Mathematik Realschule Bayern · Klasse 9 · Lernbereich 3 „Rechtwinklige Dreiecke“ (LehrplanPLUS) · BY
Satz des Pythagoras – und die Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck gilt eine Besonderheit, die es sonst nirgends gibt: Aus zwei Seitenlängen kannst du die dritte ausrechnen, ganz ohne zu messen. Das ist der Satz des Pythagoras. Er ist in Wahrheit eine Aussage über Flächen – und genau deshalb gehören Kathetensatz und Höhensatz unmittelbar dazu: Beide vergleichen ebenfalls Quadrate mit Rechtecken am rechtwinkligen Dreieck. Und weil der Lernbereich 3 auch die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tangens umfasst, lernst du hier zusätzlich, wie du Seiten und Winkel im selben Dreieck kombiniert berechnest. Auf dieser Seite gehst du Kapitel für Kapitel durch: erst die Regel, dann ein vollständig durchgerechnetes Beispiel, dann das Wichtigste in einer Merke-Box.
Diese Seite gilt für Mathematik I und Mathematik II/III. Der Lernbereich ist im LehrplanPLUS für beide Ausrichtungen mit 20 Stunden angesetzt und die Kompetenzerwartungen sind bis auf einen Halbsatz wortgleich. Der einzige Unterschied: In Mathematik I kommt der Betrag eines Vektors dazu. Er steht in Kapitel 6 – und ist dort nichts anderes als der Satz des Pythagoras im Koordinatensystem.
Wozu brauchst du das?
Weil rechte Winkel überall sind. Eine Diagonalstrebe für einen Rahmen zuschneiden, ohne sie vorher anhalten zu können · prüfen, ob eine Ecke wirklich rechtwinklig ist, bevor die Platte verklebt wird · die Sparrenlänge eines Pultdachs aus Spannweite und Höhe bestimmen · herausfinden, ob ein Schrank durch die Zimmertür passt (Raumdiagonale) · den Abstand zweier Punkte auf einer Karte oder in einer CNC-Zeichnung berechnen · aus einem Hypotenusenabschnitt die zugehörige Kathete bestimmen · den Steigungswinkel einer Rampe oder die Neigung einer Dachfläche angeben. In der Abschlussprüfung erkennst du die Aufgaben daran, dass eine Figur gegeben ist, in der ein rechtwinkliges Teildreieck steckt – das zu finden, ist die halbe Arbeit.
Inhalt dieser Seite
- Kathete, Hypotenuse, Formel – die Benennung entscheidet
- Warum funktioniert das? Der Flächenbeweis
- Die Hypotenuse berechnen
- Eine fehlende Kathete berechnen
- Die Umkehrung: Ist das Dreieck rechtwinklig?
- Strecken im Koordinatensystem – und der Betrag eines Vektors
- Variable Streckenlängen: funktionale Abhängigkeiten und Extremwerte
- Rechtwinklige Teildreiecke in Figuren und Körpern
- Kathetensatz und Höhensatz – die verwandten Flächensätze
- Pythagoras kombiniert mit Sinus, Kosinus und Tangens
- Konstruktion: eine Strecke der Länge \( \sqrt{13} \) cm
- Das Wichtigste in Kürze
1. Kathete, Hypotenuse, Formel – die Benennung entscheidet
Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Deshalb musst du zuerst sicher sagen können, welche Seite welche ist. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite des Dreiecks.
Merkhilfe: Die Hypotenuse zeigt immer vom rechten Winkel weg – sie berührt ihn nicht.
In dieser üblichen Beschriftung liegt der rechte Winkel bei \( C \), die Hypotenuse heißt \( c \) und die Katheten heißen \( a \) und \( b \). Dann gilt:
Achtung, hier passiert der häufigste Fehler der ganzen 9. Klasse: Die Formel gilt nur so herum. Steht der rechte Winkel woanders, heißt die Hypotenuse auch anders. Liegt der rechte Winkel bei \( A \), lautet der Satz \( b^2 + c^2 = a^2 \). Verlass dich nie auf die Buchstaben, sondern immer auf die Frage: Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber? Diese Seite steht allein auf einer Seite der Gleichung.
Aufgelöst sieht der Satz so aus – alle Längen sind positive reelle Zahlen, also \( a, b, c \in \text{IR}, \; a, b, c > 0 \), deshalb kommt beim Wurzelziehen nur der positive Wert infrage:
Merke – Satz des Pythagoras: Hat ein Dreieck einen rechten Winkel, so hängen seine drei Seiten fest zusammen: Quadriere die beiden Katheten \( a \) und \( b \) und addiere die Ergebnisse – du erhältst genau das Quadrat der Hypotenuse \( c \). Kurz: \( a^2 + b^2 = c^2 \). Anschaulich heißt das: Die zwei Quadrate an den kurzen Seiten decken zusammen genau die Fläche des Quadrats an der langen Seite ab.
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite. Suchst du die Hypotenuse, wird addiert; suchst du eine Kathete, wird subtrahiert – und zwar immer „Hypotenusenquadrat minus bekanntes Kathetenquadrat“.
2. Warum funktioniert das? Der Flächenbeweis
\( a^2 \) ist nicht nur eine Rechenvorschrift, sondern eine Fläche: das Quadrat mit der Seitenlänge \( a \). Genau so war der Satz ursprünglich gemeint. Er sagt: Die beiden Quadrate über den Katheten haben zusammen genau denselben Flächeninhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse. Bei einem Dreieck mit den Katheten 3 und 4 sind das \( 9 + 16 = 25 \) – und 25 ist tatsächlich das Quadrat über der Hypotenuse 5.
Dass das nicht nur bei diesen Zahlen klappt, zeigt die rechte Bildhälfte. Beide großen Quadrate haben die Seitenlänge \( a + b \), sind also gleich groß. In beiden liegen vier gleiche rechtwinklige Dreiecke, nur anders gelegt. Was übrig bleibt, muss deshalb ebenfalls gleich groß sein: links \( a^2 + b^2 \), rechts \( c^2 \).
Beide großen Quadrate haben die Seitenlänge \( a + b \) und enthalten dieselben vier Dreiecke.
Rechnerisch nachvollzogen: Beide Quadrate haben den Flächeninhalt \( (a+b)^2 \). Zieht man aus beiden die vier Dreiecke mit dem Gesamtinhalt \( 4 \cdot \tfrac{1}{2} a b = 2ab \) ab, bleibt links \( (a+b)^2 – 2ab = a^2 + 2ab + b^2 – 2ab = a^2 + b^2 \) und rechts \( c^2 \). Also ist \( a^2 + b^2 = c^2 \).
Merke: Der Satz des Pythagoras ist eine Aussage über Flächen: Kathetenquadrat plus Kathetenquadrat ergibt Hypotenusenquadrat. Deshalb darfst du beim Rechnen nie „3 + 4 = 5“ denken – addiert werden nicht die Seiten, sondern ihre Quadrate.
3. Die Hypotenuse berechnen
Sind beide Katheten bekannt, quadrierst du sie, addierst und ziehst die Wurzel. Das ist der Standardfall.
Beispiel – Diagonalstrebe für einen Rahmen
Im Holzwerk Brandl wird ein rechteckiger Rahmen von 1,60 m Breite und 1,20 m Höhe gebaut. Damit er sich nicht verzieht, soll eine Diagonalstrebe eingesetzt werden. Wie lang muss sie zugeschnitten werden?
| gegeben | \( a = 1{,}20\ \text{m} \), \( b = 1{,}60\ \text{m} \) |
| Satz des Pythagoras | \( c^2 = a^2 + b^2 \) |
| einsetzen | \( c^2 = 1{,}20^2 + 1{,}60^2 = 1{,}44 + 2{,}56 \) |
| zusammenfassen | \( c^2 = 4{,}00\ \text{m}^2 \) |
| Wurzel ziehen | \( c = \sqrt{4{,}00\ \text{m}^2} = 2{,}00\ \text{m} \) |
Gegenprobe: \( 1{,}20^2 + 1{,}60^2 = 1{,}44 + 2{,}56 = 4{,}00 \) und \( 2{,}00^2 = 4{,}00 \) ✓. Zweite, unabhängige Kontrolle über die Größenordnung: Die Hypotenuse muss länger als die längste Kathete (1,60 m), aber kürzer als die Summe beider Katheten (2,80 m) sein – 2,00 m liegt genau dazwischen ✓. Antwort: Die Strebe wird 2,00 m lang zugeschnitten.
Die Abschätzung im letzten Satz ist mehr als eine Spielerei. Sie fasst dir jeden Vorzeichen- und Tippfehler ab: Käme bei einer Hypotenuse ein Wert heraus, der kleiner als eine der Katheten ist, wäre die Rechnung sicher falsch.
Merke: Hypotenuse gesucht → \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \). Erst beide Katheten quadrieren, dann addieren, dann einmal am Schluss die Wurzel ziehen. Die Hypotenuse liegt immer zwischen der längeren Kathete und der Summe beider Katheten.
4. Eine fehlende Kathete berechnen
Sind die Hypotenuse und eine Kathete bekannt, wird nicht addiert, sondern subtrahiert. Und zwar immer in dieser Richtung: Hypotenusenquadrat minus bekanntes Kathetenquadrat. Stell die Formel deshalb erst um und setze dann ein – wer sofort einsetzt, dreht die Subtraktion oft um und erhält eine negative Zahl unter der Wurzel.
Beispiel – Sparren eines Pultdachs
Über dem Holzlager sitzt ein Pultdach. Der fertige Sparren ist 2,60 m lang, der Höhenunterschied zwischen der niedrigen und der hohen Wand beträgt 1,00 m. Wie groß ist die waagrechte Spannweite des Dachs?
| gegeben | \( c = 2{,}60\ \text{m} \) (Hypotenuse), \( a = 1{,}00\ \text{m} \) |
| Formel umstellen | \( a^2 + b^2 = c^2 \;\Rightarrow\; b^2 = c^2 – a^2 \) |
| einsetzen | \( b^2 = 2{,}60^2 – 1{,}00^2 = 6{,}76 – 1{,}00 \) |
| zusammenfassen | \( b^2 = 5{,}76\ \text{m}^2 \) |
| Wurzel ziehen | \( b = \sqrt{5{,}76\ \text{m}^2} = 2{,}40\ \text{m} \) |
Gegenprobe: Vorwärts gerechnet ergibt \( 1{,}00^2 + 2{,}40^2 = 1{,}00 + 5{,}76 = 6{,}76 \) und \( \sqrt{6{,}76} = 2{,}60 \) ✓. Zweite Kontrolle: Eine Kathete muss kürzer als die Hypotenuse sein – 2,40 m < 2,60 m ✓. Antwort: Die Spannweite beträgt 2,40 m.
Merke: Kathete gesucht → \( b = \sqrt{c^2 – a^2} \). Unter der Wurzel steht immer großes Quadrat minus kleines Quadrat. Kommt bei dir eine negative Zahl unter der Wurzel heraus, hast du die Hypotenuse verwechselt – suche noch einmal die Seite gegenüber dem rechten Winkel.
5. Die Umkehrung: Ist das Dreieck rechtwinklig?
Bisher war der rechte Winkel gegeben und eine Seite gesucht. Es geht auch umgekehrt: Sind alle drei Seiten gegeben, kannst du damit nachweisen, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Das ist die Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Gilt in einem Dreieck \( a^2 + b^2 = c^2 \), dann ist es rechtwinklig – und zwar mit dem rechten Winkel gegenüber der längsten Seite.
So gehst du vor: (1) Die längste Seite heraussuchen – nur sie kann Hypotenuse sein. (2) Die beiden kürzeren Seiten quadrieren und addieren. (3) Mit dem Quadrat der längsten Seite vergleichen. (4) Ergebnis in einem Satz formulieren.
Beispiel – Verschnittdreieck prüfen
Beim Zuschnitt fällt ein dreieckiges Reststück an. Gemessen werden 0,90 m, 1,20 m und 1,50 m. Kann Tobias es als rechtwinklige Eckverstärkung verwenden?
| längste Seite | \( 1{,}50\ \text{m} \) |
| kürzere Seiten quadrieren | \( 0{,}90^2 + 1{,}20^2 = 0{,}81 + 1{,}44 = 2{,}25 \) |
| längste Seite quadrieren | \( 1{,}50^2 = 2{,}25 \) |
| vergleichen | \( 2{,}25 = 2{,}25 \) ✓ rechtwinklig |
Antwort: Die beiden Werte stimmen überein, also ist das Dreieck rechtwinklig. Der rechte Winkel liegt der 1,50 m langen Seite gegenüber, das heißt zwischen den Seiten 0,90 m und 1,20 m. Tobias kann das Stück verwenden.
Und wenn es nicht passt?
Ein zweites Reststück misst 0,90 m, 1,20 m und 1,60 m. Hier ist \( 0{,}81 + 1{,}44 = 2{,}25 \), aber \( 1{,}60^2 = 2{,}56 \). Wegen \( 2{,}25 \ne 2{,}56 \) ist dieses Dreieck nicht rechtwinklig. Genauer: Die längste Seite ist größer, als sie bei einem rechten Winkel sein dürfte – der Winkel ihr gegenüber ist also stumpf. Wäre sie kleiner, wäre der Winkel spitz. Ein Unterschied von wenigen Zentimetern entscheidet.
Merke – Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Die Gleichung funktioniert auch als Prüfwerkzeug. Sind von einem Dreieck alle drei Seiten bekannt und geht die Rechnung \( a^2 + b^2 = c^2 \) mit der längsten Seite als \( c \) auf, dann muss das Dreieck rechtwinklig sein; der rechte Winkel sitzt dabei genau gegenüber dieser längsten Seite. Geht die Rechnung nicht auf, ist das Dreieck nicht rechtwinklig. Beim Nachweis immer zuerst die längste Seite bestimmen – sonst prüfst du die falsche Gleichung. Zum Schluss gehört ein Antwortsatz dazu, nicht nur ein Haken.
6. Strecken im Koordinatensystem – und der Betrag eines Vektors
Zwei Punkte im Koordinatensystem, wie weit sind sie voneinander entfernt? Auch das ist Pythagoras. Zeichne das Steigungsdreieck: waagrecht der Unterschied der \( x \)-Werte, senkrecht der Unterschied der \( y \)-Werte. Diese beiden Strecken stehen senkrecht aufeinander – sie sind die Katheten. Die gesuchte Verbindungsstrecke ist die Hypotenuse.
Beispiel – zwei Bohrpunkte auf einer Fräsplatte
Auf einer CNC-Zeichnung liegen die Bohrpunkte \( A(2\,|\,1) \) und \( B(8\,|\,9) \). Eine Längeneinheit entspricht 1 cm. Wie weit sind die Bohrungen voneinander entfernt?
| waagrechte Kathete | \( \Delta x = 8 – 2 = 6 \) |
| senkrechte Kathete | \( \Delta y = 9 – 1 = 8 \) |
| Pythagoras | \( \overline{AB}^{\,2} = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \) |
| Wurzel ziehen | \( \overline{AB} = \sqrt{100} = 10 \) (also 10 cm) |
Gegenprobe: Rechne die Differenzen andersherum: \( \Delta x = 2 – 8 = -6 \) und \( \Delta y = 1 – 9 = -8 \). Quadriert ergibt das wieder \( 36 + 64 = 100 \) ✓. Genau deshalb ist die Reihenfolge der Punkte egal – durch das Quadrieren verschwindet jedes Minuszeichen. Antwort: Die Bohrungen sind 10 cm voneinander entfernt.
Allgemein gilt für zwei Punkte \( A(x_A\,|\,y_A) \) und \( B(x_B\,|\,y_B) \):
Zusatzbeispiel: der Betrag eines Vektors (Mathematik I)
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung: so weit nach rechts, so weit nach oben. Sein Betrag ist nichts anderes als die Länge dieser Verschiebung – und die berechnest du mit derselben Formel wie eben. Die beiden Koordinaten des Vektors sind die Katheten, der Betrag ist die Hypotenuse.
Der Vektor von \( A(2\,|\,1) \) nach \( B(8\,|\,9) \) aus dem Beispiel oben ist \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} \), sein Betrag also \( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \) – dieselbe Zahl wie die Streckenlänge. Das ist kein Zufall: Der Betrag eines Vektors ist die Länge der zugehörigen Strecke.
Zweites Beispiel mit negativer Koordinate: \( \vec{w} = \begin{pmatrix} -5 \\ 12 \end{pmatrix} \).
Gegenprobe: Der Vektor \( \vec{w} \) führt zum Beispiel von \( P(7\,|\,2) \) nach \( Q(2\,|\,14) \). Als Streckenlänge gerechnet: \( \sqrt{(2-7)^2 + (14-2)^2} = \sqrt{25 + 144} = 13 \) ✓ – beide Wege liefern denselben Wert. Beachte: Ein Betrag ist eine Länge und damit nie negativ, \( |\vec{w}| \in \text{IR}, \; |\vec{w}| \ge 0 \). Das Minuszeichen der \( x \)-Koordinate sagt nur, dass die Verschiebung nach links geht; auf die Länge hat es keinen Einfluss, weil quadriert wird.
Merke: Der Abstand zweier Punkte ist die Hypotenuse ihres Steigungsdreiecks: \( \overline{AB} = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \). Der Betrag eines Vektors wird nach genau derselben Formel berechnet: \( |\vec{v}| = \sqrt{v_x^{\,2} + v_y^{\,2}} \). Minuszeichen in \( \Delta x \), \( \Delta y \) oder in den Vektorkoordinaten sind egal, weil quadriert wird – das Ergebnis ist immer eine nichtnegative Länge.
7. Variable Streckenlängen: funktionale Abhängigkeiten und Extremwerte
Bisher waren alle Angaben feste Zahlen. In der Prüfung ist eine Länge aber oft variabel: Ein Punkt wandert, eine Kathete darf sich ändern. Dann liefert der Satz des Pythagoras keinen einzelnen Wert mehr, sondern einen Term mit der Variablen \( x \) – also eine Funktion. Und sobald du eine Funktion hast, kannst du fragen: Wann wird die Länge am kleinsten, wann am größten? Das ist ein Extremwertproblem.
Das Vorgehen ist immer dasselbe: (1) Variable festlegen und den Definitionsbereich angeben. (2) Alle übrigen Strecken durch \( x \) ausdrücken. (3) Pythagoras ansetzen – das ergibt den Funktionsterm. (4) Zum Suchen des Extremwerts den Term unter der Wurzel betrachten: Wird er kleinst, wird auch die Wurzel kleinst. Diesen quadratischen Term bringst du auf die Scheitelform.
Beispiel – die kürzeste Eckverstärkung
Im Holzwerk Brandl werden Eckverstärkungen als rechtwinklige Dreiecke gesägt. Die beiden Katheten werden aus einer Leiste von genau 12 cm abgelängt, es gilt also \( a + b = 12\ \text{cm} \). Die Hypotenuse ist die sichtbare Schrägkante. Wie lang ist sie in Abhängigkeit von \( a \) – und für welches \( a \) wird sie am kürzesten?
| Variable und Definitionsbereich | \( a \in \text{IR}, \; 0 < a < 12 \) (in cm) |
| zweite Kathete | \( b = 12 – a \) |
| Pythagoras ansetzen | \( c^2 = a^2 + (12-a)^2 \) |
| ausmultiplizieren | \( c^2 = a^2 + 144 – 24a + a^2 = 2a^2 – 24a + 144 \) |
| Funktionsterm | \( c(a) = \sqrt{2a^2 – 24a + 144} \) |
| Scheitelform des Radikanden | \( 2a^2 – 24a + 144 = 2(a-6)^2 + 72 \) |
| Minimum | \( a = 6\ \text{cm} \Rightarrow c = \sqrt{72}\ \text{cm} = 6\sqrt{2}\ \text{cm} \approx 8{,}49\ \text{cm} \) |
Warum darf man nur den Radikanden untersuchen? Weil die Wurzel monoton steigt: Ist der Wert unter der Wurzel am kleinsten, ist auch die Wurzel am kleinsten. Der Radikand \( 2(a-6)^2 + 72 \) ist ein nach oben geöffneter Parabelterm mit dem Scheitel \( S(6\,|\,72) \) – sein kleinster Wert ist also 72, erreicht bei \( a = 6 \).
Gegenprobe über eine Wertetabelle (jeder Wert einzeln mit Pythagoras nachgerechnet):
| \( a \) in cm | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| \( c^2 \) in cm² | 104 | 80 | 72 | 80 | 104 |
| \( c \) in cm | 10,20 | 8,94 | 8,49 | 8,94 | 10,20 |
Kontrolle Zeile für Zeile: \( 2^2 + 10^2 = 4 + 100 = 104 \) ✓, \( 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80 \) ✓, \( 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72 \) ✓. Die Tabelle ist symmetrisch zu \( a = 6 \) – und genau das muss sie sein, weil das Vertauschen von \( a \) und \( b \) dasselbe Dreieck nur gedreht ergibt. Der kleinste Wert liegt in der Mitte ✓. Antwort: Die Schrägkante ist am kürzesten, wenn beide Katheten 6 cm lang sind; sie misst dann \( 6\sqrt{2}\ \text{cm} \approx 8{,}49\ \text{cm} \). Von allen Eckverstärkungen mit 12 cm Kathetensumme ist also die gleichschenklige die sparsamste.
Beachte die Randwerte: Für \( a \to 0 \) oder \( a \to 12 \) würde \( c \to 12 \) gehen – das Dreieck fällt zusammen. Deshalb gehören 0 und 12 nicht zum Definitionsbereich, ein Maximum gibt es hier also nicht. Ein Extremwert existiert nur, wenn er im Definitionsbereich auch angenommen wird.
Merke – variable Streckenlängen: Ist eine Strecke variabel, drückst du alle Teilstrecken durch \( x \) aus und setzt Pythagoras an. Das Ergebnis ist ein Funktionsterm der Form \( \ell(x) = \sqrt{\text{quadratischer Term}} \). Gib dazu immer den Definitionsbereich an – er ergibt sich aus der Figur, nicht aus dem Term.
Extremwert: Untersuche nicht die Wurzel, sondern den Term darunter. Bringe ihn auf die Scheitelform \( a(x-x_s)^2 + y_s \); der Scheitel liefert die Stelle des Minimums (bei \( a > 0 \)) bzw. Maximums (bei \( a < 0 \)). Die zugehörige Länge erhältst du durch Radizieren des Scheitelwerts. Kontrolle: eine kleine Wertetabelle links und rechts der gefundenen Stelle.
8. Rechtwinklige Teildreiecke in Figuren und Körpern
In der Prüfung bekommst du selten ein fertiges rechtwinkliges Dreieck vorgesetzt. Du bekommst ein gleichschenkliges Dreieck, ein Trapez, eine Raute oder einen Quader – und musst das rechtwinklige Teildreieck erst hineinzeichnen. Die beiden zuverlässigsten Hilfslinien: eine Höhe in ebenen Figuren und eine Flächendiagonale in Körpern.
Beispiel 1 – Höhe im gleichschenkligen Giebel
Ein Giebelaufsatz für ein Regal ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundseite 1,20 m und den Schenkeln 1,00 m. Wie hoch ist der Aufsatz?
Die Höhe auf die Grundseite halbiert bei einem gleichschenkligen Dreieck die Grundseite und steht senkrecht auf ihr. Damit entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke mit der Kathete \( 1{,}20 : 2 = 0{,}60\ \text{m} \) und der Hypotenuse 1,00 m.
| halbe Grundseite | \( 1{,}20\ \text{m} : 2 = 0{,}60\ \text{m} \) |
| Formel umstellen | \( h^2 = 1{,}00^2 – 0{,}60^2 \) |
| rechnen | \( h^2 = 1{,}00 – 0{,}36 = 0{,}64\ \text{m}^2 \) |
| Wurzel ziehen | \( h = \sqrt{0{,}64\ \text{m}^2} = 0{,}80\ \text{m} \) |
Gegenprobe: \( 0{,}60^2 + 0{,}80^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1{,}00 = 1{,}00^2 \) ✓. Antwort: Der Giebelaufsatz ist 0,80 m hoch.
Beispiel 2 – Raumdiagonale eines Regalkorpus
Ein Regalkorpus ist 1,60 m lang, 1,20 m tief und 1,50 m hoch. Passt eine 2,45 m lange Gewindestange schräg hinein? Gesucht ist die längste Strecke im Inneren, die Raumdiagonale. Sie wird in zwei Schritten berechnet: erst die Diagonale der Grundfläche, dann mit dieser und der Höhe die Raumdiagonale.
| Schritt 1: Grundfläche | \( e^2 = 1{,}60^2 + 1{,}20^2 = 2{,}56 + 1{,}44 = 4{,}00 \) |
| Grunddiagonale | \( e = \sqrt{4{,}00\ \text{m}^2} = 2{,}00\ \text{m} \) |
| Schritt 2: mit der Höhe | \( d^2 = e^2 + 1{,}50^2 = 4{,}00 + 2{,}25 = 6{,}25 \) |
| Raumdiagonale | \( d = \sqrt{6{,}25\ \text{m}^2} = 2{,}50\ \text{m} \) |
Gegenprobe auf dem zweiten Weg: Setzt man beide Schritte zusammen, entsteht die Formel \( d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \). Direkt gerechnet: \( \sqrt{1{,}60^2 + 1{,}20^2 + 1{,}50^2} = \sqrt{2{,}56 + 1{,}44 + 2{,}25} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}50 \) ✓ – derselbe Wert. Antwort: Die Raumdiagonale misst 2,50 m, die 2,45 m lange Stange passt also schräg hinein.
Wichtig für die Zeichnung: Die Grunddiagonale \( e \) steht senkrecht auf der Höhe, weil die Höhe senkrecht auf der ganzen Grundfläche steht. Nur deshalb darfst du im zweiten Schritt überhaupt Pythagoras anwenden.
Beispiel 3 – Pyramide: Seitenhöhe und Seitenkante
Ein Pavillondach ist eine quadratische Pyramide mit der Grundkante \( a = 12{,}0\ \text{cm} \) (Modell) und der Körperhöhe \( h = 8{,}0\ \text{cm} \). Gesucht sind die Seitenhöhe \( h_s \) und die Seitenkante \( s \). Hier brauchst du zwei verschiedene Teildreiecke – und genau das ist die typische Prüfungsfalle:
- Für die Seitenhöhe nimmst du die halbe Grundkante \( \frac{a}{2} = 6{,}0\ \text{cm} \), weil \( h_s \) zur Mitte einer Grundkante läuft.
- Für die Seitenkante nimmst du die halbe Grundflächendiagonale, weil \( s \) zu einer Ecke läuft.
| Seitenhöhe | \( h_s^{\,2} = 6{,}0^2 + 8{,}0^2 = 36 + 64 = 100\ \text{cm}^2 \) |
| \( h_s = \sqrt{100\ \text{cm}^2} = 10{,}0\ \text{cm} \) | |
| Grundflächendiagonale | \( e^2 = 12{,}0^2 + 12{,}0^2 = 288\ \text{cm}^2 \) |
| halbe Diagonale | \( \left(\tfrac{e}{2}\right)^2 = \tfrac{288}{4} = 72\ \text{cm}^2 \) |
| Seitenkante | \( s^2 = 72 + 8{,}0^2 = 72 + 64 = 136\ \text{cm}^2 \) |
| \( s = \sqrt{136\ \text{cm}^2} \approx 11{,}7\ \text{cm} \) |
Praktischer Trick für die halbe Diagonale: Du musst \( e \) gar nicht ausrechnen, sondern nur \( \left(\frac{e}{2}\right)^2 = \frac{e^2}{4} \) – so bleibt die Rechnung ohne Rundungsfehler. Gegenprobe: \( \frac{e}{2} = \sqrt{72}\ \text{cm} \approx 8{,}49\ \text{cm} \), und \( \sqrt{8{,}49^2 + 8{,}0^2} = \sqrt{72{,}1 + 64} \approx \sqrt{136{,}1} \approx 11{,}7\ \text{cm} \) ✓. Plausibilität: Die Seitenkante läuft weiter nach außen als die Seitenhöhe, muss also länger sein: \( 11{,}7\ \text{cm} > 10{,}0\ \text{cm} \) ✓. Antwort: \( h_s = 10{,}0\ \text{cm} \), \( s \approx 11{,}7\ \text{cm} \).
Merke: Suche in jeder Figur zuerst das rechtwinklige Teildreieck. In ebenen Figuren findest du es fast immer, indem du eine Höhe einzeichnest; bei gleichschenkligen Dreiecken halbiert diese Höhe die Grundseite. In Körpern rechnest du in zwei Schritten: erst die Flächendiagonale, dann mit ihr und der Höhe die Raumdiagonale. Für den Quader gilt kurz \( d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \). Bei der Pyramide entscheidet das Ziel über die Kathete: Seitenhöhe → halbe Grundkante, Seitenkante → halbe Grundflächendiagonale.
9. Kathetensatz und Höhensatz – die verwandten Flächensätze
Zeichne im rechtwinkligen Dreieck die Höhe auf die Hypotenuse ein. Ihr Fußpunkt teilt die Hypotenuse in zwei Stücke, die Hypotenusenabschnitte. Das Stück, das an der Kathete \( a \) anliegt, heißt \( p \); das Stück an der Kathete \( b \) heißt \( q \). Es gilt immer \( p + q = c \). Mit dieser einen Hilfslinie entstehen zwei weitere Flächensätze, die zum Satz des Pythagoras gehören wie zwei Geschwister.
Die ersten beiden Gleichungen sind der Kathetensatz, die dritte ist der Höhensatz. Alle Längen sind positive reelle Zahlen, also \( a, b, c, p, q, h_c \in \text{IR}, \; a, b, c, p, q, h_c > 0 \) – beim Radizieren kommt daher nur der positive Wert infrage.
Der Hypotenusenabschnitt \( p \) liegt bei \( a \), der Abschnitt \( q \) liegt bei \( b \) – jeweils an derselben Ecke wie die Kathete.
Woher kommen die beiden Sätze? Die Herleitung mit ähnlichen Dreiecken
Die Höhe \( h_c \) zerlegt das Dreieck \( ABC \) in zwei kleinere Dreiecke \( AHC \) und \( HBC \). Alle drei Dreiecke haben einen rechten Winkel, und jedes der kleinen teilt mit dem großen einen weiteren Winkel: \( HBC \) den Winkel \( \beta \), \( AHC \) den Winkel \( \alpha \). Nach dem Winkelsummensatz stimmen damit alle drei Winkel überein – die drei Dreiecke sind ähnlich. Und in ähnlichen Dreiecken sind entsprechende Seitenverhältnisse gleich.
Im großen Dreieck liegt bei \( \beta \) die Ankathete \( a \) an der Hypotenuse \( c \); im kleinen Dreieck \( HBC \) liegt bei \( \beta \) die Ankathete \( p \) an der Hypotenuse \( a \). Also:
Das ist der Kathetensatz. Für den Höhensatz vergleichst du nur die zwei kleinen Dreiecke miteinander: In \( AHC \) gehört zur Kathete \( q \) die Kathete \( h_c \), in \( HBC \) gehört zur Kathete \( h_c \) die Kathete \( p \). Damit ist
Kontrolle der Herleitung an Zahlen (Dreieck aus der Zeichnung oben, \( a = 3{,}0 \), \( b = 4{,}0 \), \( c = 5{,}0 \), \( p = 1{,}8 \), \( q = 3{,}2 \), \( h_c = 2{,}4 \) cm): \( \frac{a}{c} = \frac{3{,}0}{5{,}0} = 0{,}6 \) und \( \frac{p}{a} = \frac{1{,}8}{3{,}0} = 0{,}6 \) ✓. \( \frac{h_c}{p} = \frac{2{,}4}{1{,}8} = \frac{4}{3} \) und \( \frac{q}{h_c} = \frac{3{,}2}{2{,}4} = \frac{4}{3} \) ✓.
Historisch wurde derselbe Zusammenhang ohne jede Rechnung gezeigt: Bei Euklid wird das Quadrat über der Kathete durch Scherung in das Rechteck aus Hypotenuse und zugehörigem Hypotenusenabschnitt überführt. Beim Scheren bleiben Grundlinie und Höhe – und damit der Flächeninhalt – unverändert, nur die Form ändert sich. Genau deshalb sind Quadrat und Rechteck flächengleich. Und weil sich die Hypotenuse aus beiden Abschnitten zusammensetzt, folgt daraus sofort wieder der Satz des Pythagoras: \( a^2 + b^2 = c \cdot p + c \cdot q = c \cdot (p+q) = c \cdot c = c^2 \).
Diese letzte Zeile lohnt sich zum Merken: Der Satz des Pythagoras ist eine Folge des Kathetensatzes. Deshalb gehören die drei Sätze nicht nur thematisch, sondern logisch zusammen.
Beispiel – Katheten und Höhe aus Hypotenuse und Hypotenusenabschnitt
Von einem rechtwinkligen Dreieck sind die Hypotenuse \( c = 5{,}0\ \text{cm} \) und der Hypotenusenabschnitt \( p = 1{,}8\ \text{cm} \) bekannt. Berechne \( q \), die beiden Katheten und die Höhe \( h_c \).
| zweiter Abschnitt | \( q = c – p = 5{,}0 – 1{,}8 = 3{,}2\ \text{cm} \) |
| Kathetensatz für \( a \) | \( a^2 = c \cdot p = 5{,}0 \cdot 1{,}8 = 9{,}0\ \text{cm}^2 \) |
| radizieren | \( a = \sqrt{9{,}0\ \text{cm}^2} = 3{,}0\ \text{cm} \) |
| Kathetensatz für \( b \) | \( b^2 = c \cdot q = 5{,}0 \cdot 3{,}2 = 16{,}0\ \text{cm}^2 \) |
| radizieren | \( b = \sqrt{16{,}0\ \text{cm}^2} = 4{,}0\ \text{cm} \) |
| Höhensatz | \( h_c^{\,2} = p \cdot q = 1{,}8 \cdot 3{,}2 = 5{,}76\ \text{cm}^2 \) |
| Höhe | \( h_c = \sqrt{5{,}76\ \text{cm}^2} = 2{,}4\ \text{cm} \) |
Gegenprobe auf zwei unabhängigen Wegen: Erstens mit dem Satz des Pythagoras: \( a^2 + b^2 = 9{,}0 + 16{,}0 = 25{,}0 = 5{,}0^2 = c^2 \) ✓. Zweitens über den Flächeninhalt des Dreiecks, der sich auf zwei Arten berechnen lässt – über die Katheten \( A = \tfrac{1}{2} \cdot 3{,}0 \cdot 4{,}0 = 6{,}0\ \text{cm}^2 \) und über Hypotenuse und Höhe \( A = \tfrac{1}{2} \cdot 5{,}0 \cdot 2{,}4 = 6{,}0\ \text{cm}^2 \) ✓. Antwort: \( q = 3{,}2\ \text{cm} \), \( a = 3{,}0\ \text{cm} \), \( b = 4{,}0\ \text{cm} \), \( h_c = 2{,}4\ \text{cm} \).
Zwei Kontrollen, die dir Vorzeichen- und Zuordnungsfehler abfangen: Jeder Hypotenusenabschnitt ist kürzer als die Hypotenuse, und die Höhe auf die Hypotenuse ist kürzer als jede Kathete. Und pass auf die Zuordnung auf: Zur kleineren Kathete gehört der kleinere Abschnitt. Hier ist \( a = 3{,}0\ \text{cm} \) die kleinere Kathete und \( p = 1{,}8\ \text{cm} \) der kleinere Abschnitt ✓. Verwechselst du \( p \) und \( q \), kommen die Katheten vertauscht heraus.
Merke – Kathetensatz: Zeichne die Höhe auf die Hypotenuse ein. Dann hat das Quadrat über einer Kathete denselben Flächeninhalt wie ein Rechteck, das aus der ganzen Hypotenuse und dem Hypotenusenabschnitt an dieser Kathete gebildet wird. In Formeln: \( a^2 = c \cdot p \) und \( b^2 = c \cdot q \). Merkhilfe: Kathete mal Kathete kommt nie vor – immer „ganze Hypotenuse mal ihr eigenes Stück“.
Merke – Höhensatz: Das Quadrat über der Höhe \( h_c \) ist genauso groß wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten: \( h_c^{\,2} = p \cdot q \). Die Höhe ist also das Bindeglied zwischen den zwei Stücken, in die sie die Hypotenuse zerlegt.
10. Pythagoras kombiniert mit Sinus, Kosinus und Tangens
Der Satz des Pythagoras verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Er sagt aber nichts über die Winkel. Genau diese Lücke füllen die drei Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tangens, die im Lernbereich 3 zu diesem Thema gehören. Zusammen mit Pythagoras hast du damit ein Werkzeug, mit dem du aus zwei Angaben alle übrigen Seiten und Winkel bestimmen kannst.
Die Bezeichnungen richten sich immer nach dem Winkel, um den es gerade geht – hier \( \alpha \). Die Gegenkathete liegt \( \alpha \) gegenüber, die Ankathete bildet einen Schenkel von \( \alpha \), die Hypotenuse liegt wie immer gegenüber dem rechten Winkel:
Der Unterschied zu Pythagoras in einem Satz: Pythagoras rechnet Seite aus Seiten, Sinus, Kosinus und Tangens rechnen Winkel aus Seiten – und Seiten aus Winkeln. In Prüfungsaufgaben treten beide fast immer gemeinsam auf: erst eine fehlende Seite mit Pythagoras, dann der Winkel mit dem passenden Verhältnis (oder umgekehrt).
Beispiel 1 – Winkel aus Seiten: Neigung einer Zufahrtsrampe
Zur Laderampe des Holzwerks führt eine gerade Auffahrt. Sie überwindet auf einer waagrechten Strecke von 24,0 m einen Höhenunterschied von 7,0 m. Wie lang ist die Fahrbahn, und unter welchem Winkel \( \alpha \) steigt sie an?
| gegeben | \( a = 7{,}0\ \text{m} \), \( b = 24{,}0\ \text{m} \) |
| Schritt 1: Pythagoras | \( c^2 = 7{,}0^2 + 24{,}0^2 = 49 + 576 = 625\ \text{m}^2 \) |
| Fahrbahnlänge | \( c = \sqrt{625\ \text{m}^2} = 25{,}0\ \text{m} \) |
| Schritt 2: Tangens | \( \tan \alpha = \dfrac{a}{b} = \dfrac{7{,}0}{24{,}0} \approx 0{,}2917 \) |
| Steigungswinkel | \( \alpha \approx 16{,}3^\circ \) |
Gegenprobe auf zwei unabhängigen Wegen: Erstens über den Sinus, der die eben berechnete Hypotenuse benutzt: \( \sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{7{,}0}{25{,}0} = 0{,}28 \), also ebenfalls \( \alpha \approx 16{,}3^\circ \) ✓. Zweitens über den Kosinus: \( \cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{24{,}0}{25{,}0} = 0{,}96 \), wieder \( \alpha \approx 16{,}3^\circ \) ✓. Drei Verhältnisse, ein Ergebnis – ein Rechen- oder Tippfehler würde hier sofort auffallen. Antwort: Die Fahrbahn ist 25,0 m lang und steigt unter etwa \( 16{,}3^\circ \) an.
Noch eine Kontrolle ohne Taschenrechner: Die Rampe ist flach – die Höhe ist viel kleiner als die waagrechte Strecke. Der Winkel muss also deutlich unter \( 45^\circ \) liegen, denn bei genau \( 45^\circ \) wären beide Katheten gleich lang. Der dritte Winkel folgt aus der Winkelsumme: \( \beta = 90^\circ – 16{,}3^\circ = 73{,}7^\circ \), und tatsächlich ist \( \tan \beta = \frac{24{,}0}{7{,}0} \approx 3{,}43 \), was ebenfalls auf \( 73{,}7^\circ \) führt ✓.
Beispiel 2 – Seiten aus einem Winkel: Neigung einer Pyramidendachfläche
Ein Pavillon hat ein Dach in Form einer quadratischen Pyramide. Die Grundkante ist \( a = 12{,}0\ \text{cm} \) im Modellmaßstab, die Dachflächen sind gegen die Grundfläche um \( \varphi = 53{,}1^\circ \) geneigt. Berechne die Höhe \( h \) der Pyramide und die Höhe \( h_s \) einer Dachfläche (die Seitenhöhe).
Das entscheidende Teildreieck steckt im Inneren: Es besteht aus der halben Grundkante \( \frac{a}{2} = 6{,}0\ \text{cm} \), der senkrechten Körperhöhe \( h \) und der Seitenhöhe \( h_s \) als Hypotenuse. Der Neigungswinkel \( \varphi \) liegt darin unten, bei der halben Grundkante.
| halbe Grundkante | \( \dfrac{a}{2} = \dfrac{12{,}0\ \text{cm}}{2} = 6{,}0\ \text{cm} \) |
| Tangens ansetzen | \( \tan \varphi = \dfrac{h}{a/2} \;\Rightarrow\; h = \dfrac{a}{2} \cdot \tan \varphi \) |
| Körperhöhe | \( h = 6{,}0\ \text{cm} \cdot \tan 53{,}1^\circ \approx 8{,}0\ \text{cm} \) |
| Kosinus ansetzen | \( \cos \varphi = \dfrac{a/2}{h_s} \;\Rightarrow\; h_s = \dfrac{a/2}{\cos \varphi} \) |
| Seitenhöhe | \( h_s = \dfrac{6{,}0\ \text{cm}}{\cos 53{,}1^\circ} \approx 10{,}0\ \text{cm} \) |
Gegenprobe auf zwei unabhängigen Wegen: Erstens mit dem Satz des Pythagoras im Teildreieck: \( \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = 6{,}0^2 + 8{,}0^2 = 36 + 64 = 100 \) und \( h_s^{\,2} = 10{,}0^2 = 100 \) ✓ – die drei Längen 6,0 cm, 8,0 cm und 10,0 cm passen also zusammen. Zweitens über den Sinus, der beide Ergebnisse gleichzeitig prüft: \( \sin \varphi = \frac{h}{h_s} = \frac{8{,}0}{10{,}0} = 0{,}80 \), und daraus folgt wieder \( \varphi \approx 53{,}1^\circ \) ✓. Antwort: Die Pyramide ist etwa 8,0 cm hoch, die Seitenhöhe beträgt etwa 10,0 cm.
Zwei typische Fallen in solchen Körperaufgaben: Erstens die halbe Grundkante – wer versehentlich mit 12,0 cm rechnet, erhält die doppelte Höhe. Zweitens die Verwechslung von Seitenhöhe und Seitenkante: Die Seitenhöhe trifft die Mitte einer Grundkante, die Seitenkante läuft zur Ecke und ist deshalb länger. Prüfe darum immer zuerst, welches Teildreieck du überhaupt betrachtest.
Merke – Seiten und Winkel gemeinsam: Im rechtwinkligen Dreieck gilt bezogen auf den Winkel \( \alpha \): \( \sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \), \( \cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \), \( \tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \). Ob eine Kathete Gegen- oder Ankathete ist, entscheidet allein die Lage zum betrachteten Winkel – nicht ihr Buchstabe.
Vorgehen bei kombinierten Aufgaben: (1) rechtwinkliges Teildreieck herauslösen und beschriften, (2) fehlende Seite mit Pythagoras ergänzen, (3) Winkel mit dem Verhältnis bestimmen, in dem nur bekannte Seiten stehen – oder umgekehrt eine Seite aus einem gegebenen Winkel. Weil dann meist drei Seiten bekannt sind, lässt sich jeder Winkel auf mehreren Wegen nachrechnen: Das ist die beste Kontrolle, die du hast.
11. Konstruktion: eine Strecke der Länge \( \sqrt{13} \) cm
\( \sqrt{13} \approx 3{,}6055513\ldots \) ist eine irrationale Zahl: Ihre Dezimaldarstellung bricht nie ab und wiederholt sich nie. Mit dem Lineal kannst du diese Länge deshalb nicht abmessen – du kämst immer nur auf einen Näherungswert. Konstruieren kannst du sie aber exakt, und zwar mit dem Satz des Pythagoras. Die Idee: Zerlege die Zahl unter der Wurzel in eine Summe zweier Quadratzahlen.
Das ist genau die Form \( c = \sqrt{a^2+b^2} \). Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 2 cm und 3 cm hat also eine Hypotenuse von exakt \( \sqrt{13} \) cm.
Konstruktionsbeschreibung (werkzeugneutral – mit Zirkel und Lineal oder mit einer Geometriesoftware):
- Zeichne eine Gerade \( g \) und markiere darauf den Punkt \( A \).
- Trage von \( A \) aus auf \( g \) die Strecke \( \overline{AB} = 3\ \text{cm} \) ab.
- Errichte in \( A \) die Senkrechte zu \( g \).
- Trage von \( A \) aus auf dieser Senkrechten die Strecke \( \overline{AC} = 2\ \text{cm} \) ab.
- Verbinde \( C \) mit \( B \). Die Strecke \( \overline{CB} \) hat die gesuchte Länge \( \sqrt{13} \) cm.
Begründung: Das Dreieck \( ABC \) ist nach Konstruktion rechtwinklig bei \( A \). Damit ist \( \overline{CB} \) die Hypotenuse, und es gilt \( \overline{CB} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \) cm.
Gegenprobe durch Messen: \( \sqrt{13} \approx 3{,}61\ \text{cm} \). Miss die konstruierte Strecke nach – sie muss zwischen 3,6 cm und 3,65 cm liegen. Zweite Kontrolle ohne Lineal: Wegen \( 3^2 = 9 < 13 < 16 = 4^2 \) muss \( \sqrt{13} \) zwischen 3 und 4 liegen, und weil 13 deutlich näher an 16 als an 9 liegt, eher bei 3,6 als bei 3,2 ✓.
Dasselbe Verfahren funktioniert für jede Wurzel, die sich als Summe zweier Quadrate schreiben lässt, etwa \( \sqrt{5} = \sqrt{1^2+2^2} \) oder \( \sqrt{25} = \sqrt{3^2+4^2} \). Klappt das nicht direkt, hilft die Differenz: \( \sqrt{7} = \sqrt{4^2 – 3^2} \) – dann ist die gesuchte Länge eine Kathete, du konstruierst also ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 4 cm und einer Kathete 3 cm.
Merke: Irrationale Streckenlängen lassen sich nicht abmessen, aber exakt konstruieren. Schreibe die Zahl unter der Wurzel als Summe zweier Quadratzahlen \( n = a^2 + b^2 \) und konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \( a \) und \( b \) – seine Hypotenuse hat die Länge \( \sqrt{n} \). Zu jeder Konstruktion gehören eine Planfigur, eine nummerierte Konstruktionsbeschreibung und eine kurze Begründung.
12. Das Wichtigste in Kürze
- Nur im rechtwinkligen Dreieck gilt \( a^2 + b^2 = c^2 \), wobei \( c \) die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist. Hypotenuse gesucht → addieren; Kathete gesucht → großes Quadrat minus kleines Quadrat.
- Die Umkehrung ist der Rechtwinkligkeitsnachweis: Stimmt \( a^2 + b^2 \) mit dem Quadrat der längsten Seite überein, ist das Dreieck rechtwinklig – sonst nicht.
- Im Koordinatensystem ist jede Strecke die Hypotenuse ihres Steigungsdreiecks: \( \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \). Nach derselben Formel berechnest du den Betrag eines Vektors (Mathematik I).
- Ist eine Strecke variabel, liefert Pythagoras einen Funktionsterm \( \ell(x) = \sqrt{\text{quadratischer Term}} \) – mit Definitionsbereich. Für Extremwerte bringst du den Term unter der Wurzel auf die Scheitelform.
- In zusammengesetzten Figuren zuerst das rechtwinklige Teildreieck einzeichnen (Höhe, Flächendiagonale). Beim Quader gilt \( d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \).
- Zeichnest du die Höhe auf die Hypotenuse ein, gelten zwei weitere Flächensätze: der Kathetensatz \( a^2 = c \cdot p \), \( b^2 = c \cdot q \) und der Höhensatz \( h_c^{\,2} = p \cdot q \). Dabei ist \( p \) der Abschnitt bei \( a \), \( q \) der bei \( b \), und \( p + q = c \).
- Pythagoras liefert Seiten, Sinus, Kosinus und Tangens liefern die Winkel – und umgekehrt aus einem Winkel wieder Seiten. In Prüfungsaufgaben greifen beide ineinander: erst die fehlende Seite, dann der Winkel.
- Jede Länge ist eine positive reelle Zahl. Kontrolliere jedes Ergebnis: Die Hypotenuse ist die längste Seite, die Höhe auf die Hypotenuse ist kürzer als jede Kathete, und ein zweiter Rechenweg (etwa der Flächeninhalt über die Katheten und über Hypotenuse mit Höhe) deckt Fehler zuverlässig auf.
13. So fragt die Abschlussprüfung
In den Original-Abschlussprüfungen der letzten Jahre taucht der Satz des Pythagoras fast nie isoliert auf, sondern eingebettet in eine Sachaufgabe oder als Teilschritt einer größeren Konstruktions- bzw. Körperberechnung. Drei typische Aufgabenformen aus dem Holzwerk-Kontext, gelöst wie in der Prüfung erwartet:
Aufgabe 1 – Standardrechnung: Hypotenuse gesucht. Lena soll prüfen, ob eine rechteckige Tischplatte mit den Seiten 1,20 m und 1,60 m diagonal noch durch eine 2,10 m breite Werkstatt-Tür passt. Wie lang ist die Diagonale?
| Ansatz | \( d^2 = 1{,}20^2 + 1{,}60^2 \) |
| rechnen | \( d^2 = 1{,}44 + 2{,}56 = 4{,}00\ \text{m}^2 \) |
| Wurzel ziehen | \( d = \sqrt{4{,}00\ \text{m}^2} = 2{,}00\ \text{m} \) |
Gegenprobe: \( 1{,}20^2 + 1{,}60^2 = 1{,}44 + 2{,}56 = 4{,}00 = 2{,}00^2 \) ✓. Antwort: Die Diagonale ist 2,00 m lang – die Tischplatte passt nicht ungekippt durch die 2,10 m breite Tür, wohl aber schräg gehalten.
Aufgabe 2 – Umkehrung: Rechtwinkligkeit nachweisen. Jonas hat ein Regalbrett mit den Kantenlängen 5 dm, 12 dm und 13 dm zugeschnitten. Ist die Ecke zwischen der 5-dm- und der 12-dm-Kante wirklich rechtwinklig?
| längste Seite als \( c \) ansetzen | \( c = 13\ \text{dm} \) |
| linke Seite | \( a^2+b^2 = 5^2+12^2 = 25+144 = 169 \) |
| rechte Seite | \( c^2 = 13^2 = 169 \) |
| Vergleich | \( 169 = 169 \) ✓ |
Antwort: Da \( a^2+b^2=c^2 \) stimmt, ist die Ecke zwischen den Kanten 5 dm und 12 dm tatsächlich rechtwinklig. Würde nur eine Seitenlänge um wenige Millimeter abweichen, wäre die Gleichung verletzt – genau darauf prüft die Umkehrung.
Aufgabe 3 – Körper: Raumdiagonale. Merve verpackt ein Werkstück in einem Karton mit den Innenmaßen 3 dm × 4 dm × 12 dm. Passt eine 13 dm lange Leiste schräg hinein?
| Formel für den Quader | \( d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \) |
| einsetzen | \( d = \sqrt{3^2+4^2+12^2} = \sqrt{9+16+144} \) |
| Wurzel ziehen | \( d = \sqrt{169}\ \text{dm} = 13\ \text{dm} \) |
Gegenprobe: \( 9+16+144=169=13^2 \) ✓. Antwort: Die Raumdiagonale misst genau 13 dm – die Leiste passt nur exakt in der Diagonalen, mit null Spielraum. In der Prüfung ist das ein bewusst gewählter Grenzfall: Miss nach, ob überhaupt noch Platz für die Dicke der Leiste bleibt.
14. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Kathete und Hypotenuse vertauscht. Ursache: Die längste Seite wird nicht erkannt, weil das Dreieck gedreht oder gekippt gezeichnet ist. Vermeidung: Suche immer zuerst den rechten Winkel – die Seite gegenüber ist \( c \), egal wie das Dreieck in der Skizze liegt.
- Bei gesuchter Kathete addiert statt subtrahiert. Ursache: Die Formel wird auswendig als „\( a^2+b^2=c^2 \)“ abgerufen, ohne nach der gesuchten Größe umzustellen. Vermeidung: Schreibe erst die Grundformel hin, dann explizit umstellen: \( a^2 = c^2 – b^2 \). Ein Minus vor dem Quadrat der Hypotenuse darf nie fehlen.
- Bei der Umkehrung die falsche Seite als \( c \) gesetzt. Ursache: Es wird nicht geprüft, welche der drei Seiten die längste ist. Vermeidung: Vor dem Einsetzen immer sortieren – die längste gemessene oder angegebene Seite ist die Kandidatin für \( c \).
- Ergebnis als Quadrat stehen gelassen. Ursache: Nach \( c^2 = \ldots \) wird die Wurzel vergessen und ein falscher (zu großer) Wert als Länge angegeben. Vermeidung: Kontrolliere die Einheit – \( \text{cm}^2 \) kann keine Länge sein, ein letzter Rechenschritt (Wurzel) fehlt dann noch.
- Maßeinheiten nicht vereinheitlicht. Ursache: Eine Seite steht in Metern, die andere in Zentimetern, und wird ungerechnet quadriert. Vermeidung: Vor dem Einsetzen alle Seiten auf dieselbe Einheit bringen – erst dann quadrieren.
- Definitionsbereich bei variablen Strecken vergessen. Ursache: Der Funktionsterm wird aufgestellt, aber es wird nicht angegeben, für welche \( x \)-Werte die Figur überhaupt existiert. Vermeidung: Frage dich immer, welche Randwerte die Figur zum Entarten bringen (Länge 0 oder negative Strecke) – diese Werte gehören nicht zum Definitionsbereich.
Lernbereich: Jgst. 9, LB 3 „Rechtwinklige Dreiecke“ (LehrplanPLUS Realschule Bayern – Mathematik I: ISB 64372 · Mathematik II/III: ISB 66115).
Weiterlernen
- Reelle Zahlen und Quadratwurzeln – die Zahlenmenge IR und das Rechnen mit Wurzeln, ohne das hier nichts geht.
- Flächen von Vielecken – Trapez, Raute und Drachen, in denen die rechtwinkligen Teildreiecke stecken.
- Prismen und Zylinder – wo die Raumdiagonale und die Flächendiagonale gebraucht werden.
- Trigonometrie in Klasse 10 – der nächste Schritt: Sinus- und Kosinussatz für Dreiecke ohne rechten Winkel.
Sinus, Kosinus und Tangens kombiniert mit dem Satz des Pythagoras findest du auf dieser Seite in Kapitel 10 – das ist regulärer Bestandteil des Lernbereichs. Die Fortsetzung für Dreiecke ohne rechten Winkel (Sinus- und Kosinussatz) steht auf der Seite Trigonometrie.
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