Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Stochastik (Nichttechnik) · BY
Kombinatorik: das Abzählen von Möglichkeiten
Wie viele Zahlenschloss-Codes gibt es? Auf wie viele Arten kann man 6 Personen anordnen? Wie viele Lottotipps sind möglich? Die Kombinatorik beantwortet solche Abzähl-Fragen. Der Schlüssel ist immer, den Auswahlvorgang richtig einzuordnen: Kommt es auf die Reihenfolge an? Und darf ein Element mehrfach vorkommen (Zurücklegen)? Aus diesen zwei Fragen ergeben sich vier Fälle mit je einer Formel – diese Seite erklärt alle vier mit durchgerechneten Beispielen.
1. Das allgemeine Zählprinzip (Produktregel)
💡 Allgemeines Zählprinzip
Besteht ein Vorgang aus mehreren Stufen und gibt es in Stufe 1 \( n_1 \) Möglichkeiten, in Stufe 2 \( n_2 \) Möglichkeiten usw., so ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten das
Produkt:
\[ n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdots \]
Ein k-Tupel \( (a_1;a_2;\dots;a_k) \) ist eine Aufzählung von \( k \) Elementen unter Beachtung der Reihenfolge. Entscheidend für die Abzählung ist: Zählt die Reihenfolge? Sind Wiederholungen erlaubt?
2. Die vier Fälle im Überblick
Zwei Fragen entscheiden, welche Formel gilt. Diese Tabelle ist die zentrale Entscheidungshilfe:
|
mit Zurücklegen
(Wiederholung erlaubt) |
ohne Zurücklegen
(keine Wiederholung) |
| Reihenfolge zählt |
\( n^k \) |
\( \dfrac{n!}{(n-k)!} \)
(Variation; \( k=n \): Permutation \( n! \)) |
| Reihenfolge zählt nicht |
(selten im Lehrplan) |
\( \dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} \)
(Kombination) |
Dabei ist \( n \) die Anzahl der zur Auswahl stehenden Elemente und \( k \) die Anzahl der auszuwählenden.
3. Mit Reihenfolge, mit Zurücklegen
💡 Formel
Werden \( k \) Elemente aus \( n \) ausgewählt, wobei die Reihenfolge zählt und Wiederholungen erlaubt sind:
\[ n^k \]
✎ Ein Zahlenschloss hat 3 Rädchen mit je 10 Ziffern (0–9). Wie viele Codes gibt es?
Pro Rädchen 10 Möglichkeiten, drei Rädchen, Wiederholung erlaubt (z. B. 777), Reihenfolge zählt:
\[10^3=1\,000\]
Es gibt \( 1\,000 \) mögliche Codes.
4. Permutation: alle Elemente anordnen
💡 Permutation und Fakultät
Eine
Permutation ist eine Anordnung
aller \( n \) Elemente in einer Reihenfolge. Ihre Anzahl ist die
Fakultät:
\[ n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot 1 \]
✎ Auf wie viele Arten können sich 6 Personen in einer Reihe aufstellen?
\[6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720\]
Es gibt \( 720 \) mögliche Anordnungen.
💡 Wenn Elemente gleich sind (Multinomialkoeffizient)
Sind manche Elemente nicht unterscheidbar (z. B. gleiche Buchstaben), teilt man durch die Fakultäten der jeweiligen Anzahlen: \( \dfrac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdots k_s!} \). Beispiel: \( \dfrac{14!}{3!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 5!}=3\,363\,360 \).
5. Mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen (Variation)
💡 Formel (Variation)
Werden \( k \) aus \( n \) ausgewählt, Reihenfolge zählt, aber
ohne Wiederholung:
\[ \frac{n!}{(n-k)!} \]
✎ Aus 5 Läufern werden Gold, Silber und Bronze vergeben. Wie viele Möglichkeiten für das Podest?
Die Reihenfolge zählt (Gold ≠ Silber), kein Läufer kann zwei Plätze belegen (ohne Zurücklegen), \( n=5 \), \( k=3 \):
\[\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60\]
Es gibt \( 60 \) mögliche Podestbelegungen.
6. Ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen (Kombination)
💡 Binomialkoeffizient
Der
Binomialkoeffizient \( \binom{n}{k} \) (gelesen „n über k“ oder „k aus n“) gibt die Anzahl aller \( k \)-elementigen Teilmengen einer \( n \)-elementigen Menge an – die Reihenfolge zählt hier
nicht:
\[ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!} \]
✎ Ein Koffer fasst 10 von 20 verschiedenen T-Shirts. Wie viele verschiedene Kofferinhalte gibt es?
Die Reihenfolge im Koffer ist egal (es zählt nur, welche T-Shirts), kein T-Shirt doppelt, \( n=20 \), \( k=10 \):
\[\binom{20}{10}=\frac{20!}{10!\,(20-10)!}=\frac{20!}{10!\cdot 10!}=184\,756\]
Es gibt \( 184\,756 \) mögliche Kofferinhalte.
💡 Anwendung: Lotto „6 aus 49″
Beim Lotto zieht man 6 aus 49 Zahlen, ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen. Die Anzahl aller Tipps ist \( \binom{49}{6}=13\,983\,816 \). Die Chance auf 6 Richtige ist also \( \frac{1}{13\,983\,816} \).
7. Typische Fehler
✗ Falsch
Die Reihenfolge-Frage falsch eingeordnet.
✓ Richtig
Podest (Gold/Silber/Bronze) → Reihenfolge zählt. Kofferinhalt/Lottozahlen → Reihenfolge zählt nicht. Das entscheidet über die Formel.
✗ Falsch
Bei „ohne Zurücklegen“ die Formel mit \( n^k \) genutzt.
✓ Richtig
\( n^k \) gilt nur mit Wiederholung. Ohne Wiederholung wird \( n \) in jeder Stufe kleiner → \( \frac{n!}{(n-k)!} \) oder \( \binom{n}{k} \).
✗ Falsch
Binomialkoeffizient mit der Variation verwechselt.
✓ Richtig
Beide sind „ohne Zurücklegen“. Unterschied: Variation \( \frac{n!}{(n-k)!} \) mit Reihenfolge, Kombination \( \binom{n}{k} \) ohne. Die Kombination hat das zusätzliche \( k! \) im Nenner.
8. Üben
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