Mathematik Realschule Bayern · Klasse 5 · Lernbereich 6 „Auswertung von Daten“ (LehrplanPLUS) · BY

Daten auswerten: von der Strichliste bis zum Diagramm

Im Hofladen des Holzwerks Brandl in Rosenheim macht Lena am Samstag bei jedem verkauften Holzspielzeug einen Strich auf einen Zettel. Am Abend liegen dort über vierzig Striche – und auf den ersten Blick sieht niemand, was sich am besten verkauft hat. Genau darum geht es auf dieser Seite: Aus einem Haufen Striche wird eine Tabelle, aus der Tabelle wird ein Diagramm – also ein Bild, an dem du die Zahlen sofort erkennst – und aus dem Diagramm wird die Antwort auf eine Frage. Zu jedem Schritt zeichnest du selbst eine passende Grafik, damit du siehst, was gerade passiert.

Inhalt dieser Seite

1. Von der Urliste zur Strichliste
2. Von der Strichliste zur Häufigkeitstabelle
3. Das Säulen- und das Balkendiagramm
4. Weitere Darstellungen: Bilddiagramm und Vierfeldertafel
5. Fragen an ein Diagramm stellen und beantworten
6. Diagramme kritisch prüfen
7. Das Wichtigste in Kürze

1. Von der Urliste zur Strichliste

Wenn du Daten sammelst, notierst du sie zuerst genau in der Reihenfolge, in der sie bei dir ankommen. Diese ungeordnete Liste heißt Urliste. Eine Urliste ist ehrlich, aber unübersichtlich: Du siehst nicht auf einen Blick, welcher Wert am häufigsten vorkommt.

Merve notiert am Marktstand des Holzwerks die Farbe jedes verkauften Kreisels in der Reihenfolge des Verkaufs. Das ist ihre Urliste:

Um aus dieser Urliste etwas herauszulesen, gehst du sie genau einmal von vorne nach hinten durch und machst bei jedem Wert einen Strich in der passenden Zeile. Damit dein Auge auch bei größeren Anzahlen nicht durcheinanderkommt, werden die Striche in Bündeln zu fünf notiert: vier senkrechte Striche, der fünfte quer darüber. So kannst du später in Fünferschritten weiterzählen, statt jeden Strich einzeln zu zählen.

Auszählen: Bei Rot stehen ein volles Bündel und vier einzelne Striche: \( 1 \cdot 5 + 4 = 9 \). Bei Blau ein Bündel und ein Strich: \( 1 \cdot 5 + 1 = 6 \). Grün und Gelb haben kein volles Bündel, also zählst du dort einfach die einzelnen Striche: 3 bzw. 2.

Kontrolle an der Urliste: Rot steht an den Positionen 1, 3, 5, 8, 11, 12, 15, 18, 20 – das sind genau 9 Stellen. Damit stimmt die Strichliste mit der Urliste überein.

2. Von der Strichliste zur Häufigkeitstabelle

Die Strichliste ist gut zum Zählen, aber für einen schnellen Überblick trägst du das Ergebnis in eine Häufigkeitstabelle ein: links die Kategorie, rechts die Anzahl (die sogenannte Häufigkeit), unten die Gesamtzahl. Als Beispiel nimmst du Lenas Strichliste der verkauften Holzspielzeuge vom Samstag im Hofladen – ausgezählt ergab sie: Holzauto \( 2 \cdot 5 + 2 = 12 \), Bauklötze \( 1 \cdot 5 + 4 = 9 \), Kreisel \( 1 \cdot 5 + 2 = 7 \), Puppenbett \( 4 \), Holzeisenbahn \( 1 \cdot 5 + 3 = 8 \).

Nach jeder Häufigkeitstabelle machst du die Summenprobe: Alle Einzelhäufigkeiten zusammengezählt müssen genau die Gesamtzahl ergeben.

Rechne dabei schrittweise mit: \( 12 + 9 = 21 \), \( 21 + 7 = 28 \), \( 28 + 4 = 32 \), \( 32 + 8 = 40 \) ✓ Die Tabelle stimmt.

3. Das Säulen- und das Balkendiagramm

Eine Tabelle nennt dir Zahlen, ein Diagramm zeigt sie dir bildlich, sodass du Unterschiede auf einen Blick erkennst. Stehen die Stäbchen senkrecht, heißt das Bild Säulendiagramm; liegen sie waagrecht, heißt es Balkendiagramm. Beide funktionieren nach derselben Regel: Gleich viel Länge bedeutet überall gleich viele Stück, und deshalb muss die Zähl-Achse immer bei null beginnen.

So zeichnest du ein Säulendiagramm zur Holzspielzeug-Tabelle: (1) Beide Achsen zeichnen. (2) Größten Wert suchen – hier \( 12 \) – und eine Einteilung wählen, die glatt aufgeht, zum Beispiel eine Marke alle \( 2 \) Stück. (3) Alle Säulen gleich breit zeichnen, mit gleichem Abstand. (4) Achsen beschriften und dem Diagramm eine Überschrift geben.

Ein Balkendiagramm lesen

Das Holzwerk hat 60 Kundinnen und Kunden gefragt, welche Holzart sie bei einem Massivholztisch am liebsten mögen. Jede Person nannte genau eine Holzart. Weil die Namen der Holzarten lang sind, liegen die Balken waagrecht:

Abgelesen: Eiche \( 24 \), Buche \( 15 \), Ahorn \( 12 \), Kirsche \( 9 \). Summenprobe: \( 24 + 15 + 12 + 9 = 60 \) ✓ das passt zu den 60 befragten Personen.

4. Weitere Darstellungen: Bilddiagramm und Vierfeldertafel

Das Bilddiagramm (Piktogramm) ersetzt die Säulen durch kleine Bilder. Jedes Bild steht für eine feste Anzahl – das musst du in einer Legende angeben. Bei einer Umfrage zu Haustieren in einer Klasse mit 24 Kindern (jedes Kind nannte genau ein Haustier oder „keines“) steht jedes Symbol für 2 Kinder:

Auszählen: \( 4 \cdot 2 = 8 \) Hunde-Kinder, \( 3 \cdot 2 = 6 \) Katzen-Kinder, \( 2 \cdot 2 = 4 \) Kaninchen-Kinder, \( 3 \cdot 2 = 6 \) ohne Haustier. Summenprobe: \( 8 + 6 + 4 + 6 = 24 \) ✓ das sind alle Kinder der Klasse.

Die Vierfeldertafel ordnet Daten nach zwei Merkmalen gleichzeitig. Herr Sailer will wissen, wie die 28 Kinder der Klasse 5a zur Schule kommen. Erstes Merkmal: Junge oder Mädchen. Zweites Merkmal: mit dem Rad oder nicht. Bekannt sind erst vier Zahlen:

Du suchst immer eine Zeile oder Spalte, in der nur eine Zahl fehlt, und bestimmst sie durch Subtraktion: Zeile Jungen \( 15 – 9 = 6 \); Spalte „mit Rad“ \( 16 – 9 = 7 \); Zeile Gesamt \( 28 – 16 = 12 \); Spalte „nicht mit Rad“ \( 12 – 6 = 6 \); Spalte Gesamt \( 28 – 15 = 13 \).

Doppelte Probe: Zeilen \( 9+6=15 \) ✓ und \( 7+6=13 \) ✓. Spalten \( 9+7=16 \) ✓ und \( 6+6=12 \) ✓. Gesamt von beiden Seiten: \( 15+13=28 \) ✓ und \( 16+12=28 \) ✓.

5. Fragen an ein Diagramm stellen und beantworten

Ein Diagramm ist erst dann nützlich, wenn du damit Fragen beantworten kannst. Zurück zum Balkendiagramm der Lieblingsholzart (Eiche 24, Buche 15, Ahorn 12, Kirsche 9, gesamt 60):

• Welche Holzart wurde am häufigsten genannt? Eiche mit \( 24 \) Nennungen – ihr Balken ist der längste.
• Wie viele Personen mehr nannten Eiche als Kirsche? \( 24 – 9 = 15 \) Personen mehr.
• Gibt es eine Holzart, die genau doppelt so oft genannt wurde wie eine andere? Ja: Eiche und Ahorn, denn \( 2 \cdot 12 = 24 \).

Genauso wichtig ist zu erkennen, was ein Diagramm nicht beantworten kann. „Wie alt waren die Befragten?“ oder „Welches Holz ist am schönsten?“ lassen sich aus diesen Zahlen nicht beantworten – das Alter wurde nicht erhoben, und Geschmack ist keine mathematische Frage.

6. Diagramme kritisch prüfen

Ein Diagramm kann alle Zahlen richtig zeigen und trotzdem einen falschen Eindruck erwecken. Der häufigste Trick: Die senkrechte Achse beginnt nicht bei null. Das Holzwerk verkauft in vier Monaten \( 40 \), \( 44 \), \( 46 \) und \( 50 \) Vogelhäuschen. Vergleiche die beiden Diagramme zu denselben Zahlen:

Beginnt die Achse bei \( 38 \) statt bei \( 0 \), bleiben von den Säulen nur die Reste \( 2 \), \( 6 \), \( 8 \) und \( 12 \) übrig. Die letzte Säule wirkt dann sechsmal so lang wie die erste (\( 12 : 2 = 6 \)), obwohl in Wirklichkeit nur \( 50 – 40 = 10 \) Vogelhäuschen mehr verkauft wurden. Die Zahlen an der Achse sind dabei nicht gefälscht – getäuscht wird allein über die Länge.

Vier Kontrollfragen für jedes Diagramm: (1) Beginnt die senkrechte Achse bei null? (2) Sind die Abstände auf der Achse gleichmäßig? (3) Sind alle Säulen bzw. Balken gleich breit? (4) Geht die Summenprobe auf?

7. Das Wichtigste in Kürze

• Die Urliste enthält alle Werte in Erfassungsreihenfolge, die Strichliste ordnet sie nach Kategorien in Bündeln zu fünf.
• Die Häufigkeitstabelle (Kategorie, Anzahl, Gesamt) ist die Drehscheibe zwischen allen Darstellungsformen.
• Säulendiagramm (senkrecht) und Balkendiagramm (waagrecht): Achse bei null, gleiche Breite, gleiche Abstände.
• Im Bilddiagramm steht jedes Symbol für eine feste Anzahl (Legende beachten).
• Die Vierfeldertafel zeigt zwei Merkmale gleichzeitig; fehlende Felder findest du durch Subtraktion und prüfst zeilen- und spaltenweise.
• Die Summenprobe gehört zu jeder Darstellung: Alle Einzelanzahlen zusammen ergeben die Gesamtzahl.
• Ein Diagramm kann täuschen, wenn die Achse nicht bei null beginnt – prüfe das als Erstes.

8. So fragt die Abschlussprüfung

Aufgaben zu Daten sehen harmlos aus – und kosten trotzdem Punkte, weil man die Summenprobe überspringt oder die Achsenskalierung übersieht. Genau diese Sorgfalt wird geprüft. Drei Aufgaben aus der Möbelmanufaktur Holzwerk Brandl e.K. in Rosenheim:

Aufgabe 1 – von der Strichliste zur Häufigkeitstabelle. Lena hat bei 40 Bestellungen notiert, welche Holzart gewünscht wurde: Buche 14 Mal, Eiche 10 Mal, Fichte 12 Mal, Ahorn 4 Mal. a) Welches Merkmal wurde untersucht? b) Prüfe die Liste mit der Summenprobe. c) Welcher Merkmalswert kommt am häufigsten vor, und welchen Anteil hat Eiche?

Gegenprobe: Ein Viertel von 40 ist \( 40 : 4 = 10 \) ✓. Antwort: Untersucht wurde die gewünschte Holzart; die Summenprobe geht auf; am häufigsten wurde Buche bestellt, Eiche macht ein Viertel aller Bestellungen aus.

Aufgabe 2 – ein Säulendiagramm richtig ablesen. Im Büro hängt ein Säulendiagramm zur Tischproduktion. Auf der senkrechten Achse entspricht 1 cm genau 5 Tischen. Die Säule für das zweite Quartal ist 6 cm hoch. a) Wie viele Tische wurden im zweiten Quartal gebaut? b) Im ganzen Jahr waren es 120 Tische. Welchen Anteil hat das zweite Quartal?

Gegenprobe: \( 30 : 5 = 6 \) – das ergibt wieder die Säulenhöhe von 6 cm ✓, und \( 120 : 4 = 30 \) ✓. Antwort: Im zweiten Quartal wurden 30 Tische gebaut, das ist ein Viertel der Jahresproduktion. Wichtig: Gezählt werden nicht die Kästchen, sondern die Werte der Achse.

Aufgabe 3 – Vierfeldertafel vervollständigen. Von 60 Kunden haben 35 einen Massivholztisch gekauft und 24 ein Regalsystem; 11 Kunden haben beides gekauft. Ergänze die Vierfeldertafel und beantworte: Wie viele Kunden haben keines der beiden Produkte gekauft?

Gegenprobe über alle vier Innenfelder: \( 11 + 24 + 13 + 12 = 60 \) ✓, und auch die Spalte „Regal nein“ stimmt: \( 24 + 12 = 36 \) und \( 24 + 36 = 60 \) ✓. Antwort: 12 Kunden haben weder einen Tisch noch ein Regal gekauft.

9. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest

• Die Summenprobe wird übersprungen. Ursache: Die Tabelle sieht fertig aus, also wird weitergerechnet. Vermeidung: Addiere die absoluten Häufigkeiten immer und vergleiche mit der Anzahl der Befragten. Stimmt die Summe nicht, hast du beim Auszählen einen Wert doppelt oder gar nicht erfasst – und alle Folgeaufgaben wären falsch.
• Beim Auszählen der Strichliste verzählt. Ursache: Die Striche werden einzeln gezählt, dabei rutscht die Zählung. Vermeidung: Immer in Fünferbündeln notieren (vier Striche, der fünfte quer) und in Fünferschritten zählen. Streiche jeden Wert der Urliste ab, sobald du ihn eingetragen hast.
• Merkmal und Merkmalswert verwechselt. Ursache: Auf die Frage nach dem Merkmal wird „Buche“ geantwortet. Vermeidung: Das Merkmal ist die Eigenschaft, die untersucht wird (die Holzart), die Merkmalswerte sind die einzelnen Antworten (Buche, Eiche, …). Formuliere das Merkmal als Frage: „Welche Holzart?“
• Im Diagramm Kästchen statt Werte abgelesen. Ursache: Die Skalierung der Achse wird nicht beachtet, eine 6 cm hohe Säule wird als „6“ notiert. Vermeidung: Lies zuerst die Achse: Wie viel entspricht ein Kästchen bzw. ein Zentimeter? Schreibe diesen Wert an den Rand, bevor du eine Säule ausliest.
• Absolute Häufigkeit und Anteil verwechselt. Ursache: Gefragt ist der Anteil, angegeben wird die Anzahl (oder umgekehrt). Vermeidung: Ein Anteil ist immer ein Vergleich mit dem Ganzen – also „10 von 40“, ein Viertel, 25 %. Eine Anzahl steht ohne Bezug da. Lies die Frage noch einmal, bevor du das Ergebnis hinschreibst.
• In der Vierfeldertafel Innenfelder und Randsummen verwechselt. Ursache: Die 35 Tischkäufer werden in ein Innenfeld geschrieben, obwohl sie eine Randsumme sind. Vermeidung: Trage erst die Gesamtzahl rechts unten ein, dann die Randsummen, dann das eine bekannte Innenfeld. Suche danach immer eine Zeile oder Spalte, in der nur eine Zahl fehlt.
• Ein irreführendes Diagramm nicht als solches erkannt. Ursache: Es wird nur abgelesen, aber nicht geprüft, wo die senkrechte Achse beginnt. Vermeidung: Achte darauf, ob die Achse bei 0 startet. Beginnt sie höher oder sind die Abstände ungleich, wirken kleine Unterschiede dramatisch – schreibe das in der Antwort ausdrücklich dazu.