Die Arcustangensfunktion
Mathematik FOS/BOS 13 · Bayern · Analysis (Technik)
Die Arcustangensfunktion \(f(x)=\arctan(x)\) ist die Umkehrfunktion der Tangensfunktion. Sie ordnet einem Steigungs- bzw. Seitenverhältnis den zugehörigen Winkel zu – etwa den Blickwinkel, unter dem man ein Objekt sieht.
1 Definition
Die Tangensfunktion ist auf \(\left]-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right[\) streng monoton steigend und damit umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion ist der Arcustangens:
\(y=\arctan(x)\;\Longleftrightarrow\;\tan(y)=x\) mit \(y\in\left]-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right[\)
2 Eigenschaften und Graph
- Definitionsmenge: \(D_f=\mathbb{R}\)
- Wertemenge: \(W_f=\left]-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right[\)
- streng monoton steigend auf ganz \(\mathbb{R}\)
- punktsymmetrisch zum Ursprung: \(\arctan(-x)=-\arctan(x)\)
- waagerechte Asymptoten \(y=\tfrac{\pi}{2}\) (für \(x\to+\infty\)) und \(y=-\tfrac{\pi}{2}\) (für \(x\to-\infty\))
- Werte: \(\arctan(0)=0\), \(\arctan(1)=\tfrac{\pi}{4}\)
3 Ableitung
Aus der Umkehrregel folgt die wichtige Ableitung:
\(\big(\arctan(x)\big)’=\dfrac{1}{1+x^{2}}\)
Mit Kettenregel: \(\big(\arctan(u(x))\big)’=\dfrac{u'(x)}{1+\big(u(x)\big)^{2}}\).
Beispiele.
| \(f(x)=\arctan(2x)\Rightarrow f'(x)=\dfrac{2}{1+4x^{2}}\) | Kettenregel |
| \(f(x)=\arctan(x^{2})\Rightarrow f'(x)=\dfrac{2x}{1+x^{4}}\) | Kettenregel |
4 Anwendung: Blickwinkel
Sieht man ein Objekt der Höhe \(h\) aus der waagerechten Entfernung \(d\), so ist der Blickwinkel \(\alpha\) durch \(\tan(\alpha)=\dfrac{h}{d}\) gegeben – also
\(\alpha=\arctan\!\left(\dfrac{h}{d}\right)\)
Je größer die Entfernung \(d\), desto kleiner der Blickwinkel – er strebt gegen \(0\).
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Als Wertemenge \(\mathbb{R}\) angeben.
✓ Richtig
\(W_f=\left]-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right[\) – die Werte liegen zwischen den Asymptoten.
✗ Falsch
\(\big(\arctan x\big)’=\dfrac{1}{1-x^{2}}\) schreiben.
✓ Richtig
Im Nenner steht ein Plus: \(\dfrac{1}{1+x^{2}}\).
✗ Falsch
Bei \(\arctan(u)\) das Nachdifferenzieren vergessen.
✓ Richtig
Kettenregel: Zähler ist \(u'(x)\), Nenner \(1+u(x)^{2}\).
Auf einen Blick
- \(\arctan\) = Umkehrfunktion von \(\tan\): \(D=\mathbb{R}\), \(W=\left]-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right[\).
- Graph: streng monoton steigend, punktsymmetrisch, Asymptoten \(y=\pm\tfrac{\pi}{2}\).
- Ableitung: \(\big(\arctan x\big)’=\dfrac{1}{1+x^{2}}\); mit Kette \(\dfrac{u‘}{1+u^{2}}\).
- Anwendung: Blickwinkel \(\alpha=\arctan\!\big(\tfrac{h}{d}\big)\).
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