Abschnittsweise definierte Funktionen
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Weitere Funktionen (Technik)
Viele Vorgänge verlaufen in Abschnitten nach verschiedenen Gesetzen: ein Fahrzeug beschleunigt, fährt gleichförmig, bremst; Kosten ändern ihre Struktur ab einer bestimmten Stückzahl. Solche Funktionen definiert man abschnittsweise – als Zwei- oder Dreizeiler. Die Übergangsstelle heißt Nahtstelle.
1 Definition, Nahtstelle und Definitionslücke
Jeder Abschnitt hat einen eigenen Term, z. B. als Zweizeiler \(f(x)=\begin{cases} x^2 & x\le 1\\ 2x-1 & x>1\end{cases}\).
- Nahtstelle: \(x\)-Wert am Übergang zweier Abschnitte – hier wird die Funktion untersucht.
- Definitionslücke: ein \(x\)-Wert, an dem \(f\) nicht definiert ist (z. B. bei einem Dreizeiler für \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)). Dort betrachtet man das Verhalten über Grenzwerte.
An einer Nahtstelle sind drei Fälle möglich:
2 Modellierung realer Situationen
Stufe 2-3 · AnwendungKostenfunktion mit Sprungstelle
Beispiel A. Die variablen Kosten betragen \(25\) GE/Gerät. Bis \(100\) Stück fallen \(250\) GE Fixkosten an; ab \(100\) Stück (zusätzliche Maschinen) steigen die Fixkosten auf \(500\) GE. Die Kostenfunktion ist daher abschnittsweise:
\(K(x)=\begin{cases} 25x+250 & 0\le x\le 100\\ 25x+500 & 100 An der Nahtstelle \(x=100\) springen die Kosten von \(2750\) GE auf \(3000\) GE. Die Funktion ist dort unstetig.
3 Grenzwerte und Stetigkeit an der Nahtstelle
Stufe 2-3 · hilfsmittelfreiLinksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert
Man nähert sich der Nahtstelle \(x_0\) von beiden Seiten:
LGW \(=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)\qquad\) RGW \(=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\)
Stetig an \(x_0\), wenn LGW \(=\) RGW \(=f(x_0)\). Ist LGW \(\neq\) RGW, liegt ein Sprung vor (unstetig).
Beispiel B. Ist \(f(x)=\begin{cases} x^2 & x\le 1\\ 2x-1 & x>1\end{cases}\) an \(x_0=1\) stetig?
| LGW: \(\lim\limits_{x\to1^-}x^2=1\) | |
| RGW: \(\lim\limits_{x\to1^+}(2x-1)=1\) | LGW = RGW = 1 |
Beide Grenzwerte stimmen mit \(f(1)=1\) überein → \(f\) ist stetig. (Zum Vergleich: bei der Kostenfunktion oben ist LGW \(=2750\neq 3000=\) RGW → Sprung.)
4 Differenzierbarkeit (knickfrei)
Stufe 3 · AusbauGleiche Steigung von beiden Seiten
Differenzierbar (knickfrei) an \(x_0\), wenn \(f\) dort stetig ist und die Ableitungen der Teilstücke übereinstimmen:
\(f’_{\text{links}}(x_0)=f’_{\text{rechts}}(x_0)\)
Beispiel C. \(f\) aus Beispiel B an \(x_0=1\):
| links \(f'(x)=2x\Rightarrow f'(1)=2\) | |
| rechts \(f'(x)=2\Rightarrow f'(1)=2\) | gleich → differenzierbar |
5 Parameter so bestimmen, dass es passt
Stufe 4 · PrüfungsniveauKnickfrei anschließen
Beispiel D. Für welche \(a,b\) ist \(f(x)=\begin{cases} x^2 & x\le 1\\ a\,x+b & x>1\end{cases}\) an \(x_0=1\) stetig und differenzierbar?
1. Stetigkeit (Werte gleich)
| \(1^2=a\cdot1+b\Rightarrow a+b=1\) | (I) |
2. Differenzierbarkeit (Ableitungen gleich)
| \(2\cdot1=a\Rightarrow a=2\) | (II) |
3. Einsetzen
| \(2+b=1\Rightarrow b=-1\) |
Ergebnis: \(a=2,\ b=-1\) – die Gerade \(2x-1\) ist genau die Tangente an \(x^2\) im Punkt \((1\mid1)\).
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Nahtstelle und Definitionslücke verwechseln.
✓ Richtig
Nahtstelle: Übergang (Funktion definiert). Definitionslücke: dort nicht definiert – Verhalten über LGW/RGW.
✗ Falsch
Gleiche Werte automatisch als differenzierbar deuten.
✓ Richtig
Gleiche Werte = stetig. Für differenzierbar zusätzlich die Ableitungen vergleichen.
✗ Falsch
Einen Knick für „unstetig“ halten.
✓ Richtig
Knick = stetig (kein Sprung), nur nicht differenzierbar. Unstetig = Sprung (LGW \(\neq\) RGW).
✗ Falsch
Bei der Parameteraufgabe nur eine Bedingung nutzen.
✓ Richtig
Stetig und differenzierbar geben zwei Gleichungen für \(a,b\).
Auf einen Blick
- Zwei-/Dreizeiler: je Abschnitt ein Term; Nahtstelle = Übergang, Definitionslücke = nicht definiert.
- Grenzwerte: LGW \(=\lim_{x\to x_0^-}f\), RGW \(=\lim_{x\to x_0^+}f\).
- Stetig: LGW \(=\) RGW \(=f(x_0)\) (sonst Sprung).
- Differenzierbar: zusätzlich \(f’_{\text{links}}(x_0)=f’_{\text{rechts}}(x_0)\).
- Parameter: Stetigkeit + Differenzierbarkeit = zwei Gleichungen.
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Trainieren Sie abschnittsweise Funktionen: Modellierung, Grenzwerte (LGW/RGW), Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Parameter – für die FOS/BOS 12 Bayern (Technik).