Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Stochastik (Nichttechnik) · BY

Kombinatorik: das Abzählen von Möglichkeiten

Wie viele Zahlenschloss-Codes gibt es? Auf wie viele Arten kann man 6 Personen anordnen? Wie viele Lottotipps sind möglich? Die Kombinatorik beantwortet solche Abzähl-Fragen. Der Schlüssel ist immer, den Auswahlvorgang richtig einzuordnen: Kommt es auf die Reihenfolge an? Und darf ein Element mehrfach vorkommen (Zurücklegen)? Aus diesen zwei Fragen ergeben sich vier Fälle mit je einer Formel – diese Seite erklärt alle vier mit durchgerechneten Beispielen.

1. Das allgemeine Zählprinzip (Produktregel)

💡 Allgemeines Zählprinzip

Besteht ein Vorgang aus mehreren Stufen und gibt es in Stufe 1 \( n_1 \) Möglichkeiten, in Stufe 2 \( n_2 \) Möglichkeiten usw., so ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten das Produkt:

\[ n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdots \]

Ein k-Tupel \( (a_1;a_2;\dots;a_k) \) ist eine Aufzählung von \( k \) Elementen unter Beachtung der Reihenfolge. Entscheidend für die Abzählung ist: Zählt die Reihenfolge? Sind Wiederholungen erlaubt?

2. Die vier Fälle im Überblick

Zwei Fragen entscheiden, welche Formel gilt. Diese Tabelle ist die zentrale Entscheidungshilfe:

mit Zurücklegen
(Wiederholung erlaubt)		 ohne Zurücklegen
(keine Wiederholung)
Reihenfolge zählt \( n^k \) \( \dfrac{n!}{(n-k)!} \)
(Variation; \( k=n \): Permutation \( n! \))
Reihenfolge zählt nicht (selten im Lehrplan) \( \dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} \)
(Kombination)

Dabei ist \( n \) die Anzahl der zur Auswahl stehenden Elemente und \( k \) die Anzahl der auszuwählenden.

3. Mit Reihenfolge, mit Zurücklegen

💡 Formel

Werden \( k \) Elemente aus \( n \) ausgewählt, wobei die Reihenfolge zählt und Wiederholungen erlaubt sind:

\[ n^k \]

✎ Ein Zahlenschloss hat 3 Rädchen mit je 10 Ziffern (0–9). Wie viele Codes gibt es?

Pro Rädchen 10 Möglichkeiten, drei Rädchen, Wiederholung erlaubt (z. B. 777), Reihenfolge zählt:

\[10^3=1\,000\]

Es gibt \( 1\,000 \) mögliche Codes.

4. Permutation: alle Elemente anordnen

💡 Permutation und Fakultät

Eine Permutation ist eine Anordnung aller \( n \) Elemente in einer Reihenfolge. Ihre Anzahl ist die Fakultät:

\[ n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot 1 \]

✎ Auf wie viele Arten können sich 6 Personen in einer Reihe aufstellen?

\[6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720\]

Es gibt \( 720 \) mögliche Anordnungen.

💡 Wenn Elemente gleich sind (Multinomialkoeffizient)

Sind manche Elemente nicht unterscheidbar (z. B. gleiche Buchstaben), teilt man durch die Fakultäten der jeweiligen Anzahlen: \( \dfrac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdots k_s!} \). Beispiel: \( \dfrac{14!}{3!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 5!}=3\,363\,360 \).

5. Mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen (Variation)

💡 Formel (Variation)

Werden \( k \) aus \( n \) ausgewählt, Reihenfolge zählt, aber ohne Wiederholung:

\[ \frac{n!}{(n-k)!} \]

✎ Aus 5 Läufern werden Gold, Silber und Bronze vergeben. Wie viele Möglichkeiten für das Podest?

Die Reihenfolge zählt (Gold ≠ Silber), kein Läufer kann zwei Plätze belegen (ohne Zurücklegen), \( n=5 \), \( k=3 \):

\[\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60\]

Es gibt \( 60 \) mögliche Podestbelegungen.

6. Ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen (Kombination)

💡 Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient \( \binom{n}{k} \) (gelesen „n über k“ oder „k aus n“) gibt die Anzahl aller \( k \)-elementigen Teilmengen einer \( n \)-elementigen Menge an – die Reihenfolge zählt hier nicht:

\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!} \]

✎ Ein Koffer fasst 10 von 20 verschiedenen T-Shirts. Wie viele verschiedene Kofferinhalte gibt es?

Die Reihenfolge im Koffer ist egal (es zählt nur, welche T-Shirts), kein T-Shirt doppelt, \( n=20 \), \( k=10 \):

\[\binom{20}{10}=\frac{20!}{10!\,(20-10)!}=\frac{20!}{10!\cdot 10!}=184\,756\]

Es gibt \( 184\,756 \) mögliche Kofferinhalte.

💡 Anwendung: Lotto „6 aus 49″

Beim Lotto zieht man 6 aus 49 Zahlen, ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen. Die Anzahl aller Tipps ist \( \binom{49}{6}=13\,983\,816 \). Die Chance auf 6 Richtige ist also \( \frac{1}{13\,983\,816} \).

7. Typische Fehler

✗ Falsch

Die Reihenfolge-Frage falsch eingeordnet.

✓ Richtig

Podest (Gold/Silber/Bronze) → Reihenfolge zählt. Kofferinhalt/Lottozahlen → Reihenfolge zählt nicht. Das entscheidet über die Formel.

✗ Falsch

Bei „ohne Zurücklegen“ die Formel mit \( n^k \) genutzt.

✓ Richtig

\( n^k \) gilt nur mit Wiederholung. Ohne Wiederholung wird \( n \) in jeder Stufe kleiner → \( \frac{n!}{(n-k)!} \) oder \( \binom{n}{k} \).

✗ Falsch

Binomialkoeffizient mit der Variation verwechselt.

✓ Richtig

Beide sind „ohne Zurücklegen“. Unterschied: Variation \( \frac{n!}{(n-k)!} \) mit Reihenfolge, Kombination \( \binom{n}{k} \) ohne. Die Kombination hat das zusätzliche \( k! \) im Nenner.

8. Üben

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