Mathematik Realschule Bayern · Klasse 6 · Lernbereich 4 „Raumgeometrie“ (LehrplanPLUS) · BY
Volumen von Quader und Würfel: vom Zählen der Würfelchen zur Formel
Im Holzwerk Brandl in Rosenheim werden ständig Kisten gepackt, Schubladen gebaut und Regalfächer eingeplant. Immer wieder taucht dabei dieselbe Frage auf: Wie viel passt hinein? Die Antwort ist der Rauminhalt – auch Volumen genannt. Auf dieser Seite lernst du, was Volumen bedeutet, wie du es für Quader und Würfel berechnest und wie du zwischen den Volumeneinheiten umrechnest.
Wozu brauchst du das?
Überall dort, wo du wissen willst, wie viel in einen Körper hineinpasst: wie viele Umzugskartons in einen Transporter passen · wie viel Wasser ein Aquarium fasst · wie viel Erde für ein Hochbeet gebraucht wird · wie viel Holz für einen Kaminvorrat gestapelt werden muss · wie groß ein Verpackungskarton mindestens sein muss, damit ein bestimmter Gegenstand hineinpasst. Auch der Zusammenhang zu Litern begegnet dir ständig, etwa beim Ablesen von Kanister- oder Tankgrößen.
Inhalt dieser Seite
- Rauminhalt als Anzahl von Würfelchen
- Die Volumenformel für Quader und Würfel
- Volumeneinheiten umrechnen – und der Zusammenhang zum Liter
- Sachaufgaben aus dem Holzwerk
- Das Wichtigste in Kürze
1. Rauminhalt als Anzahl von Würfelchen
Genauso wie du eine Fläche ausmessen kannst, indem du zählst, wie viele Quadrate mit der Seitenlänge 1 cm hineinpassen, kannst du einen Körper ausmessen, indem du zählst, wie viele Würfel mit der Kantenlänge 1 cm hineinpassen. Jeder dieser Einheitswürfel hat den Rauminhalt 1 Kubikzentimeter, geschrieben \( 1\ \text{cm}^3 \). Der Rauminhalt (das Volumen) eines Körpers ist dann einfach die Anzahl dieser Würfelchen.
Tobias stapelt im Lager kleine Würfelklötze zu einem Quader: 3 Klötze in einer Reihe, 2 Reihen nebeneinander, und das Ganze 2 Schichten hoch.
Jedes kleine Würfelchen hat die Kantenlänge 1 cm und damit den Rauminhalt 1 cm³. Der ganze Quader besteht aus 12 solchen Würfelchen.
Du kannst die Würfelchen schichtweise zählen: Eine Schicht (der Boden) besteht aus \( 3 \cdot 2 = 6 \) Würfelchen. Da der Quader 2 Schichten hoch ist, kommen insgesamt \( 6 \cdot 2 = 12 \) Würfelchen zusammen. Das Volumen des Quaders beträgt also \( V = 12\ \text{cm}^3 \). Genau dieses schichtweise Zählen steckt hinter der Formel, die du im nächsten Kapitel kennenlernst.
Merke: Das Volumen (der Rauminhalt) eines Körpers gibt an, aus wie vielen Einheitswürfeln er besteht. Ein Würfel mit der Kantenlänge 1 cm hat das Volumen \( 1\ \text{cm}^3 \) („ein Kubikzentimeter“).
2. Die Volumenformel für Quader und Würfel
Beim Zählen im letzten Kapitel hast du gerechnet: (Würfelchen in der Länge) mal (Würfelchen in der Breite) mal (Würfelchen in der Höhe). Das gilt für jeden Quader, egal wie groß die Kanten sind – du musst dann nicht mehr zählen, sondern kannst direkt die drei Kantenlängen multiplizieren.
Die farbig hervorgehobene Ecke zeigt einen einzigen Einheitswürfel – der ganze Quader besteht aus lauter solchen Würfelchen, angeordnet in \( a \) mal \( b \) mal \( c \) Stück.
Dabei sind \( a \), \( b \) und \( c \) die drei Kantenlängen des Quaders: Länge, Breite und Höhe.
Beispiel 1 – ein Regalfach im Holzwerk
Ein Regalfach ist 80 cm lang, 40 cm breit und 30 cm hoch. Wie groß ist sein Rauminhalt?
| Gegeben | \( a = 80\ \text{cm} \), \( b = 40\ \text{cm} \), \( c = 30\ \text{cm} \) |
| Formel | \( V = a \cdot b \cdot c \) |
| einsetzen | \( V = 80\ \text{cm} \cdot 40\ \text{cm} \cdot 30\ \text{cm} \) |
| Ergebnis | \( V = 96\,000\ \text{cm}^3 \) |
Probe (rückwärts): \( 96\,000 : 30 = 3\,200 \), und \( 3\,200 : 40 = 80 \) ✓. Das Regalfach fasst 96 000 cm³.
Beispiel 2 – ein würfelförmiger Aufbewahrungskasten
Beim Würfel sind alle drei Kanten gleich lang, also \( a = b = c \). Die Formel vereinfacht sich zu \( V_{\text{Würfel}} = a \cdot a \cdot a = a^3 \). Ein Aufbewahrungskasten hat die Kantenlänge \( a = 25\ \text{cm} \).
| Formel | \( V = a^3 = a \cdot a \cdot a \) |
| einsetzen | \( V = 25\ \text{cm} \cdot 25\ \text{cm} \cdot 25\ \text{cm} \) |
| Ergebnis | \( V = 15\,625\ \text{cm}^3 \) |
Probe: \( 25 \cdot 25 = 625 \), und \( 625 \cdot 25 = 15\,625 \) ✓.
Merke: Volumen des Quaders: \( V = a \cdot b \cdot c \) (Länge mal Breite mal Höhe). Volumen des Würfels: \( V = a^3 \), weil beim Würfel alle Kanten gleich lang sind. Achte immer darauf, dass alle drei Längen in derselben Einheit stehen, bevor du multiplizierst.
3. Volumeneinheiten umrechnen – und der Zusammenhang zum Liter
Bei Längen rechnest du mit dem Faktor 10 um (1 cm = 10 mm). Bei Flächen ist der Faktor 100, weil zwei Richtungen betroffen sind (\( 10 \cdot 10 \)). Bei Rauminhalten sind drei Richtungen betroffen, deshalb ist der Umrechnungsfaktor \( 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000 \).
Jeder Schritt nach rechts bedeutet: mit 1000 multiplizieren. Jeder Schritt nach links bedeutet: durch 1000 dividieren.
| Millimeter → Zentimeter | \( 1\ \text{cm}^3 = 1\,000\ \text{mm}^3 \) |
| Zentimeter → Dezimeter | \( 1\ \text{dm}^3 = 1\,000\ \text{cm}^3 \) |
| Dezimeter → Meter | \( 1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{dm}^3 \) |
| Hohlmaß | \( 1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{Liter} \) |
Der letzte Zusammenhang ist besonders praktisch: Ein Würfel mit 1 dm (10 cm) Kantenlänge fasst genau 1 Liter. Deshalb kannst du Rauminhalte in Kubikdezimetern direkt als Liter lesen.
Beispiel – ein Transportkarton
Ein Transportkarton im Holzwerk ist 50 cm lang, 40 cm breit und 30 cm hoch. Wie viel Liter Rauminhalt bietet er?
| Volumen berechnen | \( V = 50\ \text{cm} \cdot 40\ \text{cm} \cdot 30\ \text{cm} = 60\,000\ \text{cm}^3 \) |
| umrechnen (\( :1\,000 \)) | \( 60\,000\ \text{cm}^3 = 60\ \text{dm}^3 \) |
| in Liter | \( 60\ \text{dm}^3 = 60\ \text{Liter} \) |
Antwort: Der Transportkarton bietet 60 Liter Rauminhalt. Ein großer Lagerbehälter mit \( 2{,}5\ \text{m}^3 \) fasst entsprechend \( 2{,}5 \cdot 1\,000 = 2\,500\ \text{dm}^3 = 2\,500 \) Liter.
Merke: Beim Umrechnen von Volumeneinheiten wird mit 1000 multipliziert bzw. dividiert (nicht mit 10 oder 100 wie bei Längen und Flächen!): \( 1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{dm}^3 = 1\,000\,000\ \text{cm}^3 \). Außerdem gilt \( 1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{Liter} \).
4. Sachaufgaben aus dem Holzwerk
Viele Körper aus dem Alltag sind keine einfachen Quader, sondern setzen sich aus mehreren Quadern zusammen. Der Trick: Du zerlegst den Körper gedanklich in Quader, berechnest jedes Teilvolumen einzeln und addierst am Ende.
Beispiel 1 – ein zusammengesetztes Präsentationsregal
Ein Präsentationsregal besteht aus einem quaderförmigen Sockel (120 cm lang, 40 cm breit, 25 cm hoch) und einem quaderförmigen Vitrinenaufsatz (80 cm lang, 40 cm breit, 60 cm hoch). Wie groß ist der gesamte Rauminhalt des Regals?
| Sockel | \( V_1 = 120\ \text{cm} \cdot 40\ \text{cm} \cdot 25\ \text{cm} = 120\,000\ \text{cm}^3 \) |
| Vitrinenaufsatz | \( V_2 = 80\ \text{cm} \cdot 40\ \text{cm} \cdot 60\ \text{cm} = 192\,000\ \text{cm}^3 \) |
| addieren | \( V = V_1 + V_2 = 120\,000\ \text{cm}^3 + 192\,000\ \text{cm}^3 = 312\,000\ \text{cm}^3 \) |
| in dm³ | \( V = 312\ \text{dm}^3 \) |
Probe: \( 120\,000 + 192\,000 = 312\,000 \) ✓ · \( 312\,000 : 1\,000 = 312 \) ✓. Antwort: Das Regal hat einen Rauminhalt von 312 dm³.
Beispiel 2 – wie viele Schachteln passen in den Karton?
In den Transportkarton aus Kapitel 3 (60 cm × 40 cm × 30 cm) sollen würfelförmige Verpackungsschachteln mit der Kantenlänge 10 cm passgenau eingeschlichtet werden. Wie viele Schachteln passen hinein?
| Rauminhalt Karton | \( V_{\text{Karton}} = 60\ \text{cm} \cdot 40\ \text{cm} \cdot 30\ \text{cm} = 72\,000\ \text{cm}^3 \) |
| Rauminhalt Schachtel | \( V_{\text{Schachtel}} = 10\ \text{cm} \cdot 10\ \text{cm} \cdot 10\ \text{cm} = 1\,000\ \text{cm}^3 \) |
| Anzahl | \( 72\,000\ \text{cm}^3 : 1\,000\ \text{cm}^3 = 72 \) |
| Ergebnis | 72 Schachteln |
Probe (Anordnung prüfen): In der Länge passen \( 60 : 10 = 6 \) Schachteln, in der Breite \( 40 : 10 = 4 \) und in der Höhe \( 30 : 10 = 3 \). Zusammen: \( 6 \cdot 4 \cdot 3 = 72 \) ✓. Beide Rechenwege liefern dasselbe Ergebnis. Antwort: Es passen 72 Schachteln passgenau in den Karton.
Merke: Bei zusammengesetzten Körpern zerlegst du in einzelne Quader, berechnest jedes Teilvolumen und addierst. Bei Packaufgaben kannst du entweder die Volumen dividieren oder die Anzahl der Schachteln je Kante multiplizieren – beide Wege müssen zum gleichen Ergebnis führen.
5. Das Wichtigste in Kürze
| Volumen | Anzahl der Einheitswürfel, aus denen ein Körper besteht |
| Quader | \( V = a \cdot b \cdot c \) |
| Würfel | \( V = a^3 \) |
| Einheiten umrechnen | jeweils \( \cdot\,1\,000 \) bzw. \( :\,1\,000 \) |
| Hohlmaß | \( 1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{Liter} \) |
6. So fragt die Abschlussprüfung
Volumen von Quader und Würfel ist Grundwissen – es taucht in späteren Jahrgangsstufen und in der Abschlussprüfung immer wieder als Teilschritt größerer Aufgaben auf: als Rauminhalt eines Behälters, als Materialbedarf oder als Umrechnung in Liter. Drei typische Aufgabenformen aus dem Holzwerk Brandl, gelöst so, wie es in der Prüfung erwartet wird – mit Ansatz, Rechnung und Antwortsatz.
Aufgabe 1 – Rauminhalt in Liter und Füllhöhe. In der Werkstatt steht eine quaderförmige Leimwanne mit den Innenmaßen 50 cm × 30 cm × 20 cm. a) Wie viele Liter fasst sie randvoll? b) Lena füllt 18 Liter Leim ein. Wie hoch steht der Leim dann?
| a) Ansatz | \( V = a \cdot b \cdot c \) |
| einsetzen | \( V = 50\ \text{cm} \cdot 30\ \text{cm} \cdot 20\ \text{cm} = 30\,000\ \text{cm}^3 \) |
| in Liter umrechnen | \( V = 30\ \text{dm}^3 = 30\ \text{Liter} \) |
| b) Grundfläche | \( A = 50\ \text{cm} \cdot 30\ \text{cm} = 1\,500\ \text{cm}^2 \) |
| Füllmenge in cm³ | \( 18\ \text{Liter} = 18\ \text{dm}^3 = 18\,000\ \text{cm}^3 \) |
| Höhe berechnen | \( h = 18\,000\ \text{cm}^3 : 1\,500\ \text{cm}^2 = 12\ \text{cm} \) |
Gegenprobe: Rückwärts gerechnet ergibt \( 50 \cdot 30 \cdot 12 = 18\,000 \), also 18 dm³ ✓. Zweite Kontrolle über die Größenordnung: 18 von 30 Liter sind etwas mehr als die Hälfte – 12 cm von 20 cm Höhe passt dazu ✓. Antwort: Die Wanne fasst 30 Liter; bei 18 Liter Füllmenge steht der Leim 12 cm hoch.
Aufgabe 2 – Volumen und Masse einer Tischplatte. Für einen Massivholztisch wird eine Platte von 200 cm Länge, 90 cm Breite und 4 cm Dicke verleimt. Ein Kubikdezimeter des verwendeten Holzes hat eine Masse von 0,75 kg. a) Wie groß ist das Volumen in dm³? b) Wie schwer ist die Platte? c) Jonas und Tobias dürfen zu zweit höchstens 50 kg tragen. Reicht das?
| a) Ansatz | \( V = 200\ \text{cm} \cdot 90\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} \) |
| Zwischenschritt | \( 200 \cdot 90 = 18\,000 \), dann \( 18\,000 \cdot 4 = 72\,000 \) |
| Volumen | \( V = 72\,000\ \text{cm}^3 = 72\ \text{dm}^3 \) |
| b) Masse | \( m = 72 \cdot 0{,}75\ \text{kg} = 54\ \text{kg} \) |
Gegenprobe: \( 72 \cdot 0{,}75 = 72 \cdot \tfrac{3}{4} = 54 \) ✓ – und \( 54 : 0{,}75 = 72 \) ✓. Kontrolle der Umrechnung: \( 72\,000 : 1\,000 = 72 \), denn \( 1\ \text{dm}^3 = 1\,000\ \text{cm}^3 \) ✓. Antwort: Die Platte hat 72 dm³ Volumen und eine Masse von 54 kg. c) 54 kg > 50 kg – die beiden dürfen die Platte nicht allein tragen, es muss eine dritte Person oder ein Hubwagen dazu.
Aufgabe 3 – rückwärts: die Kantenlänge ist gesucht. Merve soll eine würfelförmige Versandkiste planen, die genau 64 dm³ Rauminhalt hat. Wie lang muss eine Kante sein – in dm und in cm?
| Ansatz (Würfel) | \( V = a^3 \), also \( a^3 = 64\ \text{dm}^3 \) |
| Zahl suchen, die dreimal mit sich selbst multipliziert 64 ergibt | \( 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \), \( 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \) ✓ |
| Kantenlänge | \( a = 4\ \text{dm} = 40\ \text{cm} \) |
Gegenprobe: \( 4\ \text{dm} \cdot 4\ \text{dm} \cdot 4\ \text{dm} = 64\ \text{dm}^3 \) ✓. Und in Zentimetern gerechnet: \( 40 \cdot 40 \cdot 40 = 64\,000\ \text{cm}^3 = 64\ \text{dm}^3 \) ✓ – beide Einheiten liefern dasselbe. Antwort: Die Kiste muss eine Kantenlänge von 4 dm, also 40 cm, haben. Sie fasst damit genau 64 Liter.
7. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Volumen und Oberflächeninhalt verwechselt. Ursache: Beide Aufgaben beginnen mit denselben drei Kantenlängen, deshalb wird oft die falsche Formel gegriffen. Vermeidung: Frage dich, ob etwas hineinpasst (Volumen, Einheit cm³) oder ob etwas bestrichen, beklebt oder furniert wird (Oberfläche, Einheit cm²) – die Einheit im Ergebnis verrät dir, ob du richtig lagst.
- Mit dem Umrechnungsfaktor 100 statt 1000 gerechnet. Ursache: Der Faktor 100 aus den Flächeneinheiten wird auf Volumen übertragen. Vermeidung: Bei Volumen wird jede der drei Kanten umgerechnet, also \( 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000 \). Merksatz: Länge 10, Fläche 100, Volumen 1000.
- Einheiten nicht vor dem Multiplizieren angeglichen. Ursache: In der Aufgabe stehen die Maße gemischt, etwa 1,20 m × 40 cm × 25 cm, und werden ungerechnet eingesetzt. Vermeidung: Zuerst alle drei Kanten in dieselbe Einheit bringen (hier 120 cm × 40 cm × 25 cm), dann multiplizieren.
- Liter mit dem falschen Würfelmaß gleichgesetzt. Ursache: Es wird „1 Liter = 1 cm³“ oder „1 Liter = 1 m³“ erinnert. Vermeidung: Lerne das Paar sicher: \( 1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{Liter} \) und \( 1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{Milliliter} \). Eine Getränkepackung mit 1 Liter ist etwa 10 cm × 10 cm × 10 cm groß – diese Vorstellung hält.
- Bei der Kantenlänge des Würfels durch 3 geteilt. Ursache: \( a^3 \) wird als „\( a \cdot 3 \)“ gelesen, also wird aus \( a^3 = 64 \) fälschlich \( a = 64 : 3 \). Vermeidung: \( a^3 \) heißt \( a \cdot a \cdot a \). Suche die Zahl durch Probieren (\( 3^3=27 \), \( 4^3=64 \)) und prüfe sie durch Zurückrechnen.
- Bei zusammengesetzten Körpern Teile doppelt gezählt oder vergessen. Ursache: Die Zerlegung wird nur im Kopf gemacht, ohne Skizze. Vermeidung: Zeichne den Körper, trenne ihn mit einer Linie in Quader, nummeriere sie (\( V_1 \), \( V_2 \)) und rechne jeden einzeln. Bei ausgesparten Hohlräumen wird subtrahiert, nicht addiert.
- Einheit im Ergebnis ohne Exponent. Ursache: Am Ende wird „312 dm“ statt „312 dm³“ geschrieben. Vermeidung: Jedes Volumenergebnis trägt eine hoch 3. Das ist in der Prüfung ein eigener Punkt – und der billigste, den du verschenken kannst.
Weiterlernen
Sobald du sicher mit dem Volumen von Quader und Würfel rechnest, lohnt sich ein Blick auf den Oberfächeninhalt von Quader und Würfel (Netz und Flächenberechnung), der als eigenes Thema im Lernbereich „Flächeninhalt ebener Figuren“ behandelt wird. Wer die Formeln für Quader und Würfel verstanden hat, ist außerdem bestens vorbereitet auf die späteren Volumenformeln für Prisma, Zylinder, Pyramide und Kegel in Klasse 9.
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