohne Zurücklegen“ aus einer Urne mit 5 Kugeln steht auf der zweiten Stufe erneut der Nenner 5.

Antwort: Beim Ziehen ohne Zurücklegen bleibt die gezogene Kugel draußen. Vor dem zweiten Zug sind deshalb nur noch 4 Kugeln in der Urne. Der Nenner muss also 4 statt 5 lauten.

c) Kombinatorik.

4 verschiedene Bücher ins Regal: \( 4! = 24 \) Möglichkeiten

3 aus 10 Losen nacheinander ziehen: \( 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \) Reihenfolgen

dreistellige Zahlen aus 1, 2, 3 mit Wiederholung: \( 3^3 = 27 \)

dreistellige Zahlen aus 1, 2, 3 ohne Wiederholung: \( 3! = 6 \)

d) Anzahl aus einer Wahrscheinlichkeit zurückrechnen. In einer Urne liegen 20 Kugeln, \( P(\text{rot}) = 0{,}35 \):

\( \dfrac{x}{20} = 0{,}35 \quad \Rightarrow \quad x = 7 \)

In der Urne liegen 7 rote Kugeln (und 13 weiße).

Typische Fehler

• Beim Ziehen ohne Zurücklegen den Nenner nicht verkleinert.
• Pfade addiert statt multipliziert (oder umgekehrt). Merke: entlang eines Pfades mal, zwischen Pfaden plus.
• Bei „mindestens“ alle Pfade einzeln gerechnet. Das Gegenereignis ist fast immer kürzer.
• Einen Pfad vergessen. Bei „genau eine rote“ gehören \( rb \) und \( br \) dazu.
• Wahrscheinlichkeit größer als 1. \( P \) liegt immer zwischen 0 und 1.
• Baumdiagramm nicht beschriftet. Ohne Beschriftung der Äste gibt es keine vollen Punkte.

Dein Lernplan für die letzten Wochen

1. Geh die zehn Themen durch und markiere, was sitzt und was nicht.
2. Nimm Dir die Lücken einzeln vor: Merke-Kasten lesen, Beispiel selbst nachrechnen, dann eigene Aufgaben.
3. Übe Teil-A-Aufgaben grundsätzlich ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung – sonst kommt in der Prüfung die böse Überraschung.
4. Rechne zum Schluss eine ganze Original-Prüfung am Stück: 30 Minuten Teil A, dann 150 Minuten Teil B.

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