Mathematik Realschule Bayern · Klasse 10 · Lernbereich 1 „Trigonometrie“ (LehrplanPLUS) · BY

Trigonometrie in Klasse 10: vom rechtwinkligen Dreieck zum Einheitskreis und zum beliebigen Dreieck

In Klasse 9 hast du Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck kennengelernt – Gegenkathete durch Hypotenuse und so weiter. Diese Definition hat zwei Grenzen: Sie funktioniert nur bis 90°, und sie funktioniert nur, wenn irgendwo ein rechter Winkel steckt. Genau diese beiden Grenzen räumst du in Klasse 10 aus dem Weg. Der Einheitskreis erklärt dir, was \( \sin 120^\circ \) bedeuten soll, und Sinussatz und Kosinussatz machen jedes beliebige Dreieck berechenbar.

Inhalt dieser Seite

1. Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis
2. Die zwei Grundbeziehungen: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) und \( \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \)
3. Taschenrechner, negative Winkel und die Supplementbeziehung
4. Der Graph der Sinusfunktion und periodische Vorgänge
5. Winkel zwischen Geraden: \( m = \tan\alpha \)
6. Der Sinussatz im beliebigen Dreieck
7. Der Kosinussatz
8. Der Flächeninhalt mit dem Sinus
9. Anwendungen in der ebenen und räumlichen Geometrie
10. Das Wichtigste in Kürze
11. Nur für Mathematik I: Kosinus- und Tangensgraph, Komplementbeziehungen, Additionstheoreme, Skalarprodukt

1. Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis

Der Einheitskreis ist der Kreis um den Koordinatenursprung mit dem Radius \( r = 1 \). Du trägst den Winkel \( \alpha \) von der positiven \( x \)-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn ab. Der zweite Schenkel schneidet den Kreis in einem Punkt \( P \). Die Definition lautet dann ganz schlicht:

Der Kosinus ist die \( x \)-Koordinate, der Sinus die \( y \)-Koordinate dieses Punktes. Mehr steckt nicht dahinter. Der Tangens ist der Quotient \( \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \) – anschaulich die Steigung des zweiten Schenkels.

Fällst du von \( P \) das Lot auf die \( x \)-Achse, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 1 – die alte Definition aus Klasse 9 steckt also weiterhin drin.

Warum das die alte Definition fortsetzt

In diesem Dreieck ist die Hypotenuse der Radius, also \( 1 \). Damit gilt \( \sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{1} = \text{Gegenkathete} \) und \( \cos\alpha = \frac{\text{Ankathete}}{1} = \text{Ankathete} \). Für spitze Winkel liefert der Einheitskreis exakt dasselbe wie Klasse 9. Neu ist nur: Der Punkt \( P \) kann jetzt auch links oder unterhalb des Ursprungs liegen – und dann werden seine Koordinaten negativ.

Beispiel – \( \alpha = 120^\circ \) durchgerechnet

Der Punkt \( P \) liegt im II. Quadranten. Das Hilfsdreieck hat am Ursprung den Winkel \( 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ \). Also ist die waagrechte Strecke \( \cos 60^\circ = 0{,}5 \) lang, aber nach links gerichtet, und die senkrechte \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866 \) nach oben.

Kontrolle 1 (Taschenrechner): \( \sin 120^\circ = 0{,}8660\ldots \) ✓  ·  \( \cos 120^\circ = -0{,}5 \) ✓  ·  \( \tan 120^\circ = -1{,}7320\ldots \) ✓
Kontrolle 2 (Satz des Pythagoras im Hilfsdreieck): \( (-0{,}5)^2 + 0{,}866^2 = 0{,}25 + 0{,}75 = 1 = r^2 \) ✓. Der Punkt liegt tatsächlich auf dem Einheitskreis.

Die Wertebereiche

Weil \( P \) immer auf dem Kreis mit Radius 1 liegt, können seine Koordinaten nie größer als 1 und nie kleiner als \( -1 \) werden. Der Tangens dagegen ist ein Quotient und wächst über alle Grenzen, wenn \( \cos\alpha \) gegen 0 geht.

Merke dir daraus sofort eine Fehlerbremse: Kommt bei dir jemals \( \sin\alpha = 1{,}4 \) heraus, hast du dich verrechnet. Es gibt keinen Winkel mit diesem Sinuswert.

Die Vorzeichen in den vier Quadranten

2. Die zwei Grundbeziehungen

Aus der Einheitskreis-Definition folgen zwei Formeln, die du bis zur Abschlussprüfung auswendig brauchst. Beide kannst du dir in zwei Zeilen selbst herleiten.

Der „trigonometrische Pythagoras“

Der Punkt \( P(\cos\alpha\,|\,\sin\alpha) \) liegt auf dem Kreis mit Radius 1. Nach dem Satz des Pythagoras gilt für seinen Abstand vom Ursprung \( x^2 + y^2 = r^2 \), also:

Das ist keine neue Formel, sondern der alte Satz des Pythagoras in trigonometrischer Schreibweise. Schreibweise-Hinweis: \( \sin^2\alpha \) bedeutet \( (\sin\alpha)^2 \) – erst den Sinus bilden, dann quadrieren, niemals \( \sin(\alpha^2) \).

Der Tangens als Quotient

Der zweite Schenkel geht durch den Ursprung und durch \( P(\cos\alpha\,|\,\sin\alpha) \). Seine Steigung ist „\( y \) durch \( x \)“:

Die Steigung der Hypotenuse ist Höhe durch Breite, also \( \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \) – und genau das ist der Tangens.

Beispiel – aus einem Wert die beiden anderen berechnen

Gegeben ist \( \sin\alpha = 0{,}6 \). Berechne \( \cos\alpha \) und \( \tan\alpha \) für den Fall, dass \( \alpha \) spitz ist.

Kontrolle 1 (Umkehrfunktion): \( \alpha = \sin^{-1}(0{,}6) = 36{,}8699^\circ \). Damit \( \cos 36{,}8699^\circ = 0{,}8000 \) ✓ und \( \tan 36{,}8699^\circ = 0{,}7500 \) ✓.
Kontrolle 2 (Grundbeziehung rückwärts): \( 0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1 \) ✓. Es ist übrigens genau das 3-4-5-Dreieck: \( 0{,}6 = \frac{3}{5} \), \( 0{,}8 = \frac{4}{5} \).

Die Falle: das Vorzeichen der Wurzel

Wäre \( \alpha \) stumpf, läge \( P \) im II. Quadranten und der Kosinus wäre negativ: \( \cos\alpha = -0{,}8 \) und \( \tan\alpha = \frac{0{,}6}{-0{,}8} = -0{,}75 \). Kontrolle: \( \alpha = 180^\circ – 36{,}8699^\circ = 143{,}1301^\circ \), und \( \cos 143{,}1301^\circ = -0{,}8000 \) ✓. Beim Wurzelziehen musst du also immer nachdenken, in welchem Quadranten der Winkel liegt – die Gleichung allein entscheidet das nicht.

3. Taschenrechner, negative Winkel und die Supplementbeziehung

Bevor du irgendetwas rechnest: Der Taschenrechner muss auf DEG (Gradmaß) stehen, nicht auf RAD oder GRA. Steht im Display ein kleines R oder RAD, sind alle deine Ergebnisse falsch. Kurztest: \( \sin 30^\circ \) muss genau \( 0{,}5 \) ergeben.

Negative Winkel

Ein negativer Winkel wird am Einheitskreis im Uhrzeigersinn abgetragen. Der Punkt \( P \) wird dadurch an der \( x \)-Achse gespiegelt: Die \( x \)-Koordinate bleibt, die \( y \)-Koordinate wechselt das Vorzeichen.

Kontrolle: Der Taschenrechner liefert \( \sin(-30^\circ) = -0{,}5 \) und \( \cos(-30^\circ) = 0{,}86602\ldots \) ✓. Zweite Kontrolle über die Grundbeziehung: \( (-0{,}5)^2 + 0{,}866^2 = 0{,}25+0{,}75 = 1 \) ✓.

Rückwärts: vom Wert zum Winkel – und die Supplementbeziehung

Jetzt kommt der wichtigste Punkt dieses Kapitels. Sieh dir im Einheitskreis an, was passiert, wenn du den Punkt \( P \) an der \( y \)-Achse spiegelst: Aus dem Winkel \( \alpha \) wird der Winkel \( 180^\circ – \alpha \) – sein Supplementwinkel. Die \( y \)-Koordinate ändert sich dabei nicht, die \( x \)-Koordinate wechselt das Vorzeichen:

Beide Punkte liegen auf derselben waagrechten Linie. Deshalb ist \( \sin 130^\circ = \sin 50^\circ \).

Beispiel – die Gleichung \( \sin\alpha = 0{,}766 \) für \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \) lösen

Kontrolle 1: \( \sin 50^\circ = 0{,}76604 \) ✓  ·  \( \sin 130^\circ = 0{,}76604 \) ✓. Beide Winkel erfüllen die Gleichung.
Kontrolle 2 (Kosinus als Unterscheidung): \( \cos 50^\circ = 0{,}6428 \), \( \cos 130^\circ = -0{,}6428 \). Die beiden Winkel sind wirklich verschieden – du erkennst sie am Vorzeichen des Kosinus.

Beim Kosinus ist es anders

Löst du \( \cos\alpha = -0{,}5 \) im Bereich \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \), liefert der Taschenrechner \( \alpha = \cos^{-1}(-0{,}5) = 120^\circ \) – und das ist die einzige Lösung. Denn der Kosinus fällt in diesem Bereich streng von \( 1 \) auf \( -1 \), jeder Wert kommt nur einmal vor. Der Kosinus zeigt dir das Vorzeichen und damit den Quadranten direkt an; der Sinus tut das nicht.

4. Der Graph der Sinusfunktion und periodische Vorgänge

Bisher hast du zu einzelnen Winkeln einzelne Sinuswerte berechnet. Jetzt betrachtest du \( \alpha \) als Variable und zeichnest die Funktion \( y = \sin\alpha \). Stell dir dazu vor, der Punkt \( P \) läuft einmal auf dem Einheitskreis herum – und du trägst laufend seine Höhe auf: erst hinauf auf 1, dann zurück auf 0, dann hinunter auf \( -1 \) und wieder zurück.

Nach 360° ist der Punkt wieder am Ausgangsort – danach wiederholt sich die Kurve unverändert.

Was du am Graphen ablesen können musst

Die Supplementbeziehung aus Kapitel 3 siehst du im Graphen als Spiegelsymmetrie zur Senkrechten bei 90°: Die Kurve ist links und rechts von \( 90^\circ \) gleich hoch, deshalb \( \sin 50^\circ = \sin 130^\circ \).

Beispiel – ein periodischer Vorgang aus dem Betrieb

Beim Holzwerk Brandl läuft eine Kreissäge mit einer Schwungscheibe vom Radius 40 cm. Ein Markierungspunkt auf dem Scheibenrand hat, gemessen ab der Nabenhöhe, die Höhe \( h(\alpha) = 40\ \text{cm} \cdot \sin\alpha \), wobei \( \alpha \) der Drehwinkel ist. Bei welchen Drehwinkeln zwischen 0° und 360° befindet sich der Punkt genau 20 cm über der Nabe?

Kontrolle 1 (einsetzen): \( 40\ \text{cm} \cdot \sin 30^\circ = 40\ \text{cm} \cdot 0{,}5 = 20\ \text{cm} \) ✓  ·  \( 40\ \text{cm} \cdot \sin 150^\circ = 40\ \text{cm} \cdot 0{,}5 = 20\ \text{cm} \) ✓.
Kontrolle 2 (am Graphen): Die Waagrechte auf halber Höhe zwischen Nulllinie und Hochpunkt schneidet den ansteigenden Ast einmal und den absteigenden Ast einmal – genau zwei Schnittpunkte, beide links von 180°. Passt zu \( 30^\circ \) und \( 150^\circ \). Antwort: Bei den Drehwinkeln 30° und 150°.

5. Winkel zwischen Geraden: \( m = \tan\alpha \)

Die Steigung einer Geraden \( y = mx + t \) ist „Höhenunterschied durch waagrechten Abstand“. Genau so ist der Tangens definiert. Damit hängen Steigung und Steigungswinkel unmittelbar zusammen:

Dabei ist \( \alpha \) der Winkel, den die Gerade mit der positiven \( x \)-Achse einschließt. Steigt die Gerade, ist \( \alpha \) spitz; fällt sie, liefert der Taschenrechner einen negativen Winkel, zu dem du \( 180^\circ \) addierst.

Beispiel 1 – Steigungswinkel einer Geraden

Welchen Steigungswinkel hat die Gerade \( y = 0{,}75x + 2 \)?

Kontrolle: \( \tan 36{,}87^\circ = 0{,}75001 \) ✓. Zweite Kontrolle über ein Steigungsdreieck: Gehst du 4 nach rechts, gehst du \( 0{,}75 \cdot 4 = 3 \) nach oben – das ist das 3-4-5-Dreieck aus Kapitel 2, dessen Winkel wir dort schon zu \( 36{,}8699^\circ \) berechnet haben ✓.

Beispiel 2 – Schnittwinkel zweier Geraden

Gegeben sind \( g: y = 2x – 2 \) und \( h: y = 0{,}5x + 1 \). Berechne den Schnittpunkt und den Schnittwinkel.

Kontrolle 1 (Probe des Schnittpunkts): In \( g \): \( 2 \cdot 2 – 2 = 2 \) ✓. In \( h \): \( 0{,}5 \cdot 2 + 1 = 2 \) ✓.
Kontrolle 2 (Schnittwinkelformel): \( \tan\varphi = \left|\dfrac{m_1 – m_2}{1 + m_1 m_2}\right| = \left|\dfrac{2 – 0{,}5}{1 + 2 \cdot 0{,}5}\right| = \dfrac{1{,}5}{2} = 0{,}75 \), also \( \varphi = \tan^{-1}(0{,}75) = 36{,}87^\circ \) ✓. Zwei völlig verschiedene Wege, dasselbe Ergebnis. Antwort: \( S(2\,|\,2) \), Schnittwinkel \( 36{,}87^\circ \).

Beispiel 3 – vom Winkel zur Funktionsgleichung

Eine Gerade verläuft durch \( P(1\,|\,3) \) und schließt mit der \( x \)-Achse einen Winkel von \( 60^\circ \) ein. Wie heißt ihre Gleichung?

Kontrolle 1 (Punktprobe): \( 1{,}732 \cdot 1 + 1{,}268 = 3{,}000 \) ✓.
Kontrolle 2 (Winkel zurückrechnen): \( \tan^{-1}(1{,}732) = 59{,}9997^\circ \approx 60^\circ \) ✓.

6. Der Sinussatz im beliebigen Dreieck

Jetzt fällt die zweite Beschränkung aus Klasse 9: der rechte Winkel. In einem beliebigen Dreieck gilt, dass jede Seite und der Sinus des ihr gegenüberliegenden Winkels immer im selben Verhältnis stehen:

In Worten: Die längere Seite liegt dem größeren Winkel gegenüber – und zwar in genau diesem Verhältnis. Achte in jeder Aufgabe auf die Standardbezeichnung: Seite \( a \) liegt \( \alpha \) gegenüber, \( b \) liegt \( \beta \) gegenüber, \( c \) liegt \( \gamma \) gegenüber. Wer das verwechselt, rechnet zwangsläufig falsch.

Die längste Seite \( c \) liegt dem größten Winkel \( \gamma \) gegenüber, die kürzeste Seite \( a \) dem kleinsten Winkel \( \alpha \).

Wann du den Sinussatz nimmst

Immer dann, wenn du ein vollständiges Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel kennst – also in den Konstruktionsfällen WSW, SWW und SSW. Fehlt so ein Paar, hilft nur der Kosinussatz aus Kapitel 7.

Beispiel 1 – zwei Winkel und eine Seite (SWW)

In einem Dreieck sind \( \alpha = 40^\circ \), \( \beta = 65^\circ \) und \( a = 12{,}0\ \text{cm} \) gegeben. Berechne \( \gamma \), \( b \) und \( c \).

Kontrolle 1 (Plausibilität): Die Reihenfolge der Winkel ist \( \alpha < \beta < \gamma \), also muss auch \( a < b < c \) gelten: \( 12{,}0 < 16{,}92 < 18{,}03 \) ✓.
Kontrolle 2 (unabhängig über den Kosinussatz): \( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos\gamma = 144 + 286{,}2 – 2 \cdot 12{,}0 \cdot 16{,}92 \cdot 0{,}25882 = 430{,}2 – 105{,}1 = 325{,}1 \), also \( c = 18{,}03\ \text{cm} \) ✓. Zwei unabhängige Rechenwege führen zum selben Wert.

Beispiel 2 – und jetzt die Falle: der Fall SSW

Gegeben sind \( a = 9{,}0\ \text{cm} \), \( b = 12{,}0\ \text{cm} \) und \( \alpha = 35^\circ \). Berechne \( \beta \).

Warum sind hier wirklich beide Lösungen gültig? Weil \( b > a \) ist. Der größeren Seite muss der größere Winkel gegenüberliegen, und \( 130{,}11^\circ > 35^\circ \) ist ebenso erlaubt wie \( 49{,}89^\circ > 35^\circ \). Die Winkelsumme geht in beiden Fällen auf: \( 35^\circ + 49{,}89^\circ = 84{,}89^\circ < 180^\circ \) und \( 35^\circ + 130{,}11^\circ = 165{,}11^\circ < 180^\circ \). Es gibt also zwei verschiedene Dreiecke mit diesen Angaben.

Kontrolle (Gegenprobe mit vertauschten Rollen): Wäre umgekehrt \( a = 12{,}0\ \text{cm} \), \( b = 9{,}0\ \text{cm} \) und \( \alpha = 35^\circ \), so wäre \( \sin\beta = \frac{9{,}0 \cdot 0{,}57358}{12{,}0} = 0{,}43018 \) und \( \beta_1 = 25{,}48^\circ \). Der Supplementwinkel \( 154{,}52^\circ \) fällt jetzt weg, denn \( b < a \) verlangt \( \beta < \alpha = 35^\circ \) – und außerdem wäre \( 35^\circ + 154{,}52^\circ = 189{,}52^\circ > 180^\circ \) ✓. Zwei unabhängige Gründe, dieselbe Entscheidung.

7. Der Kosinussatz

Kennst du kein Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel, versagt der Sinussatz. Das ist genau bei den Fällen SWS (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel) und SSS (drei Seiten) so. Dafür gibt es den Kosinussatz:

Du musst dir nur eine davon merken, die anderen entstehen durch zyklisches Weiterrücken der Buchstaben. Das Bauprinzip ist immer gleich: links das Quadrat der gesuchten Seite, rechts die Quadrate der beiden anderen Seiten – minus das Korrekturglied mit dem eingeschlossenen Winkel.

Setzt du \( \gamma = 90^\circ \) ein, wird \( \cos 90^\circ = 0 \) und es bleibt \( c^2 = a^2 + b^2 \) übrig: der Satz des Pythagoras. Der Kosinussatz ist also nichts anderes als ein Pythagoras mit Korrekturglied für nicht rechtwinklige Dreiecke. Ist \( \gamma \) stumpf, wird \( \cos\gamma \) negativ, aus dem Minus wird ein Plus – und \( c \) wird länger als beim rechten Winkel. Genau so muss es sein.

Beispiel – Holzwerk Brandl: ein Sparrendreieck (SWS)

Für ein flach geneigtes Pultdach fertigt das Holzwerk Brandl in Rosenheim einen Binder aus zwei ungleich langen Streben: \( a = 4{,}50\ \text{m} \) und \( b = 6{,}00\ \text{m} \). Sie schließen am First den Winkel \( \gamma = 110^\circ \) ein. Wie lang wird der Zugbalken \( c \), der die beiden Fußpunkte verbindet, und mit welchen Winkeln muss er an den Enden zugeschnitten werden?

Kontrolle 1 (\( \beta \) unabhängig über den Kosinussatz): \( \cos\beta = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} = \frac{20{,}25 + 74{,}72 – 36{,}00}{2 \cdot 4{,}50 \cdot 8{,}64} = \frac{58{,}97}{77{,}76} = 0{,}75835 \), also \( \beta = 40{,}70^\circ \) ✓ – berechnet ohne \( \alpha \) und ohne die Winkelsumme.
Kontrolle 2 (Größenordnung): Die längste Seite ist \( c = 8{,}64\ \text{m} \), und ihr liegt der größte Winkel \( \gamma = 110^\circ \) gegenüber ✓. Außerdem gilt die Dreiecksungleichung: \( 4{,}50 + 6{,}00 = 10{,}50 > 8{,}64 \) ✓.
Antwort: Der Zugbalken misst 8,64 m; er wird links unter 29,3° und rechts unter 40,7° auf Gehrung geschnitten.

Beispiel 2 – drei Seiten gegeben (SSS)

Ein dreieckiger Verschnittrest hat die Seiten \( a = 7{,}0\ \text{cm} \), \( b = 9{,}0\ \text{cm} \) und \( c = 12{,}0\ \text{cm} \). Berechne alle drei Innenwinkel. Beginne immer mit dem Winkel, der der längsten Seite gegenüberliegt – nur dieser kann stumpf sein.

Kontrolle 1 (Winkelsumme): \( 35{,}43^\circ + 48{,}19^\circ + 96{,}38^\circ = 180{,}00^\circ \) ✓. Das ist die beste Probe überhaupt, weil der dritte Winkel unabhängig berechnet wurde.
Kontrolle 2 (Sinussatz): \( \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{7{,}0}{0{,}57950} = 12{,}079 \) und \( \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{12{,}0}{0{,}99381} = 12{,}075 \) ✓ – im Rahmen der Rundung identisch.

8. Der Flächeninhalt mit dem Sinus

Die Formel \( A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \) kennst du. Ihr Problem in einem beliebigen Dreieck: Die Höhe ist meist gar nicht gegeben. Sie lässt sich aber aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel berechnen.

Im rechtwinkligen Teildreieck bei \( C \) ist \( b \) die Hypotenuse und \( h \) die Gegenkathete zu \( \gamma \), also \( \sin\gamma = \frac{h}{b} \) und damit \( h = b \cdot \sin\gamma \). Einsetzen in \( A = \frac{1}{2} a h \) liefert:

Auch hier gilt: Der Winkel muss von den beiden Seiten eingeschlossen sein. Die Formel funktioniert ebenso bei stumpfem Winkel – der Höhenfußpunkt liegt dann zwar außerhalb der Grundseite, aber \( \sin\gamma \) ist für stumpfe Winkel weiterhin positiv, und die Rechnung stimmt unverändert.

Beispiel – die Fläche des Sparrendreiecks aus Kapitel 7

Wie viel Quadratmeter Schalung braucht das Holzwerk Brandl, um das Dreieck \( a = 4{,}50\ \text{m} \), \( b = 6{,}00\ \text{m} \), \( \gamma = 110^\circ \) zu schließen?

Kontrolle 1 (über Grundseite und Höhe): Mit \( c = 8{,}64\ \text{m} \) und \( \alpha = 29{,}29^\circ \) ist die Höhe auf \( c \) gleich \( h_c = b \cdot \sin\alpha = 6{,}00\ \text{m} \cdot 0{,}48939 = 2{,}936\ \text{m} \). Damit \( A = \frac{1}{2} \cdot 8{,}64\ \text{m} \cdot 2{,}936\ \text{m} = 12{,}68\ \text{m}^2 \) ✓.
Kontrolle 2 (Formel von Heron, nur aus den drei Seiten): \( s = \frac{4{,}50 + 6{,}00 + 8{,}64}{2} = 9{,}57\ \text{m} \), und \( A = \sqrt{9{,}57 \cdot 5{,}07 \cdot 3{,}57 \cdot 0{,}93} = \sqrt{160{,}9} = 12{,}69\ \text{m}^2 \) ✓. Drei Wege, ein Ergebnis. Antwort: Es werden rund 12,69 m² Schalung gebraucht.

9. Anwendungen in der ebenen und räumlichen Geometrie

In der Abschlussprüfung stehen die Sätze nie fertig da. Du bekommst eine Situation beschrieben und musst selbst entscheiden, welches Dreieck du dir herauslöst und welchen Satz du darauf anwendest. Halte dich an diese Reihenfolge:

Beispiel 1 – ebene Geometrie: ein Grundstück, dessen Ecke nicht betretbar ist

Das Holzwerk Brandl möchte ein dreieckiges Lagergelände vermessen. Die Ecke \( C \) liegt hinter einem Bachlauf und ist nicht zugänglich. Auf der befahrbaren Seite wird eine Standlinie \( \overline{AB} = 40{,}0\ \text{m} \) abgesteckt. Vom Punkt \( A \) aus misst der Theodolit zur Ecke \( C \) den Winkel \( \alpha = 62^\circ \) gegen die Standlinie, vom Punkt \( B \) aus den Winkel \( \beta = 48^\circ \). Wie weit ist \( C \) von \( A \) und von \( B \) entfernt, und wie groß ist das Gelände?

Kontrolle 1 (Kosinussatz auf die Standlinie angewandt): \( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos\gamma = 1412{,}3 + 1000{,}5 – 2 \cdot 37{,}58 \cdot 31{,}63 \cdot 0{,}34202 = 2412{,}8 – 812{,}9 = 1599{,}9 \), also \( c = 40{,}00\ \text{m} \) ✓ – das ist genau die gemessene Standlinie.
Kontrolle 2 (Fläche über die Standlinie): \( A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 31{,}63 \cdot 40{,}0 \cdot 0{,}88295 = 558{,}6\ \text{m}^2 \) ✓.
Antwort: \( C \) ist 31,63 m von \( A \) und 37,58 m von \( B \) entfernt; das Gelände misst rund 559 m².

Beispiel 2 – räumliche Geometrie: der Silo hinter dem Bach

Auf demselben Gelände steht in der Ecke \( C \) ein Spänesilo. Vom Standpunkt \( A \) aus erscheint seine Oberkante unter einem Höhenwinkel von \( 12^\circ \) über der Waagrechten. Wie hoch ist das Silo?

Das ist jetzt ein senkrecht stehendes Dreieck: die waagrechte Strecke \( \overline{AC} \), die senkrechte Silowand und die Sichtlinie. Es ist rechtwinklig, also genügt der Tangens aus Klasse 9 – aber die Ankathete stammt aus der Rechnung von Beispiel 1.

Kontrolle 1 (rückwärts): \( \tan^{-1}\left(\frac{6{,}72}{31{,}63}\right) = \tan^{-1}(0{,}21245) = 11{,}99^\circ \approx 12^\circ \) ✓.
Kontrolle 2 (Sichtlinie und Pythagoras): Die Sichtlinie misst \( \frac{31{,}63\ \text{m}}{\cos 12^\circ} = 32{,}34\ \text{m} \). Probe: \( \sqrt{31{,}63^2 + 6{,}72^2} = \sqrt{1000{,}5 + 45{,}2} = \sqrt{1045{,}7} = 32{,}34\ \text{m} \) ✓.
Antwort: Das Silo ist rund 6,7 m hoch. Beachte: Der Höhenwinkel wird in Instrumentenhöhe gemessen; steht der Theodolit 1,5 m über dem Boden, kommt dieser Betrag noch dazu.

Beispiel 3 – eine funktionale Abhängigkeit (nur Mathematik I)

Hinweis: Abhängigkeiten von einem variablen Winkelmaß verlangt der Lehrplan nur in Mathematik I; in Mathematik II/III ist dieser Aufgabentyp ausdrücklich ausgenommen.

Aus einem Dreiecksverschnitt mit \( b = 6{,}00\ \text{m} \) und \( a = 4{,}50\ \text{m} \) soll der eingeschlossene Winkel \( \gamma \) so gewählt werden, dass die Fläche möglichst groß wird. Welcher Winkel ist das?

Die Fläche ist \( A(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 4{,}50 \cdot 6{,}00 \cdot \sin\gamma = 13{,}50\ \text{m}^2 \cdot \sin\gamma \). Der Faktor \( 13{,}50\ \text{m}^2 \) ist fest, also wird \( A \) genau dann maximal, wenn \( \sin\gamma \) maximal wird. Aus Kapitel 4 weißt du: Der größte Sinuswert ist \( 1 \), erreicht bei \( \gamma = 90^\circ \).

Kontrolle 1 (Wertetabelle): Die Werte steigen bis 90° und fallen danach wieder – das Maximum liegt bei \( \gamma = 90^\circ \) mit \( A = 13{,}50\ \text{m}^2 \) ✓.
Kontrolle 2 (Symmetrie): \( A(80^\circ) = A(100^\circ) = 13{,}29\ \text{m}^2 \) und \( A(70^\circ) = A(110^\circ) = 12{,}69\ \text{m}^2 \) – genau die Supplementbeziehung \( \sin(180^\circ – \gamma) = \sin\gamma \) ✓. Der Wert aus Kapitel 8 taucht hier wieder auf. Antwort: Bei \( \gamma = 90^\circ \) ist die Fläche mit 13,50 m² am größten – das Dreieck ist dann rechtwinklig.

10. Das Wichtigste in Kürze

11. Nur für Mathematik I

11.1 Die Graphen von Kosinus und Tangens

In Kapitel 4 hast du die Höhe des umlaufenden Punktes aufgetragen und die Sinuskurve erhalten. Trägst du stattdessen seine Breite auf, entsteht die Kosinuskurve. Sie sieht genauso aus wie die Sinuskurve, ist aber um 90° nach links verschoben, denn der Kosinus startet bereits beim Maximalwert 1. Der Tangens ist etwas ganz anderes: kein beschränkter Wertebereich, dafür Polstellen.

Der Kosinus hat die Periode 360°, der Tangens nur 180° – und an den Polstellen ist er nicht definiert.

Kontrolle an drei Stellen: \( \cos 0^\circ = 1 \) ✓ (Hochpunkt) · \( \cos 90^\circ = 0 \) ✓ (Nullstelle) · \( \cos 180^\circ = -1 \) ✓ (Tiefpunkt). Und beim Tangens: \( \tan 45^\circ = 1 \) ✓, \( \tan 135^\circ = -1 \) ✓ – im mittleren Ast, wie es der Graph zeigt.

11.2 Die Komplementbeziehungen

Zwei Winkel heißen Komplementwinkel, wenn sie zusammen 90° ergeben – etwa 25° und 65°. In einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden spitzen Winkel immer Komplementwinkel. Und was für den einen die Gegenkathete ist, ist für den anderen die Ankathete. Daraus folgt sofort:

Am Einheitskreis siehst du dieselbe Aussage als Spiegelung an der Winkelhalbierenden des I. Quadranten: Beim Spiegeln an der Geraden \( y = x \) tauschen \( x \)- und \( y \)-Koordinate die Plätze – also tauschen Kosinus und Sinus die Rollen.

Beispiel 1 – Zahlenprobe

Zweite Kontrolle: \( \cos 65^\circ = 0{,}422618 \) und \( \sin 25^\circ = 0{,}422618 \) ✓. Auch die Grundbeziehung stimmt: \( 0{,}906308^2 + 0{,}422618^2 = 0{,}821394 + 0{,}178606 = 1{,}000000 \) ✓.

Beispiel 2 – einen trigonometrischen Term vereinfachen

Vereinfache \( \dfrac{\sin(90^\circ – \alpha)}{\cos(90^\circ – \alpha)} \) für \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \).

Kontrolle 1 (Zahlenprobe mit \( \alpha = 30^\circ \)): Links \( \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} = \frac{0{,}866025}{0{,}5} = 1{,}732051 \). Rechts \( \frac{1}{\tan 30^\circ} = \frac{1}{0{,}577350} = 1{,}732051 \) ✓.
Kontrolle 2 (zweiter Wert, \( \alpha = 70^\circ \)): Links \( \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} = \frac{0{,}342020}{0{,}939693} = 0{,}363970 \). Rechts \( \frac{1}{\tan 70^\circ} = \frac{1}{2{,}747477} = 0{,}363970 \) ✓. Eine Zahlenprobe kann Zufall sein, zwei sind ein starker Hinweis – bewiesen ist es aber erst durch die Umformung selbst.

11.3 Die Additionstheoreme

Der häufigste Fehler in der ganzen Trigonometrie lautet \( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta \). Das ist falsch, und das Bild zeigt dir sofort, warum: Die Sinuswerte sind Höhen auf einem Kreis, und Kreisbögen addieren sich nicht wie Strecken.

Die richtigen Formeln heißen Additionstheoreme:

Merkhilfe: Beim Sinus stehen gemischte Produkte (sin·cos) und das Vorzeichen bleibt, wie es ist. Beim Kosinus stehen gleichartige Produkte (cos·cos, sin·sin) und das Vorzeichen dreht sich um.

Beispiel 1 – \( \sin 75^\circ \) exakt bestimmen

Zerlege \( 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ \) – beides Winkel, deren Werte du exakt kennst.

Kontrolle 1 (Taschenrechner): \( \sin 75^\circ = 0{,}9659258 \) ✓.
Kontrolle 2 (über die Komplementbeziehung und den Kosinus): \( \sin 75^\circ = \cos 15^\circ \), und mit dem Additionstheorem \( \cos 15^\circ = \cos(45^\circ – 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = 0{,}612372 + 0{,}353553 = 0{,}965926 \) ✓. Ein anderer Weg, dasselbe Ergebnis.

Beispiel 2 – einen Term vereinfachen

Vereinfache \( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha – \beta) \).

Kontrolle 1 (\( \alpha = 50^\circ \), \( \beta = 20^\circ \)): Links \( \sin 70^\circ + \sin 30^\circ = 0{,}939693 + 0{,}500000 = 1{,}439693 \). Rechts \( 2 \cdot \sin 50^\circ \cdot \cos 20^\circ = 2 \cdot 0{,}766044 \cdot 0{,}939693 = 1{,}439693 \) ✓.
Kontrolle 2 (\( \alpha = 60^\circ \), \( \beta = 60^\circ \)): Links \( \sin 120^\circ + \sin 0^\circ = 0{,}866025 + 0 = 0{,}866025 \). Rechts \( 2 \cdot 0{,}866025 \cdot 0{,}5 = 0{,}866025 \) ✓. Auch der Randfall stimmt.

11.4 Das Skalarprodukt

Zwei Vektoren \( \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \) kannst du so miteinander verknüpfen, dass eine Zahl herauskommt – kein Vektor, sondern ein Skalar. Das ist das Skalarprodukt:

Der Nutzen: Diese Zahl hängt über den Kosinus mit dem eingeschlossenen Winkel \( \varphi \) zusammen:

Dabei ist \( |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \) die Länge (der Betrag) des Vektors – wieder nichts anderes als Pythagoras. Der wichtigste Sonderfall: Ist \( \varphi = 90^\circ \), so ist \( \cos 90^\circ = 0 \) und damit auch das Skalarprodukt 0. Umgekehrt gilt: Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren null, stehen sie senkrecht aufeinander.

Beispiel 1 – Orthogonalität nachweisen

Stehen \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b} = \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \end{pmatrix} \) senkrecht aufeinander?

Kontrolle (über die Steigungen aus Kapitel 5): Der Vektor \( \vec{a} \) hat die Steigung \( m_1 = \frac{4}{3} \), der Vektor \( \vec{b} \) die Steigung \( m_2 = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4} \). Ihr Produkt ist \( \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -1 \) – das bekannte Kriterium für senkrechte Geraden ✓.

Beispiel 2 – einen Winkel berechnen

Welchen Winkel schließen \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \) und \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix} \) ein?

Kontrolle 1 (über die Steigungswinkel, Kapitel 5): \( \vec{u} \) hat den Richtungswinkel \( \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = 36{,}87^\circ \), \( \vec{v} \) den Richtungswinkel \( \tan^{-1}\left(\frac{7}{1}\right) = 81{,}87^\circ \). Differenz: \( 81{,}87^\circ – 36{,}87^\circ = 45{,}00^\circ \) ✓ – ohne jedes Skalarprodukt gerechnet.
Kontrolle 2 (exakter Wert): \( \frac{25}{5\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) – und das ist genau \( \cos 45^\circ \) ✓.

Beispiel 3 – ebene Geometrie: ein Dreieck untersuchen

Gegeben sind \( A(1\,|\,2) \), \( B(7\,|\,4) \) und \( C(5\,|\,10) \). Zeige, dass das Dreieck bei \( B \) rechtwinklig ist, und berechne seinen Flächeninhalt.

Kontrolle 1 (Fläche über die Determinante): \( A = \frac{1}{2}\left|\,\overrightarrow{AB}_x \cdot \overrightarrow{AC}_y – \overrightarrow{AB}_y \cdot \overrightarrow{AC}_x\right| = \frac{1}{2}|6 \cdot 8 – 2 \cdot 4| = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20\ \text{FE} \) ✓.
Kontrolle 2 (Pythagoras auf \( \overline{AC} \)): \( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{16+64} = \sqrt{80} \), und \( \sqrt{40}^2 + \sqrt{40}^2 = 40 + 40 = 80 = \sqrt{80}^2 \) ✓. Das Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig, die beiden spitzen Winkel messen je 45°.

12. So fragt die Abschlussprüfung

Trigonometrie ist in der Abschlussprüfung fast immer ein Teilschritt in einer größeren Figur. Die entscheidende Frage lautet in jedem Fall: Welches Werkzeug passt zu den gegebenen Stücken? Rechtwinkliges Teildreieck → Sinus, Kosinus, Tangens. Zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel → Sinussatz. Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel oder alle drei Seiten → Kosinussatz. Vier typische Formen aus dem Holzwerk-Kontext.

Aufgabe 1 – rechtwinkliges Teildreieck: der Neigungswinkel. Das Pultdach der Werkstatthalle überspannt waagrecht 4,00 m und überwindet dabei einen Höhenunterschied von 3,00 m. Berechne den Neigungswinkel \( \alpha \) und die Sparrenlänge.

Gegenprobe – auf einem zweiten Weg: Mit der Sparrenlänge gilt \( \sin\alpha = \tfrac{3{,}00}{5{,}00} = 0{,}6 \), und \( \sin^{-1}(0{,}6) = 36{,}8699\ldots^\circ \) ✓; ebenso \( \cos\alpha = \tfrac{4{,}00}{5{,}00} = 0{,}8 \) mit \( \cos^{-1}(0{,}8) = 36{,}8699\ldots^\circ \) ✓. Alle drei Wege führen auf denselben Winkel – das ist die beste Kontrolle, die du hast. Antwort: Das Dach ist rund \( 36{,}9^\circ \) geneigt, der Sparren wird 5,00 m lang. Plausibilität: Weil die Höhe kleiner ist als die Spannweite, muss \( \alpha < 45^\circ \) sein ✓.

Aufgabe 2 – Sinussatz: zwei Winkel und eine Seite. Aus einer Platte sägt Lena ein dreieckiges Werkstück mit \( \alpha = 30^\circ \), \( \beta = 45^\circ \) und der Seite \( a = 10\ \text{dm} \). Berechne den dritten Winkel und die Seite \( b \).

Gegenprobe: Exakt gerechnet ist \( b = \tfrac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 10\sqrt{2} \), und \( 10 \cdot 1{,}4142136 = 14{,}142\ldots \) ✓. Zweite Kontrolle über die Größenverhältnisse: Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber. Wegen \( \beta = 45^\circ > \alpha = 30^\circ \) muss \( b > a \) sein – 14,14 dm > 10 dm ✓. Antwort: \( \gamma = 105^\circ \) und \( b = 10\sqrt{2}\ \text{dm} \approx 14{,}14\ \text{dm} \).

Aufgabe 3 – Kosinussatz: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel. Jonas verleimt zwei Leisten von \( b = 8\ \text{dm} \) und \( c = 5\ \text{dm} \) unter dem Winkel \( \alpha = 60^\circ \). Wie lang muss die Diagonalstrebe \( a \) zwischen den freien Enden zugeschnitten werden?

Gegenprobe – rückwärts nach dem Winkel: \( \cos\alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{64+25-49}{80} = \dfrac{40}{80} = 0{,}5 \), also \( \alpha = 60^\circ \) ✓. Zweite Kontrolle über die Dreiecksungleichung: \( a \) muss zwischen \( 8-5 = 3\ \text{dm} \) und \( 8+5 = 13\ \text{dm} \) liegen – 7,00 dm passt ✓. Antwort: Die Strebe wird 7,00 dm lang. Beachte: Der Winkel im Kosinussatz muss immer der Seite gegenüberliegen, die du berechnest.

Aufgabe 4 – Flächeninhalt mit dem Sinus. Wie viel Fläche schließt der Rahmen aus Aufgabe 3 ein? Gegeben sind wieder \( b = 8\ \text{dm} \), \( c = 5\ \text{dm} \) und \( \alpha = 60^\circ \).

Gegenprobe über Höhe und Grundlinie: Die Höhe auf \( b \) ist \( h_b = c \cdot \sin\alpha = 5 \cdot 0{,}8660254 = 4{,}330127\ \text{dm} \), also \( A = \tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4{,}330127 = 17{,}3205\ \text{dm}^2 \) ✓. Zweite Kontrolle über die Abschätzung: Das Dreieck ist kleiner als das halbe Rechteck \( 8 \times 5 \), also kleiner als \( 20\ \text{dm}^2 \) – 17,32 dm² passt ✓. Antwort: Der Rahmen schließt \( 10\sqrt{3}\ \text{dm}^2 \approx 17{,}32\ \text{dm}^2 \) ein. Die Sinusformel spart dir den Umweg über die Höhe – du brauchst nur zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel.

13. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest

• Der Taschenrechner steht im Bogenmaß statt in Grad. Ursache: Der Modus ist auf RAD gestellt, und alle Winkelwerte sind dadurch falsch, ohne dass eine Fehlermeldung erscheint. Vermeidung: Vor der Prüfung DEG einstellen und mit \( \sin 30^\circ = 0{,}5 \) testen. Kommt 0,5 heraus, stimmt der Modus – erscheint \( -0{,}988 \), steht der Rechner auf RAD.
• Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck verwechselt. Ursache: Gegen- und Ankathete werden vom falschen Winkel aus bestimmt. Vermeidung: Markiere zuerst den Winkel, dann die Hypotenuse (gegenüber dem rechten Winkel), dann die Gegenkathete (gegenüber deinem Winkel) – der Rest ist die Ankathete. Und denke daran: Diese drei Verhältnisse gelten nur im rechtwinkligen Dreieck.
• Das falsche Werkzeug gewählt. Ursache: Der Sinussatz wird bei zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel angesetzt – dort fehlt aber jede Winkel-Gegenseiten-Paarung. Vermeidung: Notiere die gegebenen Stücke als Kürzel. SWS und SSS → Kosinussatz. WWS und SsW → Sinussatz. Nur mit rechtem Winkel → Sinus, Kosinus, Tangens.
• Beim Kosinussatz den Winkel der falschen Seite zugeordnet. Ursache: Es wird \( a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\beta \) geschrieben. Vermeidung: In \( a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos\alpha \) gehören links und im Kosinus dieselben Buchstaben zusammen: Zur gesuchten Seite \( a \) passt nur der ihr gegenüberliegende Winkel \( \alpha \), und die beiden anderen Seiten stehen im Produkt.
• Beim Sinussatz die zweite mögliche Lösung übersehen. Ursache: \( \sin^{-1} \) liefert nur den spitzen Winkel, obwohl auch \( 180^\circ – \alpha \) denselben Sinuswert hat. Vermeidung: Suchst du einen Winkel über den Sinussatz, prüfe immer beide Kandidaten gegen die Winkelsumme und gegen die Regel „größere Seite → größerer Winkel“. Ein stumpfer Winkel darf nie der kürzesten Seite gegenüberliegen.
• \( \sin^{-1} \) mit \( \frac{1}{\sin} \) verwechselt. Ursache: Die Hochstellung wird als Potenz gelesen. Vermeidung: \( \sin^{-1} \) (auf manchen Rechnern „asin“ oder „arcsin“) ist die Umkehrfunktion und gibt einen Winkel zurück. Ein Ergebnis mit „°“ und ein Ergebnis ohne Einheit lassen sich nicht verwechseln, wenn du die Einheit immer mitschreibst.
• Zwischenwerte zu früh gerundet. Ursache: Ein Winkel wird auf \( 37^\circ \) gerundet und damit weitergerechnet; bei langen Seiten summiert sich der Fehler auf Zentimeter. Vermeidung: Speichere Zwischenwerte im Rechner oder führe mindestens vier Nachkommastellen mit – und runde erst im Antwortsatz, Winkel üblicherweise auf eine Nachkommastelle.

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