Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Stochastik (Nichttechnik) · BY
Zufallsexperiment und Ereignis
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1. Ergebnis, Ergebnisraum und Mächtigkeit
Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist (obwohl man die möglichen Ausgänge kennt), heißt Zufallsexperiment.
💡 Die Grundbegriffe
- Jeder mögliche Ausgang heißt Ergebnis (ein einzelnes \( \omega \), „klein-Omega“).
- Die Menge aller Ergebnisse heißt Ergebnisraum \( \Omega \) („groß-Omega“), auch Ergebnismenge.
- Die Anzahl der Ergebnisse heißt Mächtigkeit, geschrieben \( |\Omega| \).
✎ Einfacher Münzwurf.
Eine Münze zeigt entweder Wappen (W) oder Zahl (Z). Der Ergebnisraum und seine Mächtigkeit:
✎ Einfacher Würfelwurf.
Dieser Ergebnisraum enthält alle unterscheidbaren Ergebnisse – man nennt ihn feinsten Ergebnisraum. Interessiert nur, ob eine 6 fällt oder nicht, kann man ihn vergröbern: \( \Omega_1=\{\text{6}; \text{keine 6}\} \) mit \( |\Omega_1|=2 \).
2. Mehrstufige Experimente und das Baumdiagramm
Der einfache Münzwurf ist ein einstufiges Zufallsexperiment. Wird ein Experiment mehrfach wiederholt (oder mehrere hintereinander ausgeführt), spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Es lässt sich anschaulich als Baumdiagramm darstellen.
✎ Zweifacher Münzwurf.
Jeder Wurf hat zwei Möglichkeiten (W oder Z). Im Baumdiagramm zeigt jede Stufe einen Wurf:
Baumdiagramm zum zweifachen Münzwurf: 1. Stufe = 1. Wurf, 2. Stufe = 2. Wurf. Die Pfadenden sind die Ergebnisse.
Die Enden der Pfade sind alle möglichen Ergebnisse. Damit die Reihenfolge zählt, schreibt man sie als geordnete Paare (Tupel):
Wichtig: Bei Tupeln zählt die Reihenfolge, also \( (W;Z)\neq(Z;W) \). Bei Mengen dagegen gilt \( \{W;Z\}=\{Z;W\} \).
3. Ereignisse
💡 Ereignis
- Das sichere Ereignis ist \( \Omega \) selbst (tritt immer ein).
- Das unmögliche Ereignis ist die leere Menge \( \{\} \) (tritt nie ein).
- Ein Ereignis mit nur einem Ergebnis heißt Elementarereignis.
✎ Würfelwurf: Ereignis „gerade Zahl“.
Das Ereignis \( E=\text{„gerade Zahl“} \) fasst die Ergebnisse 2, 4 und 6 zusammen:
4. Verknüpfung von Ereignissen
Aus zwei Ereignissen \( A \) und \( B \) bildet man neue Ereignisse. Man veranschaulicht sie mit Venn-Diagrammen (die Rechtecke stellen \( \Omega \) dar, die Kreise die Ereignisse):
Vereinigung: A oder B
Die Vereinigung \( A\cup B \) (gelesen „A vereinigt B“) tritt ein, wenn mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt (A oder B oder beide).
A ∪ B: alles, was in A oder in B (oder beidem) liegt.
Schnitt: A und B
Der Schnitt \( A\cap B \) (gelesen „A geschnitten B“) tritt ein, wenn beide Ereignisse gleichzeitig eintreten.
A ∩ B: nur der Überlappungsbereich — was in A und in B liegt.
Differenz: A ohne B
Die Differenz \( A\setminus B \) (gelesen „A ohne B“) tritt ein, wenn \( A \) eintritt, aber \( B \) nicht. Sie enthält alle Ergebnisse, die in \( A \), aber nicht in \( B \) liegen. Es gilt \( A\setminus B = A\cap\overline{B} \).
A \ B (A ohne B): der Teil von A, der nicht zu B gehört.
Gegenereignis: nicht A
Das Gegenereignis (Komplement) \( \overline{A} \) tritt ein, wenn \( A \) nicht eintritt. Es enthält alle Ergebnisse aus \( \Omega \), die nicht in \( A \) sind.
Ā (nicht A): alles in Ω außerhalb von A.
💡 Wichtige Beziehung
Das ist besonders praktisch bei „mindestens ein“-Aufgaben.
5. Die Regeln von De Morgan
Die beiden De-Morganschen Regeln beschreiben, wie sich das Gegenereignis auf Verknüpfungen auswirkt:
💡 De-Morgansche Regeln
In Worten: „Nicht (A oder B)“ ist dasselbe wie „nicht A und nicht B“. Und: „Nicht (A und B)“ ist „nicht A oder nicht B“.
Beispiel mit konkreten Mengen. Beim Würfelwurf sei \( E_1=\{1;2\} \) und \( E_2=\{2;3\} \) (also \( \overline{E_1}=\{3;4;5;6\} \), \( \overline{E_2}=\{1;4;5;6\} \)). Dann gilt:
6. Typische Fehler
7. Üben
💡 ✐ Jetzt selbst üben
Weiterlernen
- Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Laplace und die Wahrscheinlichkeitsberechnung.
- Pfadregeln im Baumdiagramm
- Kombinatorik – das Abzählen von Möglichkeiten.