Umkehrfunktionen und ihre Ableitung
Mathematik FOS/BOS 13 · Bayern · Analysis (Technik)
Eine Umkehrfunktion \(f^{-1}\) macht die Zuordnung von \(f\) rückgängig: Aus \(f:\;x\mapsto y\) wird \(f^{-1}:\;y\mapsto x\). Ihr Graph entsteht durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(y=x\). Wichtigstes Beispiel: \(e^{x}\) und \(\ln(x)\).
1 Wann ist \(f\) umkehrbar?
\(f\) ist auf \(D_f\) umkehrbar, wenn \(f\) dort streng monoton (steigend oder fallend) ist – dann gehört zu jedem \(y\)-Wert genau ein \(x\)-Wert.
Nachweis meist über \(f’\): ist \(f'(x)>0\) (bzw. \(<0\)) auf ganz \(D_f\), so ist \(f\) streng monoton und damit umkehrbar.
Beispiel. \(f(x)=e^{x}\): \(f'(x)=e^{x}>0\) für alle \(x\) ⇒ streng monoton steigend ⇒ umkehrbar.
2 Umkehrfunktion bestimmen
Rezept: (1) \(y=f(x)\) nach \(x\) auflösen, (2) \(x\) und \(y\) vertauschen, (3) Definitions- und Wertemenge tauschen: \(D_{f^{-1}}=W_f\), \(W_{f^{-1}}=D_f\).
Beispiel A. \(f(x)=e^{x}\)
| \(y=e^{x}\) | Start |
| \(x=\ln(y)\) | nach \(x\) auflösen (logarithmieren) |
| \(f^{-1}(x)=\ln(x)\) | \(x,y\) vertauschen; \(D_{f^{-1}}=\,]0;\infty[\) |
Beispiel B. \(f(x)=2x-4\)
| \(y=2x-4 \Rightarrow x=\tfrac{y+4}{2}\) | nach \(x\) auflösen |
| \(f^{-1}(x)=\tfrac{x+4}{2}\) | vertauschen |
3 Der Graph: Spiegelung an \(y=x\)
Der Graph von \(f^{-1}\) ist das Spiegelbild des Graphen von \(f\) an der Geraden \(y=x\). Aus jedem Punkt \(P(a\mid b)\) auf \(G_f\) wird der Punkt \(P'(b\mid a)\) auf \(G_{f^{-1}}\) – die Koordinaten werden vertauscht.
4 Die Umkehrregel (Ableitung von \(f^{-1}\))
Die Ableitung der Umkehrfunktion ist der Kehrwert der Ableitung von \(f\) an der passenden Stelle:
\(\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f’\big(f^{-1}(x)\big)}\)
Anschaulich: Beim Spiegeln an \(y=x\) wird aus der Steigung \(m\) die Steigung \(\tfrac{1}{m}\).
Beispiel. \(f(x)=x^{2}\) für \(x\ge0\), also \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\). Mit \(f'(x)=2x\):
| \(\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f’\big(\sqrt{x}\big)}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | Umkehrregel |
| Kontrolle: \(\big(\sqrt{x}\big)’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) ✓ | direkt abgeleitet |
Beispiel. \(f(x)=e^{x}\Rightarrow f^{-1}(x)=\ln(x)\). Mit \(f'(x)=e^{x}\): \(\big(\ln x\big)’=\dfrac{1}{e^{\ln x}}=\dfrac{1}{x}\).
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Nach dem Auflösen das Vertauschen von \(x\) und \(y\) vergessen.
✓ Richtig
Erst nach \(x\) auflösen, dann \(x\leftrightarrow y\) tauschen – sonst ist es nicht die Umkehrfunktion.
✗ Falsch
\(\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}\) schreiben.
✓ Richtig
In den Nenner gehört \(f’\big(f^{-1}(x)\big)\), nicht \(f'(x)\).
✗ Falsch
Umkehrbarkeit ohne Monotonie behaupten (z. B. bei \(x^{2}\) auf ganz \(\mathbb{R}\)).
✓ Richtig
Nur auf einem Intervall mit strenger Monotonie umkehrbar (\(x^{2}\) erst für \(x\ge0\)).
Auf einen Blick
- umkehrbar \(\Leftrightarrow\) streng monoton (Nachweis über \(f’\)).
- Bestimmen: \(y=f(x)\) nach \(x\) auflösen, dann \(x\leftrightarrow y\); \(D\) und \(W\) tauschen.
- Graph: Spiegelung an \(y=x\); \(P(a\mid b)\to P'(b\mid a)\).
- Umkehrregel: \(\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}\).
- Standardpaar: \(e^{x}\leftrightarrow\ln(x)\).
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