Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Stochastik (Nichttechnik) · BY

Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Wenn zwei Ereignisse zusammenspielen – etwa „ist Matheprofi“ und „ist Englischprofi“ – hilft die Vierfeldertafel, alle Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zu ordnen. Aus ihr liest man auch bedingte Wahrscheinlichkeiten ab: die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn ein anderes bereits eingetreten ist. Diese Seite erklärt beide Werkzeuge und wie man mit ihnen die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse prüft.

1. Die Vierfeldertafel

Die Vierfeldertafel ordnet die Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse \( A \) und \( B \) (mit ihren Gegenereignissen) in einer Tabelle. Die vier inneren Felder sind die Schnittwahrscheinlichkeiten, die Randspalten und -zeilen die Randwahrscheinlichkeiten:

\( A \) \( \overline{A} \) Summe
\( B \) \( P(A\cap B) \) \( P(\overline{A}\cap B) \) \( P(B) \)
\( \overline{B} \) \( P(A\cap\overline{B}) \) \( P(\overline{A}\cap\overline{B}) \) \( P(\overline{B}) \)
Summe \( P(A) \) \( P(\overline{A}) \) \( 1 \)

💡 So funktioniert die Tafel

  • Die vier inneren Felder sind die Wahrscheinlichkeiten der Kombinationen (z. B. \( P(A\cap B) \) = A und B treten beide ein).
  • Jede Summe (Rand) ist die Summe der beiden Werte in ihrer Zeile bzw. Spalte.
  • Rechts unten steht immer die Gesamtsumme 1.

2. Eine Vierfeldertafel ausfüllen

Meist sind einige Werte gegeben, die restlichen ergeben sich, weil die Summen stimmen müssen.

✎ Gegeben: \( P(A)=0{,}7 \), \( P(B)=0{,}5 \), \( P(A\cap B)=0{,}45 \). Füllen Sie die Tafel aus.

Schritt 1 – gegebene Werte eintragen (\( P(A\cap B)=0{,}45 \), Randwerte \( P(A)=0{,}7 \) und \( P(B)=0{,}5 \), Gesamt 1):

Schritt 2 – fehlende Werte über die Summen berechnen:

\[\begin{aligned} P(\overline{A}\cap B) &= P(B)-P(A\cap B)=0{,}5-0{,}45=0{,}05 \\ P(A\cap\overline{B}) &= P(A)-P(A\cap B)=0{,}7-0{,}45=0{,}25 \\ P(\overline{A}) &= 1-0{,}7=0{,}3 \\ P(\overline{B}) &= 1-0{,}5=0{,}5 \\ P(\overline{A}\cap\overline{B}) &= 0{,}3-0{,}05=0{,}25 \end{aligned}\]

Die vollständige Vierfeldertafel:

\( A \) \( \overline{A} \) Summe
\( B \) 0,45 0,05 0,5
\( \overline{B} \) 0,25 0,25 0,5
Summe 0,7 0,3 1

3. Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit \( P_A(B) \) ist die Wahrscheinlichkeit für \( B \) unter der Bedingung, dass \( A \) bereits eingetreten ist.

💡 Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit

\[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \]

Man teilt die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung. Im Baumdiagramm stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten an den Ästen von der ersten zur zweiten Stufe.

4. Bedingte Wahrscheinlichkeit aus der Tafel

✎ Berechnen Sie mit obiger Tafel \( P_{\overline{A}}(B) \) – die Wahrscheinlichkeit für B, wenn A nicht eingetreten ist.

Aus der Tafel: \( P(\overline{A}\cap B)=0{,}05 \) und \( P(\overline{A})=0{,}3 \). Einsetzen in die Formel:

\[P_{\overline{A}}(B)=\frac{P(\overline{A}\cap B)}{P(\overline{A})}=\frac{0{,}05}{0{,}3}=\frac{1}{6}\approx 0{,}167\]

Unter der Bedingung, dass \( A \) nicht eingetreten ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit für \( B \) also etwa \( 16{,}7\,\% \).

5. Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn sie sich gegenseitig nicht beeinflussen – das Eintreten des einen ändert die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht.

💡 Kriterium für Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse \( A \) und \( B \) sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn gilt:

\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \]

Man prüft also: Stimmt das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Schnittwahrscheinlichkeit überein?

✎ Sind \( A \) und \( B \) aus obiger Tafel unabhängig? (\( P(A)=0{,}7 \), \( P(B)=0{,}5 \), \( P(A\cap B)=0{,}45 \))

Wir vergleichen \( P(A)\cdot P(B) \) mit \( P(A\cap B) \):

\[P(A)\cdot P(B)=0{,}7\cdot 0{,}5=0{,}35 \;\neq\; 0{,}45=P(A\cap B)\]

Da \( 0{,}35\neq 0{,}45 \), sind \( A \) und \( B \) nicht stochastisch unabhängig – sie beeinflussen sich also.

6. Typische Fehler

✗ Falsch

Bei \( P_A(B) \) durch \( P(B) \) statt \( P(A) \) geteilt.

✓ Richtig

Man teilt durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung. Bei \( P_A(B) \) ist \( A \) die Bedingung, also \( \div P(A) \).

✗ Falsch

Unabhängigkeit mit „schließen sich aus“ verwechselt.

✓ Richtig

Unabhängig heißt \( P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \). Das ist etwas anderes als „unvereinbar“ (\( A\cap B=\{\} \)).

✗ Falsch

Beim Ausfüllen der Tafel Zeilen- und Spaltensummen verwechselt.

✓ Richtig

Jede Randsumme ist die Summe ihrer Zeile bzw. Spalte. Sorgfältig prüfen, dass alle Summen aufgehen (Gesamt = 1).

7. Üben

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