Mathematik Realschule Bayern · Klasse 7 · Lernbereich „Auswertung von Daten“ (LehrplanPLUS) · BY
Statistische Kenngrößen: Daten mit einer einzigen Zahl beschreiben
In der 5. Klasse hast du Daten in Strichlisten und Diagrammen dargestellt. Jetzt gehst du einen Schritt weiter: Aus einer ganzen Liste von Werten berechnest du eine einzige, aussagekräftige Zahl – eine Kenngröße. Auf dieser Seite lernst du das arithmetische Mittel, den Zentralwert, den Modalwert und die Spannweite kennen, vergleichst damit Datensätze und lernst, wie man mit Diagrammen auch täuschen kann.
Diese Seite gilt für Mathematik I und Mathematik II/III. Die Kompetenzerwartung ist im LehrplanPLUS für beide Ausrichtungen wortgleich (jeweils 9 Stunden): Du ermittelst bei Daten die statistischen Kenngrößen arithmetisches Mittel, Zentralwert, Modalwert und Spannweite, interpretierst Daten mithilfe dieser Kenngrößen und beschäftigst dich mit ihrer Aussagekraft. Außerdem beurteilst du, ob bei einer Umfrage eine Stichprobe sinnvoll und repräsentativ ist, und erkennst in Alltagsdiagrammen (z. B. Werbung) verfälschte bzw. manipulative Darstellungen, um dafür eine angemessenere Darstellung zu finden.
Wozu brauchst du das?
Überall dort, wo aus vielen Einzelwerten eine handliche Aussage werden soll: der Notendurchschnitt einer Klassenarbeit · die durchschnittliche Bearbeitungszeit in einer Werkstatt · der „typische“ Verkaufstag eines Geschäfts · der Vergleich zweier Sportmannschaften oder zweier Abteilungen. Und überall dort, wo Werbung oder Nachrichten mit Diagrammen versuchen, dich zu überzeugen, hilft dir dieses Wissen, kritisch nachzurechnen statt nur hinzusehen.
Inhalt dieser Seite
- Urliste und sortierte Liste
- Das arithmetische Mittel (Mittelwert)
- Der Zentralwert (Median)
- Der Modalwert
- Die Spannweite
- Datensätze vergleichen: Aussagekraft und Ausreißer
- Stichproben und Repräsentativität
- Manipulative Diagramme erkennen
- Das Wichtigste in Kürze
1. Urliste und sortierte Liste
Im Holzwerk Brandl wird die Bearbeitungszeit für den Zuschnitt von 9 Gartenbänken gestoppt. Die Werte werden notiert, sobald jede Bank fertig ist – also in der Reihenfolge der Fertigstellung, nicht der Größe nach:
Diese ungeordnete Liste heißt Urliste. Für fast jede Kenngröße musst du die Urliste zuerst der Größe nach ordnen – das ergibt die sortierte Liste:
Die Anzahl der Werte nennst du \( n \). Hier ist \( n = 9 \). Achte darauf, beim Sortieren keinen Wert zu verlieren: Aus 9 Werten in der Urliste müssen auch 9 Werte in der sortierten Liste werden.
Merke: Die Urliste enthält die Daten in der Reihenfolge, in der sie erhoben wurden. Die sortierte Liste enthält dieselben Werte der Größe nach geordnet. \( n \) ist die Anzahl der Werte. Fast jede Kenngröße baut auf der sortierten Liste auf.
2. Das arithmetische Mittel (Mittelwert)
Das arithmetische Mittel beantwortet die Frage: „Wenn alle Werte gleich groß wären, wie groß wäre dann jeder einzelne?“ Du berechnest es, indem du alle Werte addierst und die Summe durch die Anzahl der Werte teilst:
Beispiel – die 9 Bearbeitungszeiten aus Kapitel 1
| Werte | \( 40, 45, 45, 50, 50, 50, 55, 55, 60 \) |
| Summe | \( 40+45+45+50+50+50+55+55+60 = 450 \) |
| Anzahl | \( n = 9 \) |
| Mittelwert | \( \overline{x} = 450 : 9 = 50 \) Minuten |
Anschaulich ist der Mittelwert eine Ausgleichslinie: Stünden die 9 Zeiten als Säulen nebeneinander, so könntest du von den höheren Säulen etwas „abschneiden“ und auf die niedrigeren verteilen, bis alle Säulen exakt gleich hoch sind – genau auf Höhe 50.
Merke: \( \overline{x} = \dfrac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl } n} \). Der Mittelwert nutzt jeden Wert der Liste und reagiert deshalb empfindlich auf besonders große oder kleine Werte (Ausreißer) – mehr dazu in Kapitel 6.
3. Der Zentralwert (Median)
Der Zentralwert (auch Median genannt) ist der Wert, der in der sortierten Liste genau in der Mitte steht – links von ihm liegen also genauso viele Werte wie rechts von ihm.
Ungerade Anzahl \( n \): Es gibt genau einen mittleren Wert, an Position \( \tfrac{n+1}{2} \).
Beispiel – wieder die 9 Bearbeitungszeiten
| Anzahl | \( n = 9 \) (ungerade) |
| mittlere Position | \( \dfrac{n+1}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \) |
| Zentralwert | 5. Wert der sortierten Liste \( = 50 \) Minuten |
Gerade Anzahl \( n \): Es gibt keinen einzelnen mittleren Wert – du nimmst das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte. Ein 10. Werkstück kommt hinzu, gemessen werden 40 Minuten:
| Anzahl | \( n = 10 \) (gerade) |
| beide mittleren Werte | 5. Wert \( = 50 \), 6. Wert \( = 50 \) |
| Zentralwert | \( \dfrac{50+50}{2} = 50 \) Minuten |
Merke: Sortiere zuerst! Bei ungeradem \( n \) ist der Zentralwert der Wert an Position \( \tfrac{n+1}{2} \). Bei geradem \( n \) bildest du das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte (Positionen \( \tfrac{n}{2} \) und \( \tfrac{n}{2}+1 \)). Anders als der Mittelwert wird der Zentralwert von einzelnen extrem großen oder kleinen Werten kaum beeinflusst.
4. Der Modalwert
Der Modalwert (auch Häufigkeitswert) ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Du musst dazu zählen, wie oft jeder Wert in der Liste auftritt – sortieren hilft dabei, aber die Reihenfolge selbst spielt keine Rolle.
Beispiel – wieder die 9 Bearbeitungszeiten
| Wert 40 | kommt 1× vor |
| Wert 45 | kommt 2× vor |
| Wert 50 | kommt 3× vor |
| Wert 55 | kommt 2× vor |
| Wert 60 | kommt 1× vor |
| Modalwert | \( 50 \) Minuten (höchste Häufigkeit: 3×) |
Merke: Der Modalwert ist der am häufigsten auftretende Wert. Er ist die einzige Kenngröße, die auch bei nicht-numerischen Daten (z. B. Lieblingsfarben) sinnvoll ist. Kommen mehrere Werte gleich oft am häufigsten vor, gibt es mehrere Modalwerte.
5. Die Spannweite
Die Spannweite beschreibt, wie stark die Werte streuen. Du berechnest sie, indem du den kleinsten Wert vom größten Wert abziehst:
Beispiel – wieder die 9 Bearbeitungszeiten
| Maximum | \( 60 \) Minuten |
| Minimum | \( 40 \) Minuten |
| Spannweite | \( 60 – 40 = 20 \) Minuten |
Merke: \( \text{Spannweite} = \text{Maximum} – \text{Minimum} \). Eine große Spannweite zeigt starke Streuung der Werte, eine kleine Spannweite zeigt, dass die Werte nahe beieinander liegen. Für die Spannweite brauchst du nur die beiden Extremwerte – alle Werte dazwischen spielen keine Rolle.
6. Datensätze vergleichen: Aussagekraft und Ausreißer
Eine einzelne Kenngröße erzählt nie die ganze Geschichte. Erst der Vergleich mehrerer Kenngrößen zeigt, was wirklich in den Daten steckt.
Beispiel 1 – zwei Verkaufsteams mit gleichem Mittelwert
Team A und Team B im Holzwerk Brandl haben in 5 Wochen jeweils diese Anzahl an Gartenbänken verkauft:
| Team A (sortiert) | \( 20, 21, 22, 23, 24 \) |
| Team B (sortiert) | \( 10, 15, 20, 25, 40 \) |
| Mittelwert A | \( (20+21+22+23+24):5 = 110:5 = 22 \) |
| Mittelwert B | \( (10+15+20+25+40):5 = 110:5 = 22 \) |
| Zentralwert A | \( 22 \) (3. Wert) |
| Zentralwert B | \( 20 \) (3. Wert) |
| Spannweite A | \( 24 – 20 = 4 \) |
| Spannweite B | \( 40 – 10 = 30 \) |
Beide Teams verkaufen im Mittel gleich viel. Der Mittelwert allein würde also sagen: „kein Unterschied“. Erst die Spannweite zeigt: Team A verkauft gleichmäßig jede Woche etwa 20–24 Bänke, Team B schwankt stark zwischen 10 und 40. Team A arbeitet planbarer, Team B hat vermutlich eine besonders starke oder besonders schwache Woche gehabt.
Beispiel 2 – ein Ausreißer verfälscht den Mittelwert
Bei einer Bank aus Kapitel 1 handelte es sich um ein aufwendiges Sonderanfertigungsstück: Statt 60 Minuten dauerte der Zuschnitt 150 Minuten. Die neue Liste lautet sortiert: \( 40, 45, 45, 50, 50, 50, 55, 55, 150 \).
| neue Summe | \( 40+45+45+50+50+50+55+55+150 = 540 \) |
| neuer Mittelwert | \( 540:9 = 60 \) Minuten (statt vorher 50) |
| neuer Zentralwert | weiterhin 5. Wert \( = 50 \) Minuten (unverändert) |
Ein einziger Ausreißer hat den Mittelwert von 50 auf 60 Minuten hochgezogen, obwohl acht von neun Werten unverändert geblieben sind. Der Zentralwert dagegen bleibt bei 50 – er beschreibt die „typische“ Bearbeitungszeit hier deutlich besser als der Mittelwert.
Merke: Vergleiche Datensätze immer mit mehreren Kenngrößen. Der Mittelwert nutzt alle Werte, ist aber ausreißerempfindlich: Ein einzelner sehr großer oder sehr kleiner Wert kann ihn stark verschieben. Der Zentralwert ist gegen Ausreißer robust. Die Spannweite zeigt zusätzlich, wie stark die Werte streuen.
7. Stichproben und Repräsentativität
Oft ist es unmöglich oder zu aufwendig, alle Daten zu erheben – man befragt oder misst stattdessen nur einen Teil, eine Stichprobe. Damit die Ergebnisse trotzdem etwas über die Gesamtheit aussagen, muss die Stichprobe repräsentativ sein: Sie muss die Gesamtheit in ihrer Zusammensetzung möglichst gut widerspiegeln.
Das Holzwerk Brandl möchte wissen, wie zufrieden seine Kundschaft insgesamt ist, und befragt dazu 40 Kunden.
| Ungeeignete Stichprobe | Es werden nur 40 Kunden befragt, die freitagvormittags im Showroom in Rosenheim sind. Berufstätige, Onlinekäufer und Kunden aus anderen Regionen kommen darin gar nicht vor – das Ergebnis ist verzerrt. |
| Geeignete Stichprobe | Es werden 40 Kunden zufällig aus allen Bestellungen des letzten Jahres ausgewählt – aus Showroom, Onlineshop und allen Regionen, in etwa im selben Verhältnis wie in der Gesamtkundschaft. |
Merke: Eine Stichprobe ist ein Teil der Gesamtheit. Sie ist repräsentativ, wenn ihre Zusammensetzung der Gesamtheit möglichst ähnlich ist. Ist die Auswahl einseitig (z. B. nur ein Ort, nur eine Uhrzeit, nur freiwillige Teilnehmer), sind die berechneten Kenngrößen nicht auf die Gesamtheit übertragbar.
8. Manipulative Diagramme erkennen
Dieselben Daten können in einem Diagramm ehrlich oder täuschend dargestellt werden. Ein beliebter Trick: die \( y \)-Achse nicht bei 0 beginnen zu lassen. Dadurch wirken kleine Unterschiede riesig.
Die monatlichen Verkaufszahlen an Gartenbänken lauten: Januar 48, Februar 50, März 52 Stück – ein moderater Anstieg von 4 Bänken (also weniger als 10 %).
Rechnerisch ist der Zuwachs von Januar zu März \( 52 – 48 = 4 \) Bänke, das sind \( 4:48 \approx 0{,}083 = 8{,}3\ \% \). Im zweiten Diagramm sieht der dritte Balken jedoch drei- bis viermal so hoch aus wie der erste – weil die Achse bei 45 statt bei 0 beginnt. Prüfe bei jedem Diagramm zuerst: Wo startet die Skala, und ist sie gleichmäßig eingeteilt? Um eine angemessenere, ehrliche Darstellung zu finden, zeichnest du die \( y \)-Achse einfach ab 0 neu – wie im linken Diagramm oben.
Merke: Vergleiche in einem Diagramm immer zuerst die Achsenbeschriftung: Beginnt die \( y \)-Achse nicht bei 0 oder sind die Abstände ungleichmäßig, wirken kleine Unterschiede größer, als sie tatsächlich sind. Rechne im Zweifel die Kenngrößen selbst nach, statt dich allein auf den optischen Eindruck zu verlassen.
9. Das Wichtigste in Kürze
| Arithmetisches Mittel | \( \overline{x} = \dfrac{\text{Summe}}{n} \) – nutzt alle Werte, ausreißerempfindlich |
| Zentralwert (Median) | mittlerer Wert der sortierten Liste (bei geradem \( n \): Mittel der beiden mittleren Werte) – robust gegen Ausreißer |
| Modalwert | der am häufigsten vorkommende Wert |
| Spannweite | \( \text{Maximum} – \text{Minimum} \) – zeigt die Streuung |
| Vergleich | nie nur eine Kenngröße betrachten – gleicher Mittelwert kann sehr unterschiedliche Streuung verbergen |
| Stichprobe | nur repräsentativ, wenn ihre Zusammensetzung der Gesamtheit ähnelt |
| Diagramme | Achsenbeginn und Skalierung prüfen, bevor du einem Diagramm glaubst |
10. So fragt die Abschlussprüfung
Kenngrößen werden in der Prüfung fast nie einzeln abgefragt. Typisch ist eine Datenreihe aus dem Sachzusammenhang, zu der du verschiedene Kenngrößen bestimmen und anschließend begründen sollst, welche die Daten am ehrlichsten beschreibt. Vier Aufgabenformen aus dem Holzwerk-Kontext – jede fragt bewusst eine andere Kenngröße:
Aufgabe 1 – Spannweite und Modalwert. Tobias notiert, wie viele Regalböden in der Werkstatt an den fünf Werktagen gefertigt wurden: 18, 24, 21, 24, 33. Bestimme Spannweite und Modalwert.
| sortieren | 18, 21, 24, 24, 33 |
| Spannweite | \( 33 – 18 = 15 \) |
| Modalwert | 24 (kommt zweimal vor) |
Gegenprobe: Kein anderer Wert steht zweimal in der Liste – 18, 21 und 33 kommen je einmal vor ✓. Die Spannweite kann nie größer sein als der Größtwert selbst: \( 15 < 33 \) ✓. Antwort: Die Spannweite beträgt 15 Böden, der Modalwert ist 24 Böden.
Aufgabe 2 – Zentralwert (Median) bei gerader Anzahl. Sechs verkaufte Massivholztische kosteten (in €): 740, 620, 900, 680, 1180, 840. Bestimme den Zentralwert.
| sortieren | 620, 680, 740, 840, 900, 1180 |
| \( n = 6 \) ist gerade | Mittel der beiden mittleren Werte (3. und 4. Platz) |
| Zentralwert | \( (740 + 840) : 2 = 1580 : 2 = 790\ \text{€} \) |
Gegenprobe: Unter 790 € liegen drei Preise (620, 680, 740), darüber ebenfalls drei (840, 900, 1180) – die Liste ist also genau halbiert ✓. Antwort: Der Zentralwert liegt bei 790 €.
Aufgabe 3 – Mittelwert rückwärts: fehlenden Wert bestimmen. Katharina Brandl möchte, dass in sechs Wochen durchschnittlich 30 Paletten pro Woche ausgeliefert werden. In den ersten fünf Wochen waren es 26, 31, 28, 34 und 29 Paletten. Wie viele müssen es in der sechsten Woche sein?
| nötige Gesamtsumme | \( 30 \cdot 6 = 180 \) |
| bisherige Summe | \( 26 + 31 + 28 + 34 + 29 = 148 \) |
| fehlender Wert | \( 180 – 148 = 32 \) Paletten |
Gegenprobe: \( (26+31+28+34+29+32) : 6 = 180 : 6 = 30 \) ✓. Antwort: In der sechsten Woche müssen 32 Paletten ausgeliefert werden. Merke dir den Weg: Beim Mittelwert rechnest du immer über die Summe, nicht über die einzelnen Werte.
Aufgabe 4 – Ausreißer erkennen: Mittelwert oder Zentralwert? Die letzten acht Auftragswerte des Monats betragen (in €): 300, 320, 340, 360, 380, 400, 420, 3480. Berechne Mittelwert und Zentralwert und entscheide begründet, welche Kenngröße Herr Sailer im Unterricht als „typischen Auftrag“ angeben sollte.
| Summe | \( 300+320+340+360+380+400+420+3480 = 6000 \) |
| Mittelwert | \( \overline{x} = 6000 : 8 = 750\ \text{€} \) |
| Zentralwert (\( n = 8 \)) | \( (360 + 380) : 2 = 370\ \text{€} \) |
| ohne den Ausreißer 3480 | \( 2520 : 7 = 360\ \text{€} \) |
Gegenprobe: \( 6000 – 3480 = 2520 \) und \( 2520 : 7 = 360 \) ✓. Der Mittelwert von 750 € liegt über sieben der acht Werte – ein sicheres Zeichen für einen Ausreißer. Der Zentralwert (370 €) liegt dagegen fast genau beim Mittelwert der sieben „normalen“ Aufträge (360 €) ✓. Antwort: Der einzelne Großauftrag über 3480 € zieht den Mittelwert nach oben. Der Zentralwert von 370 € beschreibt den typischen Auftrag deshalb ehrlicher.
11. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Zentralwert ohne Sortieren bestimmt. Ursache: Es wird einfach der Wert genommen, der in der Aufgabenliste in der Mitte steht. Vermeidung: Schreibe die Werte immer zuerst sortiert neu auf – ohne diese Zeile ist der Median praktisch nie richtig.
- Bei gerader Anzahl nur einen mittleren Wert genommen. Ursache: Es wird nicht geprüft, ob \( n \) gerade oder ungerade ist. Vermeidung: Notiere \( n \) neben der Liste. Bei geradem \( n \) musst du die beiden mittleren Werte addieren und halbieren.
- Modalwert mit Mittelwert oder mit der Häufigkeit verwechselt. Ursache: Angegeben wird, wie oft der häufigste Wert vorkommt, statt welcher Wert es ist. Vermeidung: Der Modalwert ist immer ein Wert aus der Datenreihe selbst – hier 24 Böden, nicht „2-mal“.
- Spannweite als Summe statt als Differenz berechnet. Ursache: Größt- und Kleinstwert werden addiert. Vermeidung: Die Spannweite beschreibt eine Strecke auf der Zahlengeraden: Maximum minus Minimum – und sie ist nie größer als das Maximum.
- Ausreißer unkommentiert im Mittelwert gelassen. Ursache: Der Mittelwert wird ausgerechnet und als „typischer Wert“ angegeben, obwohl ein einzelner Großwert ihn verzerrt. Vermeidung: Vergleiche Mittelwert und Zentralwert. Liegen sie weit auseinander, nennst du den Ausreißer und begründest deine Wahl – genau das gibt in der Prüfung den Punkt.
- Beim Mittelwert durch die falsche Anzahl geteilt. Ursache: Ein Wert wird beim Aufsummieren übersprungen, \( n \) bleibt aber gleich. Vermeidung: Zähle die Werte einmal ab und schreibe \( n \) hin, bevor du dividierst – und kontrolliere, dass der Mittelwert zwischen Minimum und Maximum liegt.
- Aus einer einseitigen Stichprobe auf die Gesamtheit geschlossen. Ursache: Es wird nicht gefragt, wer überhaupt befragt bzw. gemessen wurde. Vermeidung: Prüfe Ort, Zeit und Auswahlverfahren. Ist die Stichprobe nicht repräsentativ, gehört dieser Vorbehalt in den Antwortsatz.
Weiterlernen
In Klasse 5 hast du mit Strichlisten und Diagrammen die Grundlage für diese Seite gelegt. In Klasse 8 geht es mit „Daten und Zufall“ weiter: absolute und relative Häufigkeiten von Zufallsexperimenten, Baumdiagramme und Vierfeldertafeln. Die hier gelernten Kenngrößen – besonders das Rechnen mit Mittelwerten und das kritische Prüfen von Diagrammen – begegnen dir danach in nahezu jedem Sachfach wieder.
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