Trigonometrische Funktionen – Grundlagen
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Weitere Funktionen (Technik)
Periodische Vorgänge – Ebbe und Flut, Wechselstrom, Schall und Licht – beschreibt man mit den trigonometrischen Funktionen \(\sin \), \(\cos\), \(\tan\). Wir bauen sie vom rechtwinkligen Dreieck über den Einheitskreis bis zur allgemeinen Sinusfunktion auf, mit der sich reale Schwingungen modellieren lassen.
1 Grundbegriffe
Im rechtwinkligen Dreieck
Für einen spitzen Winkel (alpha) im rechtwinkligen Dreieck:
\(sinalpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\quad cosalpha=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\quad tanalpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)
Beispiel A. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse \(10 \text{cm}\) lang, \(\alpha=30^circ\). Wie lang ist die Gegenkathete von (alpha)?
| \(\sin 30^circ=\dfrac{\text{Geg}}{10}\Rightarrow \text{Geg}=10\cdot \sin 30^circ=10\cdot \tfrac12=5 \text{cm}\) |
Am Einheitskreis (auch für beliebige Winkel)
Der Einheitskreis erweitert die Definition auf alle Winkel: Zu (alpha) gehört der Punkt (P(cosalphamidsinalpha)).
Aus den Koordinaten von (P) ergeben sich die Vorzeichen je Quadrant und die Grundbeziehung \(\sin ^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\):
| Quadrant | I | II | III | IV |
| (sinalpha) | + | + | − | − |
| (cosalpha) | + | − | − | + |
| (tanalpha) | + | − | + | − |
Bogenmaß und exakte Werte
Diese exakten Werte sollte man auswendig kennen:
| (alpha) | \(0^circ\) | \(30^circ\) | \(45^circ\) | \(60^circ\) | \(90^circ\) |
| (x) (Bogenmaß) | (0) | \(\tfrac{\pi}{6}\) | \(\tfrac{\pi}{4}\) | \(\tfrac{\pi}{3}\) | \(\tfrac{\pi}{2}\) |
| \(\sin \) | (0) | \(\tfrac 12\) | \(\tfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt3}{2}\) | (1) |
| \(\cos\) | (1) | \(\tfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\tfrac 12\) | (0) |
| \(\tan\) | (0) | \(\tfrac{\sqrt3}{3}\) | (1) | \(\sqrt3\) | n. d. |
2 Graphen und Eigenschaften von \(\sin \), \(\cos\), \(\tan\)
| Funktion | \(D_f\) | \(W_f\) | Periode | Nullstellen | Symmetrie |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=\sin x\) | \(\mathbb{R}\) | ([-1;1]) | \(2\pi\) | \(x=kpi\) | punktsymmetrisch zu (O) (ungerade) |
| \(f(x)=\cos x\) | \(\mathbb{R}\) | ([-1;1]) | \(2\pi\) | \(x=\tfrac{\pi}{2}+kpi\) | achsensymmetrisch zur (y)-Achse (gerade) |
Die Tangensfunktion \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) hat dort Definitionslücken (und senkrechte Asymptoten), wo \(\cos x=0\) ist:
| Funktion | \(D_f\) | \(W_f\) | Periode | Nullstellen | Symmetrie |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=\tan x\) | \(\mathbb{R}setminus{\tfrac{\pi}{2}+kpi}\) | \(\mathbb{R}\) | (pi) | \(x=kpi\) | punktsymmetrisch zu (O) |
3 Die allgemeine Sinusfunktion
\(f(x)=a\cdot \sin (b,x+c)+d\)
| Parameter | Wirkung auf den Graphen |
|---|---|
| (a) | Amplitude (|a|): halbe Höhe zwischen Tief- und Hochpunkt (\(a \lt 0\) spiegelt zusätzlich) |
| (b) | bestimmt die Periode \(T=\dfrac{2\pi}{b}\) (Stauchung/Streckung in (x)) |
| (c) | Phasenverschiebung in (x)-Richtung \(um (-\tfrac{c}{b})\) |
| (d) | vertikale Verschiebung: die Mittellinie ist \(y=d\) |
Eigenschaften von \(f(x)=asin(bx+c)+d\) (mit \(a,b \gt 0\)):
- \(D_f=\mathbb{R}\), Wertemenge \(W_f=[,d-a,;,d+a,]\)
- Periode \(T=\dfrac{2\pi}{b}\), Mittellinie \(y=d\)
- Hochpunkte auf Höhe (d+a), Tiefpunkte auf Höhe (d-a)
4 Beispiele mit Progression
Stufe 2 · hilfsmittelfreiEigenschaften ablesen
Beispiel B. \(f(x)=2\sin (x)+1\): \(a=2\), \(b=1\Rightarrow T=2\pi\), \(d=1\), \(W_f=[-1;3]\).
Beispiel C. \(g(x)=3\sin (2x)-1\): \(a=3\), \(b=2\Rightarrow T=\pi\), \(d=-1\), \(W_g=[-4;2]\).
Stufe 2-3 · mit HilfsmittelGrad und Bogenmaß
Beispiel D. Rechnen Sie um.
| \(120^circ=\dfrac{\pi}{180^circ}\cdot120^circ=\dfrac{2\pi}{3}\) | |
| \(\dfrac{3\pi}{4},\hat{=},\dfrac{180^circ}{\pi}\cdot\dfrac{3\pi}{4}=135^circ\) |
Stufe 4 · PrüfungsniveauFunktionsterm aus dem Graphen
Beispiel E. Ein Graph vom Typ (asin(bx)+d) schwankt zwischen (1) und (5) mit Periode (4).
| Mittellinie \(d=\tfrac{5+1}{2}=3\), Amplitude \(a=\tfrac{5-1}{2}=2\) | |
| \(T=4=\tfrac{2\pi}{b}\Rightarrow b=\tfrac{\pi}{2}\) | |
| \(f(x)=2\sin\left(\tfrac{\pi}{2}x\right )+3\) |
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Die Periode als \(T=b\) angeben.
✓ Richtig
Die Periode ist \(T=\dfrac{2\pi}{b}\) – größeres (b) heisst kürzere Periode.
✗ Falsch
Amplitude mit Vorzeichen; Wertemenge als ([-a;a]).
✓ Richtig
Amplitude \(=|a|\); Wertemenge \(=[,d-a,;,d+a,]\) um die Mittellinie \(y=d\).
✗ Falsch
Bei \(\tan x\) die Definitionslücken vergessen.
✓ Richtig
\(\tan x\) ist bei \(x=\tfrac{\pi}{2}+kpi\) nicht definiert (Asymptoten), da dort \(\cos x=0\).
✗ Falsch
\(\sin \) und \(\cos\) bei Symmetrie verwechseln.
✓ Richtig
\(\sin \) ist ungerade (punktsymmetrisch zu (O)), \(\cos\) gerade (achsensymmetrisch zur (y)-Achse).
✗ Falsch
Grad und Bogenmaß vermischen.
✓ Richtig
Für \(\sin ,\cos,\tan\) das Bogenmaß verwenden; Taschenrechner entsprechend einstellen.
Auf einen Blick
- Dreieck: \(\sin =\tfrac{\text{Geg}}{\text{Hyp}}\), \(\cos=\tfrac{\text{Ank}}{\text{Hyp}}\), \(\tan=\tfrac{\text{Geg}}{\text{Ank}}\).
- Einheitskreis: (P(cosalphamidsinalpha)), \(\sin ^2+\cos^2=1\); exakte Werte kennen.
- Grundfunktionen: \(\sin ,\cos\): \(W=[-1;1]\), \(T=2\pi\); \(\tan\): \(T=\pi\), Asymptoten bei \(\tfrac{\pi}{2}+kpi\).
- Allgemeine Form: (asin(bx+c)+d) – (a) Amplitude, \(T=\tfrac{2\pi}{b}\), (d) Mittellinie, \(W=[d-a;d+a]\).
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