Trigonometrische Funktionen – Grundlagen
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Weitere Funktionen (Technik)
Periodische Vorgänge – Ebbe und Flut, Wechselstrom, Schall und Licht – beschreibt man mit den trigonometrischen Funktionen \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\). Wir bauen sie vom rechtwinkligen Dreieck über den Einheitskreis bis zur allgemeinen Sinusfunktion auf, mit der sich reale Schwingungen modellieren lassen.
1 Grundbegriffe
Im rechtwinkligen Dreieck
Für einen spitzen Winkel \(\alpha\) im rechtwinkligen Dreieck:
\(\sin\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\quad \cos\alpha=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\quad \tan\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)
Beispiel A. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse \(10\ \text{cm}\) lang, \(\alpha=30^\circ\). Wie lang ist die Gegenkathete von \(\alpha\)?
| \(\sin 30^\circ=\dfrac{\text{Geg}}{10}\Rightarrow \text{Geg}=10\cdot\sin 30^\circ=10\cdot\tfrac12=5\ \text{cm}\) |
Am Einheitskreis (auch für beliebige Winkel)
Der Einheitskreis erweitert die Definition auf alle Winkel: Zu \(\alpha\) gehört der Punkt \(P(\cos\alpha\mid\sin\alpha)\).
Aus den Koordinaten von \(P\) ergeben sich die Vorzeichen je Quadrant und die Grundbeziehung \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\):
| Quadrant | I | II | III | IV |
| \(\sin\alpha\) | + | + | − | − |
| \(\cos\alpha\) | + | − | − | + |
| \(\tan\alpha\) | + | − | + | − |
Bogenmaß und exakte Werte
Diese exakten Werte sollte man auswendig kennen:
| \(\alpha\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) |
| \(x\) (Bogenmaß) | \(0\) | \(\tfrac{\pi}{6}\) | \(\tfrac{\pi}{4}\) | \(\tfrac{\pi}{3}\) | \(\tfrac{\pi}{2}\) |
| \(\sin\) | \(0\) | \(\tfrac12\) | \(\tfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
| \(\cos\) | \(1\) | \(\tfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\tfrac12\) | \(0\) |
| \(\tan\) | \(0\) | \(\tfrac{\sqrt3}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt3\) | n. d. |
2 Graphen und Eigenschaften von \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\)
| Funktion | \(D_f\) | \(W_f\) | Periode | Nullstellen | Symmetrie |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=\sin x\) | \(\mathbb{R}\) | \([-1;1]\) | \(2\pi\) | \(x=k\pi\) | punktsymmetrisch zu \(O\) (ungerade) |
| \(f(x)=\cos x\) | \(\mathbb{R}\) | \([-1;1]\) | \(2\pi\) | \(x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\) | achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (gerade) |
Die Tangensfunktion \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) hat dort Definitionslücken (und senkrechte Asymptoten), wo \(\cos x=0\) ist:
| Funktion | \(D_f\) | \(W_f\) | Periode | Nullstellen | Symmetrie |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=\tan x\) | \(\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\pi\) | \(x=k\pi\) | punktsymmetrisch zu \(O\) |
3 Die allgemeine Sinusfunktion
\(f(x)=a\cdot\sin(b\,x+c)+d\)
| Parameter | Wirkung auf den Graphen |
|---|---|
| \(a\) | Amplitude \(|a|\): halbe Höhe zwischen Tief- und Hochpunkt (\(a<0\) spiegelt zusätzlich) |
| \(b\) | bestimmt die Periode \(T=\dfrac{2\pi}{b}\) (Stauchung/Streckung in \(x\)) |
| \(c\) | Phasenverschiebung in \(x\)-Richtung (um \(-\tfrac{c}{b}\)) |
| \(d\) | vertikale Verschiebung: die Mittellinie ist \(y=d\) |
Eigenschaften von \(f(x)=a\sin(bx+c)+d\) (mit \(a,b>0\)):
- \(D_f=\mathbb{R}\), Wertemenge \(W_f=[\,d-a\,;\,d+a\,]\)
- Periode \(T=\dfrac{2\pi}{b}\), Mittellinie \(y=d\)
- Hochpunkte auf Höhe \(d+a\), Tiefpunkte auf Höhe \(d-a\)
4 Beispiele mit Progression
Stufe 2 · hilfsmittelfreiEigenschaften ablesen
Beispiel B. \(f(x)=2\sin(x)+1\): \(a=2\), \(b=1\Rightarrow T=2\pi\), \(d=1\), \(W_f=[-1;3]\).
Beispiel C. \(g(x)=3\sin(2x)-1\): \(a=3\), \(b=2\Rightarrow T=\pi\), \(d=-1\), \(W_g=[-4;2]\).
Stufe 2-3 · mit HilfsmittelGrad und Bogenmaß
Beispiel D. Rechnen Sie um.
| \(120^\circ=\dfrac{\pi}{180^\circ}\cdot120^\circ=\dfrac{2\pi}{3}\) | |
| \(\dfrac{3\pi}{4}\,\hat{=}\,\dfrac{180^\circ}{\pi}\cdot\dfrac{3\pi}{4}=135^\circ\) |
Stufe 4 · PrüfungsniveauFunktionsterm aus dem Graphen
Beispiel E. Ein Graph vom Typ \(a\sin(bx)+d\) schwankt zwischen \(1\) und \(5\) mit Periode \(4\).
| Mittellinie \(d=\tfrac{5+1}{2}=3\), Amplitude \(a=\tfrac{5-1}{2}=2\) | |
| \(T=4=\tfrac{2\pi}{b}\Rightarrow b=\tfrac{\pi}{2}\) | |
| \(f(x)=2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)+3\) |
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Die Periode als \(T=b\) angeben.
✓ Richtig
Die Periode ist \(T=\dfrac{2\pi}{b}\) – größeres \(b\) heisst kürzere Periode.
✗ Falsch
Amplitude mit Vorzeichen; Wertemenge als \([-a;a]\).
✓ Richtig
Amplitude \(=|a|\); Wertemenge \(=[\,d-a\,;\,d+a\,]\) um die Mittellinie \(y=d\).
✗ Falsch
Bei \(\tan x\) die Definitionslücken vergessen.
✓ Richtig
\(\tan x\) ist bei \(x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\) nicht definiert (Asymptoten), da dort \(\cos x=0\).
✗ Falsch
\(\sin\) und \(\cos\) bei Symmetrie verwechseln.
✓ Richtig
\(\sin\) ist ungerade (punktsymmetrisch zu \(O\)), \(\cos\) gerade (achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse).
✗ Falsch
Grad und Bogenmaß vermischen.
✓ Richtig
Für \(\sin,\cos,\tan\) das Bogenmaß verwenden; Taschenrechner entsprechend einstellen.
Auf einen Blick
- Dreieck: \(\sin=\tfrac{\text{Geg}}{\text{Hyp}}\), \(\cos=\tfrac{\text{Ank}}{\text{Hyp}}\), \(\tan=\tfrac{\text{Geg}}{\text{Ank}}\).
- Einheitskreis: \(P(\cos\alpha\mid\sin\alpha)\), \(\sin^2+\cos^2=1\); exakte Werte kennen.
- Grundfunktionen: \(\sin,\cos\): \(W=[-1;1]\), \(T=2\pi\); \(\tan\): \(T=\pi\), Asymptoten bei \(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\).
- Allgemeine Form: \(a\sin(bx+c)+d\) – \(a\) Amplitude, \(T=\tfrac{2\pi}{b}\), \(d\) Mittellinie, \(W=[d-a;d+a]\).
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Trainieren Sie Einheitskreis, exakte Werte, Grad/Bogenmaß und die allgemeine Sinusfunktion – für die FOS/BOS 12 Bayern (Technik).