Mathematik · Mittelschule Bayern · Jahrgangsstufe 9 (Regelklasse) · Qualifizierender Abschluss (Quali) · Lernbereiche 1–8 · LehrplanPLUS
Quali Mathematik Bayern – der gesamte Prüfungsstoff
Du willst den Quali machen und hast Mathe-Stunden verpasst, nicht alles verstanden oder einfach lange nichts mehr wiederholt? Diese Seite enthält alles, was in der Quali-Prüfung Mathematik drankommt – in zehn Kapiteln, jedes mit Regel, Zeichnung, vollständig gerechnetem Beispiel und den typischen Fehlern. Du musst nichts weglassen und nichts dazusuchen.
Alle Kapitel folgen den acht Lernbereichen des LehrplanPLUS für die 9. Jahrgangsstufe (Regelklasse). Damit steht hier genau der Stoff, aus dem die Prüfungsaufgaben gebaut werden – nicht mehr und nicht weniger.
So läuft die Quali-Prüfung in Mathematik ab
| Zeit | Punkte | Hilfsmittel | |
|---|---|---|---|
| Teil A | 30 Minuten | 16 | kein Taschenrechner, keine Formelsammlung |
| Teil B | 90 Minuten | 32 | Taschenrechner und Formelsammlung erlaubt |
| gesamt | 120 Minuten | 48 | Wörterbuch in Papierform in beiden Teilen erlaubt |
In Teil B gibt es zwei Aufgabengruppen. Die Feststellungskommission wählt eine davon für Deine Klasse verbindlich aus – Du darfst nicht selbst wählen und auch keine Aufgaben zwischen den Gruppen tauschen.
Notenschlüssel (von 48 Punkten): 48,0–41,0 = Note 1 · 40,5–33,0 = 2 · 32,5–25,0 = 3 · 24,5–16,0 = 4 · 15,5–8,0 = 5 · 7,5–0 = 6.
Die zehn Kapitel – spring direkt zu Deinem Thema
- Grundrechenarten, Größen und Dreisatz
- Prozent- und Zinsrechnung (Lernbereich 1)
- Potenzen und Zehnerpotenzen (Lernbereich 2)
- Gleichungen und Formeln (Lernbereich 7)
- Funktionale Zusammenhänge (Lernbereich 8)
- Geometrische Figuren und Winkel (Lernbereich 3)
- Satz des Pythagoras (Lernbereich 3)
- Flächeninhalt – Vielecke (Lernbereich 4)
- Rauminhalt – Prisma, Pyramide, Kegel (Lernbereich 5)
- Wahrscheinlichkeiten (Lernbereich 6)
Ganz unten findest Du eine Formelübersicht auf einen Blick und die Fehler, die am meisten Punkte kosten.
1. Grundrechenarten, Größen und Dreisatz
Das ist die Grundlage für alles andere. In Teil A wird hier überschlagen, geschätzt und umgerechnet – ohne Taschenrechner. Wer Größen sicher umrechnen kann, verschenkt später bei Flächen und Körpern keine Punkte.
Das musst Du wissen
Rechenreihenfolge: Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich, dann von links nach rechts.
Größen umrechnen – immer nur der Umrechnungsfaktor zählt:
| Länge | 1 km = 1000 m · 1 m = 100 cm · 1 cm = 10 mm |
| Masse | 1 t = 1000 kg · 1 kg = 1000 g |
| Zeit | 1 h = 60 min · 1 min = 60 s (nicht 100!) |
| Geld | 1 € = 100 ct |
Dreisatz – zwei Sorten, und Du musst sie unterscheiden:
- proportional („je mehr, desto mehr“): doppelte Menge, doppelter Preis. Du rechnest auf 1 herunter und dann hoch.
- antiproportional („je mehr, desto weniger“): mehr Arbeiter, weniger Tage. Du rechnest mal statt geteilt.
Beispiel: beide Dreisätze nebeneinander
a) 6 Brötchen kosten 2,70 €. Was kosten 10 Brötchen?
\( 2{,}70\ \text{€} : 6 = 0{,}45\ \text{€} \qquad 0{,}45\ \text{€} \cdot 10 = 4{,}50\ \text{€} \)
10 Brötchen kosten 4,50 €.
b) 4 Maler streichen eine Halle in 9 Tagen. Wie lange brauchen 6 Maler?
\( 4 \cdot 9 = 36 \ \text{(Tage für einen Maler)} \qquad 36 : 6 = 6 \)
6 Maler brauchen 6 Tage. Mehr Leute – weniger Zeit: hier wird zuerst multipliziert.
Überschlagen in Teil A: Bei \( 19{,}80\ \text{€} \cdot 4 \) rechnest Du im Kopf \( 20 \cdot 4 = 80 \) und weißt: das Ergebnis liegt knapp darunter (79,20 €). So erkennst Du sofort, wenn ein angebotenes Ergebnis Unsinn ist.
Typische Fehler
- Bei der Zeit mit 100 statt mit 60 gerechnet: 1,5 h sind 90 min, nicht 150 min.
- Proportional und antiproportional verwechselt. Frage Dich immer: „Wird das Ergebnis größer oder kleiner?“
- Einheit im Antwortsatz vergessen – dafür gibt es in der Prüfung Punktabzug.
2. Prozent- und Zinsrechnung
Lernbereich 1. Das Thema kommt in jeder Quali-Prüfung vor – als Rabatt, als Mehrwertsteuer, als Sparbuch oder als Kredit. Zinsrechnung ist nichts anderes als Prozentrechnung mit einer Zeitangabe dazu.
Das musst Du wissen
Die drei Größen: Grundwert \( G \) (das Ganze, 100 %), Prozentsatz \( p\ \% \), Prozentwert \( W \) (der Anteil).
\( W = G \cdot \dfrac{p}{100} \qquad G = \dfrac{W \cdot 100}{p} \qquad p = \dfrac{W \cdot 100}{G} \)
Zinsen – dieselben Formeln, nur mit anderen Namen: Kapital \( K \), Zinssatz \( p\ \% \), Zinsen \( Z \).
\( Z = K \cdot \dfrac{p}{100} \) (Jahreszinsen)
\( Z_{\text{Monate}} = Z \cdot \dfrac{m}{12} \qquad Z_{\text{Tage}} = Z \cdot \dfrac{t}{360} \)
In der Zinsrechnung wird mit dem Bankjahr zu 360 Tagen und mit 30 Tagen je Monat gerechnet.
Zinseszins (Geld bleibt mehrere Jahre liegen): \( K_n = K_0 \cdot q^{\,n} \) mit \( q = 1 + \dfrac{p}{100} \).
Beispiel: die drei Grundaufgaben an einem Sachverhalt
a) Prozentwert gesucht. Ein Fahrrad kostet 1200 €. Im Schlussverkauf gibt es 15 % Rabatt. Wie viel Euro sind das?
\( W = 1200\ \text{€} \cdot \dfrac{15}{100} = 180\ \text{€} \)
Der Rabatt beträgt 180 €, Du zahlst noch \( 1200\ \text{€} – 180\ \text{€} = 1020\ \text{€} \).
b) Prozentsatz gesucht. Ein Helm kostet 300 € und wird um 45 € billiger. Wie viel Prozent Rabatt sind das?
\( p = \dfrac{45\ \text{€} \cdot 100}{300\ \text{€}} = 15 \)
Der Rabatt beträgt 15 %.
c) Grundwert gesucht. 24 % eines Betrages sind 72 €. Wie groß ist der ganze Betrag?
\( G = \dfrac{72\ \text{€} \cdot 100}{24} = 300\ \text{€} \)
Der Grundwert beträgt 300 €.
Beispiel: Jahres-, Monats- und Tageszinsen
Herr Aydin legt 4500 € zu 2,4 % an.
\( Z = 4500\ \text{€} \cdot \dfrac{2{,}4}{100} = 108\ \text{€} \) (für ein ganzes Jahr)
für 8 Monate: \( Z = 108\ \text{€} \cdot \dfrac{8}{12} = 72\ \text{€} \)
für 90 Tage: \( Z = 108\ \text{€} \cdot \dfrac{90}{360} = 27\ \text{€} \)
Nach 8 Monaten bekommt er 72 € Zinsen, nach 90 Tagen 27 €.
Beispiel: Zinseszins über mehrere Jahre
2000 € werden 4 Jahre lang mit 3 % verzinst. Die Zinsen bleiben auf dem Konto.
\( q = 1 + \dfrac{3}{100} = 1{,}03 \)
\( K_4 = 2000\ \text{€} \cdot 1{,}03^{\,4} \approx 2251{,}02\ \text{€} \)
Nach vier Jahren liegen rund 2251,02 € auf dem Konto. Mit einfacher Verzinsung wären es nur \( 2000\ \text{€} + 4 \cdot 60\ \text{€} = 2240\ \text{€} \) – der Unterschied sind die Zinsen auf die Zinsen.
Vermehrter Grundwert – der Klassiker bei der Mehrwertsteuer: Ein Gerät kostet mit 19 % Mehrwertsteuer 119 €. Der Nettopreis ist nicht \( 119\ \text{€} – 19\ \text{€} \). Die 119 € sind 119 %:
\( G = \dfrac{119\ \text{€} \cdot 100}{119} = 100\ \text{€} \)
Typische Fehler
- Der falsche Grundwert. Frage immer: Wovon sind es Prozent? Der Grundwert ist das, was 100 % entspricht.
- Prozentwert statt neuem Preis angegeben. Bei „Wie viel zahlst Du?“ musst Du den Rabatt noch abziehen.
- Beim vermehrten Grundwert einfach 19 % abgezogen. Vom Bruttopreis wird nicht 19 % abgezogen, sondern durch 1,19 geteilt.
- Bei Tageszinsen mit 365 statt 360 gerechnet – in der Schule gilt das Bankjahr mit 360 Tagen.
- Beim Zinseszins \( q = 3 \) statt \( q = 1{,}03 \) gesetzt.
3. Potenzen und Zehnerpotenzen
Lernbereich 2. Sehr große und sehr kleine Zahlen schreibt man nicht mit zwanzig Nullen, sondern mit Zehnerpotenzen. Das brauchst Du bei Speichergrößen, Entfernungen und in der Technik.
Das musst Du wissen
\( a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{Faktoren}} \qquad a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)
Zehnerpotenzen:
\( 10^3 = 1000 \qquad 10^{-3} = \dfrac{1}{1000} = 0{,}001 \)
Wissenschaftliche Schreibweise: eine Ziffer vor dem Komma, mal Zehnerpotenz.
\( 3\,400\,000 = 3{,}4 \cdot 10^{6} \qquad 0{,}000042 = 4{,}2 \cdot 10^{-5} \)
Rechnen: Zahlen mit Zahlen, Zehnerpotenzen mit Zehnerpotenzen.
\( 10^m \cdot 10^n = 10^{m+n} \qquad 10^m : 10^n = 10^{m-n} \)
Beispiel: mit Zehnerpotenzen rechnen
a) \( \left(3 \cdot 10^{4}\right) \cdot \left(2 \cdot 10^{-6}\right) \)
\( = (3 \cdot 2) \cdot 10^{\,4 + (-6)} = 6 \cdot 10^{-2} = 0{,}06 \)
b) \( \left(5 \cdot 10^{6}\right) : \left(2{,}5 \cdot 10^{2}\right) \)
\( = (5 : 2{,}5) \cdot 10^{\,6-2} = 2 \cdot 10^{4} = 20\,000 \)
c) Eine Festplatte hat 250 GB. Wie viel MB sind das?
\( 250\ \text{GB} = 250 \cdot 1000\ \text{MB} = 250\,000\ \text{MB} = 2{,}5 \cdot 10^{5}\ \text{MB} \)
Typische Fehler
- Exponenten multipliziert statt addiert: \( 10^4 \cdot 10^{-6} = 10^{-2} \), nicht \( 10^{-24} \).
- Minus im Exponenten mit einer negativen Zahl verwechselt: \( 10^{-3} = 0{,}001 \) ist positiv.
- Komma falsch verschoben. Kontrolle: \( 4{,}2 \cdot 10^{-5} \) muss eine sehr kleine Zahl sein.
4. Gleichungen und Formeln
Lernbereich 7. In der Regelklasse geht es um lineare Gleichungen: mit Klammern, mit mehrfach auftretendem \( x \), mit Zahlenbrüchen – und um das Umstellen von Formeln. Das Prinzip ist immer dasselbe: Was Du links machst, machst Du auch rechts.
Das musst Du wissen
Äquivalenzumformungen – erlaubt sind auf beiden Seiten:
- dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren
- mit derselben Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren (niemals durch 0)
Reihenfolge beim Lösen: Klammern auflösen → zusammenfassen → alle \( x \) auf eine Seite → alle Zahlen auf die andere → durch den Faktor vor \( x \) teilen.
Formel umstellen geht genauso – nur dass statt Zahlen Buchstaben dastehen.
Beispiel: Gleichung mit Klammern
Löse \( 5 \cdot (x-3) + 2x = 4x + 9 \).
| \( 5 \cdot (x-3) + 2x = 4x+9 \) | Klammer ausmultiplizieren |
| \( 5x – 15 + 2x = 4x + 9 \) | links zusammenfassen |
| \( 7x – 15 = 4x + 9 \) | \( |-4x \) |
| \( 3x – 15 = 9 \) | \( |+15 \) |
| \( 3x = 24 \) | \( |:3 \) |
| \( x = 8 \) |
Probe (die schenkt Dir Sicherheit): links \( 5 \cdot (8-3) + 16 = 25 + 16 = 41 \), rechts \( 4 \cdot 8 + 9 = 41 \). Stimmt.
Wenn Deine Lehrkraft die Mengenschreibweise verlangt: \( \mathrm{IL} = \{8\} \).
Beispiel: Gleichung mit Brüchen
Löse \( \dfrac{x+2}{3} = \dfrac{x-4}{2} \).
Der Hauptnenner ist 6. Beide Seiten mal 6:
| \( 2 \cdot (x+2) = 3 \cdot (x-4) \) | ausmultiplizieren |
| \( 2x + 4 = 3x – 12 \) | \( |-2x \) |
| \( 4 = x – 12 \) | \( |+12 \) |
| \( x = 16 \) |
Probe: \( \dfrac{16+2}{3} = 6 \) und \( \dfrac{16-4}{2} = 6 \). Stimmt.
Beispiel: Formel umstellen und Sachaufgabe
a) Stelle \( A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \) nach \( h \) um.
\( A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \quad |\cdot 2 \quad \Rightarrow \quad 2A = g \cdot h \quad |: g \quad \Rightarrow \quad h = \dfrac{2A}{g} \)
Für \( A = 48\ \text{cm}^2 \) und \( g = 12\ \text{cm} \) ergibt sich \( h = \dfrac{2 \cdot 48}{12}\ \text{cm} = 8\ \text{cm} \).
b) Ein Rechteck hat den Umfang 60 cm. Die Länge ist doppelt so groß wie die Breite. Wie lang sind die Seiten?
Breite \( = b \), Länge \( = 2b \):
\( 2 \cdot (2b + b) = 60 \quad \Rightarrow \quad 6b = 60 \quad \Rightarrow \quad b = 10 \)
Die Breite beträgt 10 cm, die Länge 20 cm. Probe: \( 2 \cdot (20 + 10)\ \text{cm} = 60\ \text{cm} \).
Typische Fehler
- Nur einen Summanden multipliziert. Bei \( |\cdot 6 \) wird jeder Summand auf beiden Seiten mal 6 genommen.
- Minus vor der Klammer: \( -(x-3) = -x + 3 \).
- Rechenschritt nicht hingeschrieben. In der Prüfung gibt es Punkte für den Weg, nicht nur für das Ergebnis.
- Keine Probe gemacht – sie dauert 20 Sekunden und hätte den Vorzeichenfehler gefunden.
5. Funktionale Zusammenhänge
Lernbereich 8. Hier vergleichst Du Zusammenhänge in Tabellen, Graphen und Sachtexten: proportional, linear, umgekehrt proportional oder keines davon. In Teil A wird oft nur zugeordnet und begründet – ohne Rechnung.
Das musst Du wissen
| Art | Erkennungszeichen in der Tabelle | Graph |
|---|---|---|
| proportional | \( y : x \) ist immer gleich (Quotientengleichheit) | Gerade durch den Ursprung |
| linear | gleiche Schritte bei \( x \) → gleiche Schritte bei \( y \) | Gerade, meist nicht durch den Ursprung |
| umgekehrt proportional | \( x \cdot y \) ist immer gleich (Produktgleichheit) | gebogene Kurve, nähert sich den Achsen |
| nicht linear | weder das eine noch das andere | beliebig gekrümmt |
Eine lineare Funktion schreibt man \( y = m \cdot x + t \). Dabei ist \( t \) der Startwert (z. B. die Grundgebühr) und \( m \) das, was pro Schritt dazukommt.
Beispiel: drei Zusammenhänge aus dem Alltag
a) Proportional. 1 kg Äpfel kostet 2,40 €. Was kosten 3,5 kg?
\( 3{,}5 \cdot 2{,}40\ \text{€} = 8{,}40\ \text{€} \)
Keine Äpfel kosten nichts – deshalb geht der Graph durch den Ursprung.
b) Linear. Ein Taxi verlangt 3,50 € Grundpreis und 2,20 € je Kilometer. Was kostet eine Fahrt über 12 km?
\( y = 2{,}20 \cdot x + 3{,}50 \)
\( y = 2{,}20 \cdot 12 + 3{,}50 = 26{,}40 + 3{,}50 = 29{,}90 \)
Die Fahrt kostet 29,90 €. Hier ist \( t = 3{,}50 \) – auch bei 0 km zahlst Du schon etwas. Deshalb ist der Zusammenhang linear, aber nicht proportional.
c) Umgekehrt proportional. 8 Personen brauchen für eine Arbeit 15 Tage. Wie lange brauchen 12 Personen?
\( 8 \cdot 15 = 120 \qquad 120 : 12 = 10 \)
12 Personen brauchen 10 Tage. Das Produkt \( x \cdot y = 120 \) bleibt gleich.
Typische Fehler
- Linear mit proportional gleichgesetzt. Nur eine Gerade durch den Ursprung ist proportional.
- Beim umgekehrt proportionalen Zusammenhang den Dreisatz wie beim proportionalen gerechnet.
- Beim Ablesen aus dem Graphen die Achsenbeschriftung übersehen – ein Kästchen ist nicht immer 1.
6. Geometrische Figuren und Winkel
Lernbereich 3. Winkel in Dreiecken, Vierecken und regelmäßigen Vielecken – und Figuren im Koordinatensystem spiegeln. Solche Aufgaben stehen fast immer in Teil A, weil man sie ohne Taschenrechner lösen kann.
Das musst Du wissen
Dreieck: \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \) · Viereck: Summe \( = 360^\circ \)
Regelmäßiges \( n \)-Eck (alle Seiten und alle Winkel gleich):
Mittelpunktswinkel \( = \dfrac{360^\circ}{n} \qquad \) Innenwinkelsumme \( = (n-2) \cdot 180^\circ \)
ein Innenwinkel \( = \dfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \)
Vierecke: Im Parallelogramm und in der Raute sind gegenüberliegende Winkel gleich groß; benachbarte Winkel ergeben zusammen \( 180^\circ \). In der Raute sind alle vier Seiten gleich lang, die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
Spiegeln im Koordinatensystem: an der \( y \)-Achse wechselt der \( x \)-Wert das Vorzeichen, an der \( x \)-Achse der \( y \)-Wert.
Beispiel: regelmäßiges Zehneck
Berechne den Mittelpunktswinkel und einen Innenwinkel.
Mittelpunktswinkel: \( \dfrac{360^\circ}{10} = 36^\circ \)
Innenwinkelsumme: \( (10-2) \cdot 180^\circ = 8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ \)
ein Innenwinkel: \( \dfrac{1440^\circ}{10} = 144^\circ \)
Der Mittelpunktswinkel beträgt 36°, jeder Innenwinkel 144°.
Beispiel: Raute und Spiegelung
a) In einer Raute beträgt ein Winkel 70°. Wie groß sind die anderen drei?
Der gegenüberliegende Winkel ist ebenfalls 70°. Die beiden benachbarten ergeben mit ihm je 180°, sind also \( 180^\circ – 70^\circ = \) 110°. Probe: \( 70^\circ + 110^\circ + 70^\circ + 110^\circ = 360^\circ \).
b) Der Punkt \( B(-4\,|\,-1) \) wird an der \( y \)-Achse gespiegelt. Wie heißt der Bildpunkt?
Nur der \( x \)-Wert wechselt das Vorzeichen: \( B'(4\,|\,-1) \).
Typische Fehler
- Mittelpunktswinkel und Innenwinkel verwechselt. Der Mittelpunktswinkel liegt innen im Zentrum, der Innenwinkel an einer Ecke.
- Beim Spiegeln beide Koordinaten geändert. Es ändert sich immer nur eine.
- Winkelsumme im Viereck als 180° angesetzt. Im Viereck sind es 360°.
7. Satz des Pythagoras
Lernbereich 3. Der Satz des Pythagoras ist das wichtigste Werkzeug der Quali-Geometrie. Damit berechnest Du Längen, an die Du sonst nicht herankommst – im Dreieck, im Rechteck, in Dachflächen und in Körpern.
Das musst Du wissen
Im rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden kurzen Seiten Katheten (\( a \) und \( b \)), die lange Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse (\( c \)).
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
Umgestellt:
\( c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad a = \sqrt{c^2 – b^2} \qquad b = \sqrt{c^2 – a^2} \)
Umkehrung: Gilt \( a^2 + b^2 = c^2 \), dann ist das Dreieck rechtwinklig. Damit kannst Du prüfen, ob eine Ecke wirklich 90° hat.
Satz des Thales: Liegt der Punkt \( C \) auf dem Halbkreis über der Strecke \( \overline{AB} \), dann ist das Dreieck bei \( C \) rechtwinklig.
Beispiel: die Leiter an der Wand
Eine 5,00 m lange Leiter steht 1,40 m von der Hauswand entfernt. Wie hoch reicht sie?
Die Leiter ist die Hypotenuse (\( c = 5{,}00\ \text{m} \)), der Abstand eine Kathete (\( b = 1{,}40\ \text{m} \)), die Höhe \( h \) die andere Kathete.
\( h^2 + 1{,}40^2 = 5{,}00^2 \)
\( h^2 = 25{,}00\ \text{m}^2 – 1{,}96\ \text{m}^2 = 23{,}04\ \text{m}^2 \)
\( h = \sqrt{23{,}04\ \text{m}^2} = 4{,}80\ \text{m} \)
Die Leiter reicht 4,80 m hoch.
Drei weitere Aufgabentypen, die immer wieder kommen
a) Diagonale im Rechteck. Ein Rechteck ist 12 cm lang und 9 cm breit.
\( d = \sqrt{12^2 + 9^2}\ \text{cm} = \sqrt{144 + 81}\ \text{cm} = \sqrt{225}\ \text{cm} = 15\ \text{cm} \)
b) Umkehrung: Ist das Dreieck rechtwinklig? Seiten 6 cm, 8 cm, 10 cm.
\( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \quad \text{und} \quad 10^2 = 100 \)
Beide Seiten sind gleich, also ist das Dreieck rechtwinklig. Die längste Seite ist dabei immer die Hypotenuse.
c) Dachhöhe. Ein symmetrisches Satteldach ist 8,00 m breit, die beiden Dachschrägen sind je 5,00 m lang. Wie hoch ist der First über der Decke?
Die Höhe teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige; eine Kathete ist die halbe Breite, also 4,00 m.
\( h = \sqrt{5{,}00^2 – 4{,}00^2}\ \text{m} = \sqrt{9}\ \text{m} = 3{,}00\ \text{m} \)
Der First liegt 3,00 m über der Decke.
Typische Fehler
- Falsche Seite als Hypotenuse. Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel – nicht automatisch unten.
- Addiert statt subtrahiert. Ist die Hypotenuse gegeben und eine Kathete gesucht, wird abgezogen.
- Bei der ganzen Breite statt der halben gerechnet. Beim gleichschenkligen Dreieck immer erst halbieren.
- Wurzel vergessen. \( h^2 = 23{,}04\ \text{m}^2 \) ist noch nicht das Ergebnis.
- Einheit falsch: Aus \( 225\ \text{cm}^2 \) wird \( 15\ \text{cm} \), nicht \( 15\ \text{cm}^2 \).
8. Flächeninhalt – Vielecke
Lernbereich 4. In der Prüfung sind die Flächen fast nie einfache Rechtecke, sondern zusammengesetzt: ein Grundstück, ein Werkstück, ein Giebel. Der Trick ist immer derselbe – zerlegen oder ergänzen.
Das musst Du wissen
| Rechteck | \( A = a \cdot b \) | \( u = 2 \cdot (a+b) \) |
| Dreieck | \( A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \) | |
| Parallelogramm | \( A = g \cdot h \) | |
| Trapez | \( A = \dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \) | \( a \) und \( c \) sind die parallelen Seiten |
| Raute / Drachen | \( A = \dfrac{e \cdot f}{2} \) | \( e \) und \( f \) sind die Diagonalen |
| Kreis | \( A = r^2 \pi \) | \( u = 2 r \pi = d \pi \) |
Regelmäßiges Vieleck: in \( n \) gleiche Dreiecke zerlegen, ein Dreieck berechnen, mal \( n \) nehmen.
In der Quali wird mit \( \pi \approx 3{,}14 \) gerechnet.
Beispiel: zusammengesetztes Grundstück
Ein Grundstück besteht aus einem Rechteck (20 m lang, 12 m breit) und einem aufgesetzten Dreieck mit der Grundlinie 20 m und der Höhe 6 m.
\( A_{\text{Rechteck}} = 20\ \text{m} \cdot 12\ \text{m} = 240\ \text{m}^2 \)
\( A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{1}{2} \cdot 20\ \text{m} \cdot 6\ \text{m} = 60\ \text{m}^2 \)
\( A_{\text{gesamt}} = 240\ \text{m}^2 + 60\ \text{m}^2 = 300\ \text{m}^2 \)
Das Grundstück ist 300 m² groß.
Beispiel: Trapez, Raute und regelmäßiges Sechseck
a) Trapez mit \( a = 10\ \text{cm} \), \( c = 6\ \text{cm} \), \( h = 4\ \text{cm} \):
\( A = \dfrac{1}{2} \cdot (10\ \text{cm} + 6\ \text{cm}) \cdot 4\ \text{cm} = \dfrac{1}{2} \cdot 16\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 32\ \text{cm}^2 \)
b) Raute mit den Diagonalen \( e = 12\ \text{cm} \) und \( f = 8\ \text{cm} \):
\( A = \dfrac{12\ \text{cm} \cdot 8\ \text{cm}}{2} = 48\ \text{cm}^2 \)
c) Regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge 4 cm. Es besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken. Die Höhe eines solchen Dreiecks findest Du mit dem Satz des Pythagoras (halbe Seite = 2 cm):
\( h = \sqrt{4^2 – 2^2}\ \text{cm} = \sqrt{12}\ \text{cm} \approx 3{,}46\ \text{cm} \)
\( A = 6 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 4\ \text{cm} \cdot 3{,}46\ \text{cm} \approx 41{,}57\ \text{cm}^2 \)
Das Sechseck hat rund 41,57 cm². Rechne mit dem ungerundeten Wert weiter und runde erst am Schluss.
Typische Fehler
- Beim Dreieck die \( \frac{1}{2} \) vergessen – das halbiert die Punkte zuverlässig.
- Beim Trapez die Schenkel statt der Höhe eingesetzt. \( h \) steht immer senkrecht auf den parallelen Seiten.
- Einheiten gemischt (m und cm) – vorher alles auf eine Einheit bringen.
- Fläche und Umfang verwechselt. Die Einheit ist Deine Kontrolle: Fläche in cm², Umfang in cm.
9. Rauminhalt – Prisma, Pyramide, Kegel
Lernbereich 5. Volumen und Oberfläche gehören in Teil B zu den großen Aufgaben – meist als Sachaufgabe: ein Behälter, ein Werkstück, ein Dach. Der Zylinder aus der 8. Klasse kommt dabei immer wieder vor.
Das musst Du wissen
| Körper | Volumen | Oberfläche |
|---|---|---|
| Würfel | \( V = a^3 \) | \( O = 6a^2 \) |
| Quader | \( V = a \cdot b \cdot c \) | \( O = 2 \cdot (ab+ac+bc) \) |
| Prisma | \( V = G \cdot h \) | \( O = 2G + M \) |
| Zylinder | \( V = r^2 \pi \cdot h \) | \( O = 2r^2\pi + 2r\pi h \) |
| Pyramide | \( V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \) | \( O = G + M \) |
| Kegel | \( V = \dfrac{1}{3} \cdot r^2 \pi \cdot h \) | \( O = r^2\pi + r\pi s \), \( s = \sqrt{r^2+h^2} \) |
Merke: Spitze Körper (Pyramide, Kegel) haben immer den Faktor \( \frac{1}{3} \). \( G \) ist die Grundfläche, \( M \) der Mantel, \( h \) die Körperhöhe (senkrecht!), \( s \) beim Kegel die Mantellinie.
Einheiten: \( 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3 \) · \( 1\ \text{l} = 1\ \text{dm}^3 \) · \( 1\ \text{ml} = 1\ \text{cm}^3 \)
Beispiel: Prisma, Zylinder und Pyramide
a) Dreiecksprisma. Die Grundfläche ist ein Dreieck mit \( g = 6\ \text{cm} \) und \( h_\triangle = 4\ \text{cm} \), das Prisma ist 10 cm lang.
\( G = \dfrac{1}{2} \cdot 6\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 12\ \text{cm}^2 \)
\( V = G \cdot h = 12\ \text{cm}^2 \cdot 10\ \text{cm} = 120\ \text{cm}^3 \)
Das Prisma hat das Volumen 120 cm³.
b) Zylinder. \( r = 5\ \text{cm} \), \( h = 12\ \text{cm} \), \( \pi \approx 3{,}14 \):
\( V = r^2 \pi \cdot h = 25\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 \cdot 12\ \text{cm} = 942\ \text{cm}^3 \)
Das sind 942 cm³, also 0,942 Liter.
c) Quadratische Pyramide. Grundkante \( a = 6\ \text{cm} \), Körperhöhe \( h = 10\ \text{cm} \):
\( G = 6\ \text{cm} \cdot 6\ \text{cm} = 36\ \text{cm}^2 \)
\( V = \dfrac{1}{3} \cdot 36\ \text{cm}^2 \cdot 10\ \text{cm} = 120\ \text{cm}^3 \)
Auch hier sind es 120 cm³ – obwohl die Pyramide viel höher ist als das Prisma. Das liegt am Faktor \( \frac{1}{3} \).
Beispiel: Oberfläche einer Pyramide und eines Kegels
a) Pyramide mit Grundkante \( a = 6\ \text{cm} \) und Körperhöhe \( h = 4\ \text{cm} \). Für den Mantel brauchst Du die Seitenhöhe \( h_s \) – die findest Du mit Pythagoras aus der halben Grundkante (3 cm) und der Körperhöhe:
\( h_s = \sqrt{3^2 + 4^2}\ \text{cm} = \sqrt{25}\ \text{cm} = 5\ \text{cm} \)
\( M = 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 6\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm} = 60\ \text{cm}^2 \)
\( O = G + M = 36\ \text{cm}^2 + 60\ \text{cm}^2 = 96\ \text{cm}^2 \)
Die Oberfläche beträgt 96 cm².
b) Kegel mit \( r = 3\ \text{cm} \) und \( h = 4\ \text{cm} \). Zuerst die Mantellinie:
\( s = \sqrt{3^2 + 4^2}\ \text{cm} = 5\ \text{cm} \)
\( V = \dfrac{1}{3} \cdot 9\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 \cdot 4\ \text{cm} = 37{,}68\ \text{cm}^3 \)
\( O = 9\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 + 3\ \text{cm} \cdot 3{,}14 \cdot 5\ \text{cm} = 28{,}26\ \text{cm}^2 + 47{,}10\ \text{cm}^2 = 75{,}36\ \text{cm}^2 \)
Der Kegel hat \( V = \) 37,68 cm³ und \( O = \) 75,36 cm².
Umkehraufgabe – das kommt gern in Teil B
Eine Pyramide hat das Volumen \( V = 120\ \text{cm}^3 \) und die Grundfläche \( G = 30\ \text{cm}^2 \). Wie hoch ist sie?
\( V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \quad \Rightarrow \quad h = \dfrac{3 \cdot V}{G} = \dfrac{3 \cdot 120\ \text{cm}^3}{30\ \text{cm}^2} = 12\ \text{cm} \)
Die Pyramide ist 12 cm hoch.
Typische Fehler
- Durchmesser statt Radius eingesetzt. Steht \( d \) in der Angabe, rechne zuerst \( r = \frac{d}{2} \).
- Der Faktor \( \frac{1}{3} \) fehlt bei Pyramide oder Kegel.
- Körperhöhe \( h \) und Seitenhöhe \( h_s \) (bzw. Mantellinie \( s \)) verwechselt. \( h_s \) und \( s \) sind immer länger als \( h \).
- Einheiten nicht angeglichen: \( 1\ \text{dm}^3 \) sind 1000 cm³, nicht 10 cm³.
- Bei zusammengesetzten Körpern alle Flächen addiert – verdeckte Flächen zählen bei der Oberfläche nicht mit.
10. Wahrscheinlichkeiten
Lernbereich 6. Glücksrad, Würfel, Urne, Lostrommel: Du beschreibst Zufallsversuche mit Ergebnismenge und Ereignis und berechnest, wie wahrscheinlich etwas ist.
Das musst Du wissen
Bei einem Laplace-Versuch sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich (fairer Würfel, faires Glücksrad):
\( P(E) = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} \)
Gegenereignis: \( P(\overline{E}) = 1 – P(E) \) – besonders nützlich bei „mindestens“.
Baumdiagramm für zwei Stufen: entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere günstige Pfade addieren.
Kontrolle: \( P \) liegt immer zwischen 0 und 1. Alle Pfadwahrscheinlichkeiten zusammen ergeben 1.
Beispiel: Würfel und Urne
a) Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Wie wahrscheinlich ist eine gerade Augenzahl?
Mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6 – das sind 6. Günstig sind 2, 4, 6 – das sind 3.
\( P(\text{gerade}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\ \% \)
b) In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es wird einmal gezogen.
\( P(\text{rot}) = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 = 60\ \% \)
\( P(\text{nicht rot}) = 1 – 0{,}6 = 0{,}4 = 40\ \% \)
Das zweite Ergebnis kannst Du auch direkt ablesen: 2 von 5 Kugeln sind blau, also \( \frac{2}{5} = 0{,}4 \). Beide Wege führen zum selben Ergebnis – eine gute Kontrolle.
Beispiel: zwei Stufen im Baumdiagramm
Eine Münze wird zweimal geworfen (Kopf K oder Zahl Z).
\( P(\text{zweimal Kopf}) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} = 25\ \% \)
\( P(\text{genau einmal Kopf}) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} = 50\ \% \)
\( P(\text{mindestens einmal Kopf}) = 1 – P(ZZ) = 1 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} = 75\ \% \)
Kontrolle: \( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 \) – das Baumdiagramm ist vollständig.
Typische Fehler
- Pfade addiert statt multipliziert. Merke: entlang eines Pfades mal, zwischen Pfaden plus.
- Einen Pfad vergessen. Bei „genau einmal Kopf“ gehören KZ und ZK dazu.
- Wahrscheinlichkeit größer als 1. Dann steckt ein Rechenfehler drin.
- Bei „mindestens“ alles einzeln gerechnet, statt das Gegenereignis zu nutzen.
Formelübersicht auf einen Blick
Diese Zusammenstellung ersetzt nicht Deine zugelassene Formelsammlung – sie zeigt Dir, was Du davon in der Prüfung wirklich brauchst. Denk daran: In Teil A hast Du die Formelsammlung nicht.
| Prozent | \( W = G \cdot \frac{p}{100} \) · \( G = \frac{W \cdot 100}{p} \) · \( p = \frac{W \cdot 100}{G} \) |
| Zinsen | \( Z = K \cdot \frac{p}{100} \) · Monate \( \cdot \frac{m}{12} \) · Tage \( \cdot \frac{t}{360} \) · \( K_n = K_0 \cdot q^{\,n} \) |
| Potenzen | \( a^0 = 1 \) · \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) · \( 10^m \cdot 10^n = 10^{m+n} \) |
| Funktionen | \( y = m \cdot x + t \) · proportional: \( y : x \) konstant · umgekehrt proportional: \( x \cdot y \) konstant |
| Winkel | Dreieck \( 180^\circ \) · Viereck \( 360^\circ \) · \( n \)-Eck: \( \frac{360^\circ}{n} \) und \( (n-2) \cdot 180^\circ \) |
| Pythagoras | \( a^2 + b^2 = c^2 \) · \( c = \sqrt{a^2+b^2} \) · \( a = \sqrt{c^2-b^2} \) |
| Flächen | \( A_\triangle = \frac{1}{2} g h \) · \( A_{\text{Trapez}} = \frac{1}{2}(a+c)h \) · \( A_{\text{Raute}} = \frac{e \cdot f}{2} \) · \( A_{\text{Kreis}} = r^2\pi \) |
| Körper | \( V_{\text{Prisma}} = G h \) · \( V_{\text{Zylinder}} = r^2\pi h \) · \( V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3} G h \) · \( V_{\text{Kegel}} = \frac{1}{3} r^2 \pi h \) |
| Wahrscheinlichkeit | \( P(E) = \frac{\text{günstig}}{\text{möglich}} \) · \( P(\overline{E}) = 1 – P(E) \) · Pfad: multiplizieren, Pfade: addieren |
So fragt die Quali-Prüfung
Die Tabelle zeigt Dir, in welchem Prüfungsteil ein Thema üblicherweise auftaucht. Sie beruht auf der Auswertung der Original-Prüfungen der letzten Jahrgänge im aktuellen Format – es ist eine Orientierung, kein Versprechen.
| Thema | Teil A (ohne Hilfsmittel) | Teil B (mit Hilfsmitteln) |
|---|---|---|
| Grundrechenarten, Größen, Dreisatz | überschlagen, schätzen, Fehler finden | eingebaut in Sachaufgaben |
| Prozent und Zinsen | einfache Prozentsätze im Kopf | große Sachaufgabe, oft mehrstufig |
| Potenzen und Zehnerpotenzen | Schreibweisen zuordnen | Größenordnungen vergleichen |
| Gleichungen und Formeln | Umformung beurteilen, Formel umstellen | Gleichung aus einem Sachtext aufstellen |
| Funktionale Zusammenhänge | Graph zuordnen und begründen | Wertetabelle, Graph zeichnen, Werte ablesen |
| Figuren und Winkel | Winkel berechnen, spiegeln | Konstruktion und Begründung |
| Pythagoras | Umkehrung prüfen | Längen in Figuren und Körpern |
| Flächen | Formel erkennen | zusammengesetzte Fläche berechnen |
| Körper | Schrägbild zuordnen | Volumen, Oberfläche, Umkehraufgabe |
| Wahrscheinlichkeit | einfache Laplace-Aufgabe | Baumdiagramm, Gegenereignis |
Die Fehler, die am meisten Punkte kosten
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So nicht
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So bekommst Du die Punkte
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Dein Lernplan für die letzten Wochen
- Geh die zehn Kapitel oben durch und markiere, was Du sicher kannst.
- Nimm Dir die Kapitel mit den meisten Lücken einzeln vor – erst die Merke-Box, dann das Beispiel nachrechnen, dann selbst üben.
- Übe Teil-A-Aufgaben grundsätzlich ohne Taschenrechner. Sonst kommt in der Prüfung die böse Überraschung.
- Rechne zum Schluss eine ganze Original-Prüfung am Stück – mit Uhr, 30 Minuten Teil A, 90 Minuten Teil B.
✏️ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Erzeuge Dir zu jedem Thema dieser Seite beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zur Mittelschule Bayern und zum Quali.
Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 9 (Regelklasse), Lernbereiche 1–8 (Fachlehrplan Mathematik). Angaben zu Prüfungsablauf, Punkteverteilung und Notenschlüssel nach den amtlichen Hinweisen zur Durchführung, Korrektur und Bewertung der besonderen Leistungsfeststellung gemäß § 23 MSO. Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet. Die aktuellen Prüfungstermine gibt das Bayerische Staatsministerium für Unterricht und Kultus jedes Jahr neu bekannt.