Testen von Hypothesen
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Stochastik (Nichttechnik)
Eine Vermutung über eine Wahrscheinlichkeit lässt sich mit einer Stichprobe prüfen. Beim Signifikanztest legt man vorab fest, bei welchen Ergebnissen man die Ausgangsvermutung verwirft. Wir bauen den Test Schritt für Schritt auf – und zeigen am Ende die beiden gebräuchlichen Schreibweisen für den kritischen Wert, damit Sie sich für Ihre entscheiden können.
1 Grundbegriffe
- Nullhypothese \(H_0\): die zu prüfende Ausgangsannahme über \(p\) (z. B. \(H_0:\ p\le p_0\)).
- Gegenhypothese \(H_1\): die Gegenbehauptung (z. B. \(H_1:\ p>p_0\), rechtsseitiger Test).
- Testgröße \(T\): Anzahl der Treffer in der Stichprobe – unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n\) und \(p_0\).
- Signifikanzniveau \(\alpha\): obere Schranke für den Fehler 1. Art (\(\alpha’\le\alpha\)).
Zwei Fehlerarten. Man kann sich auf zwei Weisen irren:
| \(H_0\) wird abgelehnt | \(H_0\) wird beibehalten | |
| \(H_0\) ist wahr | Fehler 1. Art (\(\alpha\)) | richtige Entscheidung |
| \(H_0\) ist falsch | richtige Entscheidung | Fehler 2. Art (\(\beta\)) |
Merkhilfe: Der Fehler 1. Art ist der „Fehlalarm“ – man verwirft \(H_0\), obwohl sie stimmt.
2 Ablauf eines einseitigen Signifikanztests
- Hypothesen \(H_0\) und \(H_1\) aufstellen (rechts- oder linksseitig).
- Testgröße \(T\) festlegen; unter \(H_0\) gilt \(T\sim B(n;p_0)\).
- Signifikanzniveau \(\alpha\) wählen.
- Ablehnungsbereich bestimmen (rechtsseitig: kleinstes \(k\) mit \(P(T\ge k)\le\alpha\)).
- Stichprobe auswerten und entscheiden.
3 Beispiel – und die zwei Schreibweisen für \(k\)
Stufe 3-4 · mit HilfsmittelRechtsseitiger Test
Beispiel. Eine Bahn behauptet, höchstens \(10\,\%\) ihrer Züge seien verspätet. Ein Fahrgastverband vermutet mehr. Es werden \(n=100\) Fahrten auf dem \(5\,\%\)-Niveau geprüft.
Schritt 1 – Hypothesen (rechtsseitig, nebeneinander)
| Nullhypothese \(H_0\) | Gegenhypothese \(H_1\) |
| \(H_0:\ p\le 0{,}1\) | \(H_1:\ p>0{,}1\) |
| „höchstens \(10\,\%\) verspätet“ | „mehr als \(10\,\%\) verspätet“ |
Schritt 2-3 – Testgröße und Signifikanzniveau
| \(T=\) Anzahl verspäteter Züge, unter \(H_0\): \(T\sim B(100;0{,}1)\) | \(E(T)=10\) |
| \(\alpha=0{,}05\) |
Schritt 4 – Ablehnungsbereich (kleinstes \(k\) mit \(P(T\ge k)\le 0{,}05\))
| \(P(T\ge 15)=1-F_{0{,}1}^{100}(14)=1-0{,}92743=0{,}07257>0{,}05\) | reicht nicht |
| \(P(T\ge 16)=1-F_{0{,}1}^{100}(15)=1-0{,}96011=0{,}03989\le 0{,}05\) | erfüllt |
Am Taschenrechner (Kumul. Binom.-V.): MENU4▶12 15=100=0,1= → 0,96011 (für \(F(14)\) entsprechend 14 → 0,92743)
Variante ALehrbuch: \(k\) ist die kritische Zahl (letzter Wert im Annahmebereich).
- \(k=15\); Annahmebereich \(A=\{0;\dots;15\}\), Ablehnungsbereich \(\overline{A}=\{16;\dots;100\}\).
- Entscheidungsregel: \(H_0\) ablehnen, wenn \(T\ge k+1=16\).
Variante BUnser Skript: \(k\) liegt im Ablehnungsbereich (erster verworfener Wert).
- \(k=16\); Ablehnungsbereich \(\overline{A}=\{16;\dots;100\}\).
- Entscheidungsregel: \(H_0\) ablehnen, wenn \(T\ge k=16\).
Der Fehler 1. Art beträgt hier \(\alpha’=P(T\ge 16)=0{,}03989\approx 3{,}99\,\%\ (\le 5\,\%)\). Ergibt die Stichprobe z. B. \(18\) verspätete Züge, so ist \(18\ge 16\): \(H_0\) wird abgelehnt – die Vermutung des Fahrgastverbands ist auf dem \(5\,\%\)-Niveau signifikant gestützt. Bei \(14\) verspäteten Zügen (\(<16\)) wird \(H_0\) beibehalten.
4 Der linksseitige Test
Bei einer „mindestens“-Behauptung liegt der Ablehnungsbereich links: man verwirft \(H_0\), wenn die Trefferzahl zu klein ist. Gesucht ist das größte \(k\) mit \(P(T\le k)=F_{p_0}^{n}(k)\le\alpha\).
Stufe 3-4 · mit HilfsmittelBeispiel
Beispiel. Eine Gärtnerei verspricht, dass mindestens \(80\,\%\) der Setzlinge anwachsen. Ein Kunde vermutet weniger. Es werden \(n=50\) Setzlinge auf dem \(5\,\%\)-Niveau geprüft.
Schritt 1 – Hypothesen (linksseitig, nebeneinander)
| Nullhypothese \(H_0\) | Gegenhypothese \(H_1\) |
| \(H_0:\ p\ge 0{,}8\) | \(H_1:\ p<0{,}8\) |
| „mindestens \(80\,\%\) wachsen an“ | „weniger als \(80\,\%\) wachsen an“ |
Schritt 2-3 – Testgröße und Niveau
| \(T=\) Anzahl angewachsener Setzlinge, unter \(H_0\): \(T\sim B(50;0{,}8)\) | \(E(T)=40\) |
| \(\alpha=0{,}05\) |
Schritt 4 – Ablehnungsbereich (größtes \(k\) mit \(P(T\le k)\le 0{,}05\))
| \(P(T\le 35)=F_{0{,}8}^{50}(35)=0{,}06072>0{,}05\) | zu groß |
| \(P(T\le 34)=F_{0{,}8}^{50}(34)=0{,}03080\le 0{,}05\) | erfüllt |
Am Taschenrechner (Kumul. Binom.-V.): MENU4▶12 34=50=0,8= → 0,03080 (für \(F(35)\) mit 35 → 0,06072)
Beide Schreibweisen (analog zum rechtsseitigen Fall): Lehrbuch \(k=35\) (erster Annahmewert), Regel \(H_0\) ablehnen wenn \(T\le 34\); Skript \(k=34\) (im Ablehnungsbereich), Regel \(T\le k=34\). Ablehnungsbereich beide Male \(\{0;\dots;34\}\).
Schritt 5 – Entscheidung
Der Fehler 1. Art beträgt \(\alpha’=F_{0{,}8}^{50}(34)=0{,}03080\approx 3{,}08\,\%\ (\le 5\,\%)\). Wachsen z. B. nur \(33\) Setzlinge an (\(33\le 34\)), wird \(H_0\) abgelehnt; bei \(37\) angewachsenen (\(>34\)) wird \(H_0\) beibehalten.
5 Fehlerarten im Sachzusammenhang
Am Beispiel bedeuten die Fehler konkret:
- Fehler 1. Art: Man wirft \(H_0\) fälschlich weg – man „bestätigt“ mehr Verspätungen, obwohl es tatsächlich nur \(10\,\%\) sind.
- Fehler 2. Art: Man behält \(H_0\) bei, obwohl die Verspätungsquote in Wahrheit höher als \(10\,\%\) liegt.
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Die beiden \(k\)-Schreibweisen mischen (mal Annahme-, mal Ablehnungsgrenze).
✓ Richtig
Innerhalb einer Lösung eine Konvention konsequent verwenden – der Ablehnungsbereich als Menge bleibt gleich.
✗ Falsch
\(P(T\ge k)\) als \(1-F(k)\) berechnen.
✓ Richtig
\(P(T\ge k)=1-P(T\le k-1)=1-F_{p}^{n}(k-1)\) – auf \(k-1\) achten.
✗ Falsch
\(\alpha’=\alpha\) setzen.
✓ Richtig
Das tatsächliche Signifikanzniveau ist meist \(\alpha‘<\alpha\); \(\alpha\) ist nur die obere Schranke.
✗ Falsch
Fehler 1. und 2. Art vertauschen.
✓ Richtig
Fehler 1. Art: \(H_0\) zu Unrecht abgelehnt (Fehlalarm). Fehler 2. Art: \(H_0\) zu Unrecht beibehalten.
Auf einen Blick
- Aufbau: \(H_0/H_1\) → \(T\sim B(n;p_0)\) → \(\alpha\) → Ablehnungsbereich → Entscheidung.
- Rechtsseitig: kleinstes \(k\) mit \(P(T\ge k)=1-F_{p_0}^{n}(k-1)\le\alpha\).
- Zwei Schreibweisen: Lehrbuch \(k=\) letzter Annahmewert; Skript \(k=\) erster Ablehnungswert – gleiche Menge.
- Fehler 1. Art (Fehlalarm, \(\alpha\)) und Fehler 2. Art (\(\beta\)) nicht verwechseln.
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