Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Stochastik (Nichttechnik) · BY

Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Wie oft fällt bei 10 Würfen eine 6? Und wie oft „müsste“ sie eigentlich fallen? Die erste Frage beantwortet die Häufigkeit (das tatsächliche Ergebnis eines Versuchs), die zweite die Wahrscheinlichkeit (der theoretisch erwartete Wert). Diese Seite klärt den Unterschied, zeigt den Zusammenhang über das Gesetz der großen Zahlen und führt die Laplace-Regel („günstig durch möglich“) ein – das wichtigste Werkzeug zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten.

1. Absolute und relative Häufigkeit

Führt man ein Zufallsexperiment \( n \)-mal durch, unterscheidet man zwei Arten von Häufigkeit:

💡 Absolute und relative Häufigkeit

  • Die absolute Häufigkeit \( H(E) \) ist die Anzahl, wie oft das Ereignis \( E \) eintritt (immer \( H(E)\leq n \)).
  • Die relative Häufigkeit \( h(E) \) setzt das ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Versuche:
\[ h(E)=\frac{H(E)}{n}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Durchführungen}} \]

Relative Häufigkeiten gibt man oft in Prozent an.

✎ Ein Würfel wird \( n=10 \)-mal geworfen. Dabei fallen zwei Sechsen.

Für das Ereignis \( E=\{6\} \) ist die absolute Häufigkeit \( H(E)=2 \). Die relative Häufigkeit:

\[h(E)=\frac{H(E)}{n}=\frac{2}{10}=0{,}2=20\,\%\]

In 20 % der Würfe fiel also eine 6.

2. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff

Jedem Ereignis \( E \) ordnet man eine Wahrscheinlichkeit \( P(E) \) zu – ein Maß dafür, wie wahrscheinlich sein Eintreten ist.

💡 Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten

  • Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1: \( 0\leq P(E)\leq 1 \).
  • Das sichere Ereignis hat \( P(\Omega)=1 \), das unmögliche Ereignis hat \( P(\{\})=0 \).
  • Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse ist immer 1.

3. Das Gesetz der großen Zahlen

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark. Führt man das Experiment aber sehr oft durch, nähert sich die relative Häufigkeit immer mehr einem festen Wert an – der Wahrscheinlichkeit. Das ist das Gesetz der großen Zahlen.

1/6 ≈ 0,16700,10,20,30,4150100150200Anzahl Würfe nh(6)

Relative Häufigkeit einer 6 über die Anzahl der Würfe: Anfangs schwankt sie stark, mit wachsendem n stabilisiert sie sich bei 1/6 ≈ 0,167 (Gesetz der großen Zahlen).

💡 Empirische Wahrscheinlichkeit

Für große \( n \) entspricht die relative Häufigkeit näherungsweise der Wahrscheinlichkeit: \( P(E)\approx h(E) \). Je größer die Anzahl der Durchführungen, desto genauer. Diese aus Versuchen geschätzte Wahrscheinlichkeit heißt empirische Wahrscheinlichkeit.

4. Die Laplace-Regel: günstig durch möglich

Bei manchen Experimenten sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich – z. B. beim Münzwurf oder beim Würfeln mit einem fairen Würfel. Solche Experimente heißen Laplace-Experimente. Hier kann man die Wahrscheinlichkeit direkt berechnen, ohne zu experimentieren.

💡 Die Laplace-Regel

\[ P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}=\frac{\text{Anzahl der für } E \text{ günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} \]

Merkhilfe: „günstig durch möglich“. Voraussetzung: alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.

5. Wahrscheinlichkeiten berechnen

✎ Wie wahrscheinlich ist beim Würfelwurf eine gerade Zahl?

Der Ergebnisraum ist \( \Omega=\{1;2;3;4;5;6\} \), also \( |\Omega|=6 \). Das Ereignis \( E=\{2;4;6\} \) hat \( |E|=3 \) günstige Ergebnisse:

\[P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\,\%\]

✎ Aus einer Urne mit Kugeln von 1 bis 10 wird eine gezogen. Wie wahrscheinlich ist eine Primzahl?

\( \Omega=\{1;2;\dots;10\} \), also \( |\Omega|=10 \). Die Primzahlen bis 10 sind \( E=\{2;3;5;7\} \), also \( |E|=4 \):

\[P(E)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=40\,\%\]

✎ Gegenereignis nutzen: Wie wahrscheinlich ist beim Würfel keine 6?

Statt \( \{1;2;3;4;5\} \) zu zählen, nutzt man das Gegenereignis \( \overline{E} \) zu „6“:

\[P(\text{keine 6})=1-P(6)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\]

6. Typische Fehler

✗ Falsch

Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit gleichgesetzt.

✓ Richtig

Die Häufigkeit ist das Ergebnis eines konkreten Versuchs, die Wahrscheinlichkeit der theoretische Erwartungswert. Erst bei großem \( n \) nähern sie sich an.

✗ Falsch

Laplace-Regel bei nicht gleich wahrscheinlichen Ergebnissen angewandt.

✓ Richtig

„Günstig durch möglich“ gilt nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (fairer Würfel, faire Münze). Sonst nicht.

✗ Falsch

Eine Wahrscheinlichkeit größer als 1 herausbekommen.

✓ Richtig

Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen 0 und 1. Ein Wert über 1 ist ein sicheres Zeichen für einen Rechenfehler.

7. Üben

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