Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Stochastik (Nichttechnik) · BY

Kombinatorik: das Abzählen von Möglichkeiten

Wie viele Zahlenschloss-Codes gibt es? Auf wie viele Arten kann man 6 Personen anordnen? Wie viele Lottotipps sind möglich? Die Kombinatorik beantwortet solche Abzähl-Fragen. Der Schlüssel ist immer, den Auswahlvorgang richtig einzuordnen: Kommt es auf die Reihenfolge an? Und darf ein Element mehrfach vorkommen (Zurücklegen)? Aus diesen zwei Fragen ergeben sich vier Fälle mit je einer Formel – diese Seite erklärt alle vier mit durchgerechneten Beispielen.

1. Das allgemeine Zählprinzip (Produktregel)

💡 Allgemeines Zählprinzip

Besteht ein Vorgang aus mehreren Stufen und gibt es in Stufe 1 \(n_1\) Möglichkeiten, in Stufe 2 \(n_2\) Möglichkeiten usw., so ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten das Produkt:

\(n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdots\)

Ein k-Tupel \((a_1;a_2;\dots;a_k)\) ist eine Aufzählung von ( k ) Elementen unter Beachtung der Reihenfolge. Entscheidend für die Abzählung ist: Zählt die Reihenfolge? Sind Wiederholungen erlaubt?

2. Die vier Fälle im Überblick

Zwei Fragen entscheiden, welche Formel gilt. Diese Tabelle ist die zentrale Entscheidungshilfe:

mit Zurücklegen
(Wiederholung erlaubt)		 ohne Zurücklegen
(keine Wiederholung)
Reihenfolge zählt \(n^k\) \(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)
\(Variation; ( k=n ): Permutation ( n! )\)
Reihenfolge zählt nicht (selten im Lehrplan) \(dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!,(n-k)!}\)
(Kombination)

Dabei ist ( n ) die Anzahl der zur Auswahl stehenden Elemente und ( k ) die Anzahl der auszuwählenden.

3. Mit Reihenfolge, mit Zurücklegen

💡 Formel

Werden ( k ) Elemente aus ( n ) ausgewählt, wobei die Reihenfolge zählt und Wiederholungen erlaubt sind:

\(n^k\)

✎ Ein Zahlenschloss hat 3 Rädchen mit je 10 Ziffern (0–9). Wie viele Codes gibt es?

Pro Rädchen 10 Möglichkeiten, drei Rädchen, Wiederholung erlaubt (z. B. 777), Reihenfolge zählt:

\(10^3=1,000\)

Es gibt ( 1,000 ) mögliche Codes.

4. Permutation: alle Elemente anordnen

💡 Permutation und Fakultät

Eine Permutation ist eine Anordnung aller ( n ) Elemente in einer Reihenfolge. Ihre Anzahl ist die Fakultät:

\(n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot 1\)

✎ Auf wie viele Arten können sich 6 Personen in einer Reihe aufstellen?

\(6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720\)

Es gibt ( 720 ) mögliche Anordnungen.

💡 Wenn Elemente gleich sind (Multinomialkoeffizient)

Sind manche Elemente nicht unterscheidbar (z. B. gleiche Buchstaben), teilt man durch die Fakultäten der jeweiligen Anzahlen: \(\dfrac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdots k_s!}\). Beispiel: \(\dfrac{14!}{3!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 5!}=3,363,360\).

5. Mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen (Variation)

💡 Formel (Variation)

Werden ( k ) aus ( n ) ausgewählt, Reihenfolge zählt, aber ohne Wiederholung:

\(\frac{n!}{(n-k)!}\)

✎ Aus 5 Läufern werden Gold, Silber und Bronze vergeben. Wie viele Möglichkeiten für das Podest?

Die Reihenfolge zählt (Gold ≠ Silber), kein Läufer kann zwei Plätze belegen (ohne Zurücklegen), \(n=5\), \(k=3\):

\(\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60\)

Es gibt ( 60 ) mögliche Podestbelegungen.

6. Ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen (Kombination)

💡 Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient ( binom{n}{k} ) (gelesen „n über k“ oder „k aus n“) gibt die Anzahl aller ( k )-elementigen Teilmengen einer ( n )-elementigen Menge an – die Reihenfolge zählt hier nicht:

\(binom{n}{k}=\frac{n!}{k!,(n-k)!}\)

✎ Ein Koffer fasst 10 von 20 verschiedenen T-Shirts. Wie viele verschiedene Kofferinhalte gibt es?

Die Reihenfolge im Koffer ist egal (es zählt nur, welche T-Shirts), kein T-Shirt doppelt, \(n=20\), \(k=10\):

\(binom{20}{10}=\frac{20!}{10!,(20-10)!}=\frac{20!}{10!\cdot 10!}=184,756\)

Es gibt ( 184,756 ) mögliche Kofferinhalte.

💡 Anwendung: Lotto „6 aus 49″

Beim Lotto zieht man 6 aus 49 Zahlen, ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen. Die Anzahl aller Tipps ist \(binom{49}{6}=13,983,816\). Die Chance auf 6 Richtige ist also \(\frac{1}{13,983,816}\).

7. Typische Fehler

✗ Falsch

Die Reihenfolge-Frage falsch eingeordnet.

✓ Richtig

Podest (Gold/Silber/Bronze) → Reihenfolge zählt. Kofferinhalt/Lottozahlen → Reihenfolge zählt nicht. Das entscheidet über die Formel.

✗ Falsch

Bei „ohne Zurücklegen“ die Formel mit \(n^k\) genutzt.

✓ Richtig

\(n^k\) gilt nur mit Wiederholung. Ohne Wiederholung wird ( n ) in jeder Stufe kleiner → \(\frac{n!}{(n-k)!}\) oder ( binom{n}{k} ).

✗ Falsch

Binomialkoeffizient mit der Variation verwechselt.

✓ Richtig

Beide sind „ohne Zurücklegen“. Unterschied: Variation \(\frac{n!}{(n-k)!}\) mit Reihenfolge, Kombination ( binom{n}{k} ) ohne. Die Kombination hat das zusätzliche ( k! ) im Nenner.

8. Ãœben

✏️ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator

Erzeugen Sie Ãœbungsaufgaben zur Kombinatorik (alle vier Fälle) im Aufgabengenerator – passend zur FOS/BOS Klasse 11 Nichttechnik.

Aufgaben erzeugen →

🎮 Live-Quiz für die Klasse

Teste dein Wissen im interaktiven Quiz – mit Sofort-Erklärung nach jeder Frage. Für Lehrkräfte: eigenes Klassen-Quiz starten.

Live-Quiz entdecken →

Weiterlernen

💡 Mehr auf lern.de

Entdecke weitere kostenlose Lernangebote für deine Schulart:

Nach oben scrollen

Betriebsferien vom
30.10. bis 08.11.2026

Liebe Kunden/Besucher,

Ihre digitalen Zugänge funktionieren wie gewohnt. Nach der Buchung erhalten Sie den Zugang sofort und automatisch – dafür ist keine Bearbeitung durch uns nötig.

Persönlich sind wir vom 30.10. bis 08.11.2026 nicht erreichbar. E-Mails beantworten wir ab dem 09.11.2026 in der Reihenfolge des Eingangs. Wir bekommen auch die Bücherlieferung am 09.11. und fangen an, an diesem Tag zu verschicken. Wir wünschen schöne Herbstferien.
Ihr lern.de – Team