Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Stochastik (Nichttechnik) · BY

Pfadregeln im Baumdiagramm

Mehrstufige Zufallsexperimente – zwei Personen bestellen nacheinander, dreimal wird gezogen – stellt man übersichtlich im Baumdiagramm dar. Mit den beiden Pfadregeln berechnet man daraus jede gesuchte Wahrscheinlichkeit: Die Produktregel liefert die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades, die Additionsregel fasst mehrere Pfade zu einem Ereignis zusammen. Diese Seite erklärt beide Regeln Schritt für Schritt an einem vollständig durchgerechneten Beispiel.

1. Aufbau eines Baumdiagramms

Ein Baumdiagramm stellt ein mehrstufiges Zufallsexperiment dar. Vom Startpunkt gehen Pfade zu den möglichen Teilergebnissen (den Knoten). Bei jeder weiteren Stufe verzweigt sich jeder Knoten erneut. An jeden Pfad schreibt man die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Teilergebnisses. Jeder vollständige Pfad von links nach rechts ist ein Elementarereignis.

2. Die 1. Pfadregel: Produktregel

💡 1. Pfadregel (Produktregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten entlang seines Pfades (von der Wurzel bis zum Pfadende).

Man multipliziert also einfach die Zahlen, an denen man auf dem Weg zum gesuchten Pfadende vorbeikommt.

3. Die 2. Pfadregel: Additionsregel

💡 2. Pfadregel (Additionsregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das aus mehreren Pfaden besteht, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade.

💡 Kontrolle

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse (aller Pfadenden) ist immer 1. Das eignet sich gut zur Kontrolle der Rechnung.

4. Vollständiges Beispiel

✎ In einer Kantine wählt man ein vegetarisches Gericht (V) mit \( P(V)=0{,}4 \) oder ein nicht-vegetarisches (N) mit \( P(N)=0{,}6 \). Zwei Personen bestellen nacheinander. Wie wahrscheinlich ist es, dass genau ein vegetarisches Gericht bestellt wird?

Schritt 1 – Baumdiagramm erstellen und mit den Wahrscheinlichkeiten beschriften:

0,4V0,6N0,4V0,6N0,4V0,6N

Baumdiagramm zum zweistufigen Experiment. An jedem Pfad steht die Wahrscheinlichkeit des Teilergebnisses.

Schritt 2 – Produktregel: Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit jedes Pfades durch Multiplikation entlang des Pfades:

\[\begin{aligned} P(VV) &= 0{,}4\cdot 0{,}4 = 0{,}16 \\ P(VN) &= 0{,}4\cdot 0{,}6 = 0{,}24 \\ P(NV) &= 0{,}6\cdot 0{,}4 = 0{,}24 \\ P(NN) &= 0{,}6\cdot 0{,}6 = 0{,}36 \end{aligned}\]

Kontrolle: \( 0{,}16+0{,}24+0{,}24+0{,}36=1 \) – passt. \( \checkmark \)

Schritt 3 – Additionsregel: „Genau ein vegetarisches Gericht“ tritt bei den Pfaden \( VN \) und \( NV \) ein (erst V dann N, oder erst N dann V). Wir addieren ihre Wahrscheinlichkeiten:

\[P(E)=P(VN)+P(NV)=0{,}24+0{,}24=0{,}48\]

Antwort: Mit einer Wahrscheinlichkeit von \( 0{,}48=48\,\% \) wird genau ein vegetarisches Gericht bestellt.

💡 Tipp: „mindestens ein“ über das Gegenereignis

Fragt eine Aufgabe nach „mindestens ein“, ist der schnellste Weg oft das Gegenereignis: „mindestens ein V“ = 1 − „kein V“. Hier: \( P(\text{mind. 1 V})=1-P(NN)=1-0{,}36=0{,}64 \).

5. Typische Fehler

✗ Falsch

Entlang des Pfades addiert statt multipliziert.

✓ Richtig

Innerhalb eines Pfades wird multipliziert (Produktregel). Addiert wird nur zwischen verschiedenen Pfaden (Additionsregel).

✗ Falsch

Bei „genau ein V“ nur einen Pfad gezählt.

✓ Richtig

Es gibt zwei Reihenfolgen: VN und NV. Beide gehören zum Ereignis – beide Pfadwahrscheinlichkeiten addieren.

✗ Falsch

Vergessen, dass sich die Wahrscheinlichkeiten je Stufe zu 1 ergänzen.

✓ Richtig

An jedem Verzweigungspunkt ergeben die abgehenden Pfade zusammen 1 (hier \( 0{,}4+0{,}6 \)). Nützliche Kontrolle beim Beschriften.

6. Üben

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