Geradengleichungen
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Analytische Geometrie (Technik)
Im Raum beschreibt man eine Gerade nicht mehr durch \(y=mx+t\), sondern durch Vektoren: einen Punkt auf der Geraden und eine Richtung. Das ist die Grundlage der gesamten analytischen Geometrie – von Flugbahnen bis zu Schnittproblemen.
1 Die Parameterform einer Geraden
Ein Punkt \(A\) im Raum wird durch seinen Ortsvektor \(\vec a=\overrightarrow{OA}\) beschrieben. Ein Richtungsvektor \(\vec u\) gibt an, in welche Richtung die Gerade verläuft.
Gerade in Parameterform. Eine Gerade \(g\) durch den Punkt \(A\) (Ortsvektor \(\vec a\)) mit Richtungsvektor \(\vec u\):
\(g:\ \vec x=\vec a+\lambda\cdot\vec u,\quad \lambda\in\mathbb{R}\)
\(\vec a\) heißt Stützvektor, \(\vec u\) Richtungsvektor. Jeder Wert des Parameters \(\lambda\) liefert genau einen Punkt der Geraden.
2 Geradengleichung aus zwei Punkten
Stufe 2 · hilfsmittelfreiZwei-Punkte-Form
Beispiel A. Gesucht ist die Gerade durch \(A(1\mid 0\mid 2)\) und \(B(2\mid 1\mid 4)\).
1. Richtungsvektor aus den beiden Punkten
| \(\vec u=\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\) |
2. Gleichung mit Stützvektor \(\vec a=\overrightarrow{OA}\)
| \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\) |
Als Stützvektor darf man jeden Punkt der Geraden nehmen (z. B. auch \(B\)); als Richtungsvektor auch ein Vielfaches von \(\vec u\).
3 Punktprobe: Liegt ein Punkt auf der Geraden?
Stufe 2-3 · hilfsmittelfreiIn allen Zeilen dasselbe \(\lambda\)
Ein Punkt liegt genau dann auf \(g\), wenn das Einsetzen seiner Koordinaten in jeder Zeile dasselbe \(\lambda\) liefert. Ein Widerspruch in einer Zeile bedeutet: Der Punkt liegt nicht auf \(g\).
Beispiel B. Liegt \(P(3\mid 2\mid 6)\) bzw. \(Q(4\mid 2\mid 7)\) auf \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\)?
Punkt \(P\): jede Zeile nach \(\lambda\) auflösen
| \(3=1+\lambda\ \Rightarrow\ \lambda=2\) | |
| \(2=0+\lambda\ \Rightarrow\ \lambda=2\) | |
| \(6=2+2\lambda\ \Rightarrow\ \lambda=2\) | alle gleich → \(P\) liegt auf \(g\) |
Punkt \(Q\)
| \(4=1+\lambda\ \Rightarrow\ \lambda=3\) | |
| \(2=0+\lambda\ \Rightarrow\ \lambda=2\) | Widerspruch → \(Q\) liegt nicht auf \(g\) |
4 Spurpunkte
Stufe 3-4 · PrüfungWo durchstoßt die Gerade die Koordinatenebenen?
Ein Spurpunkt ist der Schnittpunkt der Geraden mit einer Koordinatenebene. Man setzt die passende Koordinate \(=0\), löst nach \(\lambda\) auf und setzt ein:
- \(x_1x_2\)-Ebene („Boden“): \(x_3=0\)
- \(x_1x_3\)-Ebene: \(x_2=0\)
- \(x_2x_3\)-Ebene: \(x_1=0\)
Beispiel C. Bestimmen Sie den Spurpunkt von \(h:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene.
1. Bedingung \(x_3=0\) setzen
| \(3+\lambda\cdot(-1)=0\ \Rightarrow\ 3-\lambda=0\ \Rightarrow\ \lambda=3\) |
2. \(\lambda=3\) in die Geradengleichung einsetzen
| \(\vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}\) |
Spurpunkt: \(S(4\mid 1\mid 0)\) – die dritte Koordinate ist \(0\), der Punkt liegt also in der \(x_1x_2\)-Ebene.
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Richtungsvektor als \(\vec a-\vec b\) statt \(\vec b-\vec a\) – und dann Vorzeichen durcheinander.
✓ Richtig
\(\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\) (Spitze minus Fuß). Die Richtung darf zeigen, wohin sie will – nur konsequent bleiben.
✗ Falsch
Bei der Punktprobe nur eine Zeile prüfen.
✓ Richtig
Das \(\lambda\) muss in allen drei Zeilen gleich sein – sonst liegt der Punkt nicht auf \(g\).
✗ Falsch
Für den Spurpunkt die falsche Koordinate \(=0\) setzen.
✓ Richtig
\(x_1x_2\)-Ebene → \(x_3=0\); \(x_1x_3\)-Ebene → \(x_2=0\); \(x_2x_3\)-Ebene → \(x_1=0\).
✗ Falsch
Stütz- und Richtungsvektor verwechseln.
✓ Richtig
Der Stützvektor zeigt zu einem Punkt der Geraden, der Richtungsvektor gibt nur die Richtung an.
Auf einen Blick
- Parameterform: \(\vec x=\vec a+\lambda\vec u\) (Stützvektor + \(\lambda\cdot\) Richtungsvektor).
- Zwei Punkte: \(\vec u=\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\), Stützvektor \(\vec a\).
- Punktprobe: in allen Zeilen dasselbe \(\lambda\)?
- Spurpunkt: passende Koordinate \(=0\), \(\lambda\) bestimmen, einsetzen.
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Trainieren Sie Geradengleichungen, Punktprobe und Spurpunkte – für die FOS/BOS 12 Bayern (Technik).