Mathematik Wirtschaftsschule Bayern · Klasse 10 · Lernbereich „Funktionaler Zusammenhang“ (LehrplanPLUS) · BY
Quadratische Funktionen: Parabeln in der Abschlussprüfung
Parabeln gehören zu jeder Abschlussprüfung der Wirtschaftsschule – oft als Anwendungsaufgabe: ein Torbogen, eine Brücke, eine Wurfbahn. Sie stellen die Funktionsgleichung auf, berechnen den Scheitelpunkt und die Nullstellen und bestimmen Schnittpunkte mit einer Geraden. Diese Seite führt Sie Schritt für Schritt vom sicheren Rechnen bis auf das Niveau der Original-Prüfung.
- Normalform und Scheitelpunktform
- Scheitelpunkt bestimmen
- Nullstellen berechnen
- Funktionsgleichung aufstellen
- Schnittpunkt Parabel und Gerade
- So fragt die Abschlussprüfung
- Typische Fehler
1. Normalform und Scheitelpunktform
Eine quadratische Funktion beschreibt eine Parabel. Es gibt zwei wichtige Schreibweisen:
\( \text{Normalform:}\quad f(x) = ax^2 + bx + c \)
\( \text{Scheitelpunktform:}\quad f(x) = a\cdot(x – x_S)^2 + y_S \)
In der Scheitelpunktform kann man den Scheitel direkt ablesen: \( S(x_S \mid y_S) \). Der Faktor \( a \) bestimmt die Öffnung: \( a>0 \) nach oben, \( a<0 \) nach unten.
2. Scheitelpunkt bestimmen
Liegt die Funktion in der Normalform vor, berechnen Sie den Scheitel mit diesen Formeln:
\( x_S = -\dfrac{b}{2a} \qquad y_S = f(x_S) \)
Musterbeispiel
Gegeben: \( f(x) = x^2 – 4x + 3 \). Bestimmen Sie den Scheitelpunkt.
\( x_S = -\dfrac{-4}{2\cdot 1} = \dfrac{4}{2} = 2 \)
\( y_S = f(2) = 2^2 – 4\cdot 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = -1 \)
\( S(2 \mid -1) \)
Gegenprobe: \( f(1)=0 \) und \( f(3)=0 \) – die Parabel ist symmetrisch zu \( x=2 \). ✓
3. Nullstellen berechnen
Die Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse. Dort gilt \( f(x)=0 \). Man setzt die Funktion gleich null und löst die quadratische Gleichung – an der Wirtschaftsschule mit der Lösungsformel:
\( x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)
Musterbeispiel
\( f(x) = x^2 – 4x + 3 \), also \( a=1,\; b=-4,\; c=3 \).
\( D = b^2-4ac = (-4)^2 – 4\cdot 1\cdot 3 = 16 – 12 = 4 \)
\( x_{1,2} = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2\cdot 1} = \dfrac{4 \pm 2}{2} \)
\( x_1 = \dfrac{4+2}{2} = 3 \qquad x_2 = \dfrac{4-2}{2} = 1 \)
4. Funktionsgleichung aufstellen
In der Prüfung sind oft Punkte oder der Scheitel gegeben, und Sie sollen die Gleichung aufstellen. Zwei häufige Fälle:
a) Scheitel S und ein Punkt gegeben: Scheitelpunktform \( f(x)=a(x-x_S)^2+y_S \) nutzen, Punkt einsetzen, \( a \) berechnen.
b) Formfaktor \( a \) und zwei Punkte gegeben (wie im Torbogen der Prüfung 2025): \( f(x)=ax^2+bx+c \) ansetzen, beide Punkte einsetzen, das Gleichungssystem für \( b \) und \( c \) lösen.
5. Schnittpunkt Parabel und Gerade
Ein klassischer Prüfungstyp: Wo schneiden sich eine Parabel \( p \) und eine Gerade \( g \)? Man setzt beide gleich und löst nach \( x \).
Musterbeispiel
\( p(x) = -0,5x^2 + 2x + 2 \) und \( g(x) = x + 0,5 \).
\( -0,5x^2 + 2x + 2 = x + 0,5 \)
\( -0,5x^2 + x + 1,5 = 0 \quad|\cdot(-2) \)
\( x^2 – 2x – 3 = 0 \)
\( x_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \Rightarrow x_1=3,\; x_2=-1 \)
\( g(3)=3,5,\quad g(-1)=-0,5 \Rightarrow S_1(3\mid 3,5),\; S_2(-1\mid -0,5) \)
6. So fragt die Abschlussprüfung
★ Prüfungsaufgabe 2025, Teil B (Original) – „Torbogen“
Ein parabelförmiger Torbogen \( p \) verläuft durch \( A(90\mid 128) \) und \( B(210\mid 128) \) und hat den Formfaktor \( a=-0,02 \). Ergebnis der Prüfung: \( p(x) = -0,02x^2 + 6x – 250 \).
Typische Teilaufgaben dazu: Funktionsgleichung ermitteln (aus Punkten + Formfaktor), maximale Höhe (Scheitelpunkt), Spannweite (Nullstellen), und der Schnittpunkt mit einer Gondelbahn (Gerade). Genau die Schritte 2 bis 5 dieser Seite – nur im Anwendungskontext.
7. Typische Fehler
✗ Falsch:
Bei \( x_S=-\frac{b}{2a} \) das Minuszeichen von \( b \) vergessen.
✓ Richtig:
Immer \( -\frac{b}{2a} \) mit dem tatsächlichen Vorzeichen von b: bei \( b=-4 \) also \( -\frac{-4}{2}=+2 \).
Tipp: Erst \( b \) mit Vorzeichen hinschreiben, dann in die Formel einsetzen.
✗ Falsch:
Bei der Lösungsformel die Diskriminante \( b^2-4ac \) falsch (z. B. \( b^2 \) ohne Klammer bei negativem b).
✓ Richtig:
\( (-4)^2 = 16 \), nicht \( -16 \). Negatives b immer in Klammern quadrieren.
Tipp: Diskriminante zuerst separat ausrechnen, dann erst in die Formel.
✗ Falsch:
Beim Schnittpunkt Parabel/Gerade nur die x-Werte angeben und die y-Werte vergessen.
✓ Richtig:
Ein Schnittpunkt hat zwei Koordinaten. Nach dem x-Wert immer in eine der Funktionen einsetzen.
Tipp: y-Wert am schnellsten über die Geradengleichung berechnen.
Weiterlernen
- Quadratische Funktionen (Klasse 9) – die Grundlagen: zeichnen, Scheitel- und Normalform.
- Lineare Funktionen (Klasse 8) – die Gerade, die Sie beim Schnittpunkt brauchen.
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