Mathematik Wirtschaftsschule Bayern · Klasse 9 · Lernbereich „Funktionaler Zusammenhang“ (LehrplanPLUS) · BY
Quadratische Funktionen: Parabeln verstehen und zeichnen
In Klasse 9 lernen Sie die Parabel kennen: Sie erstellen eine Wertetabelle, zeichnen den Graphen, bestimmen den Scheitelpunkt und die Nullstellen. Das ist die Grundlage für die anspruchsvollen Anwendungsaufgaben der Abschlussprüfung in Klasse 10.
- Die Normalparabel
- Parabel verschieben (Scheitelform)
- Wertetabelle und zeichnen
- Scheitelpunkt berechnen
- Nullstellen berechnen
- So wird es gebraucht
- Typische Fehler
1. Die Normalparabel
Die einfachste quadratische Funktion ist \( f(x) = x^2 \). Ihr Graph heißt Normalparabel. Sie ist symmetrisch zur y-Achse und hat ihren tiefsten Punkt, den Scheitel, im Ursprung.
2. Parabel verschieben – die Scheitelform
Verschiebt man die Normalparabel, kann man den Scheitel direkt aus der Scheitelform ablesen:
\( f(x) = a\cdot(x – x_S)^2 + y_S \)
Dabei ist \( S(x_S \mid y_S) \) der Scheitel. Achtung: In der Klammer steht \( x_S \) mit umgekehrtem Vorzeichen.
3. Wertetabelle erstellen und zeichnen
Um eine Parabel zu zeichnen, berechnen Sie zuerst einige Funktionswerte. Beispiel \( f(x)=x^2-2x-3 \):
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 |
Diese Punkte tragen Sie ins Koordinatensystem ein und verbinden sie zu einer glatten Kurve.
4. Scheitelpunkt berechnen
Liegt die Funktion in der Normalform \( f(x)=ax^2+bx+c \) vor, berechnen Sie den Scheitel so:
\( x_S = -\dfrac{b}{2a} \qquad y_S = f(x_S) \)
Musterbeispiel
\( f(x)=x^2-2x-3 \), also \( a=1,\; b=-2,\; c=-3 \).
\( x_S = -\dfrac{-2}{2\cdot 1} = 1 \)
\( y_S = f(1) = 1 – 2 – 3 = -4 \)
\( S(1 \mid -4) \)
Gegenprobe: Die Wertetabelle zeigt bei x=1 den tiefsten Wert −4 ✓
5. Nullstellen berechnen
Die Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse. Man setzt \( f(x)=0 \) und löst mit der Lösungsformel:
\( x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)
Musterbeispiel
\( f(x)=x^2-2x-3 \): \( a=1,\; b=-2,\; c=-3 \).
\( D = (-2)^2 – 4\cdot 1\cdot(-3) = 4 + 12 = 16 \)
\( x_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \)
\( x_1 = 3,\quad x_2 = -1 \)
6. So wird es gebraucht
Parabeln beschreiben viele Vorgänge: die Flugbahn eines Balls, die Form eines Brückenbogens oder den Verlauf von Kosten und Erlösen. In Klasse 10 lösen Sie damit vollständige Anwendungsaufgaben der Abschlussprüfung – deshalb ist sicheres Zeichnen und Rechnen jetzt so wichtig.
7. Typische Fehler
✗ Falsch:
Beim Verschieben das Vorzeichen in der Klammer falsch: \( (x-1)^2 \) mit Scheitel bei −1.
✓ Richtig:
Scheitel bei \( +1 \): das Vorzeichen in der Klammer wird umgekehrt.
Tipp: \( (x-x_S) \): steht \( -1 \), ist der Scheitel bei \( +1 \).
✗ Falsch:
Wertetabelle mit zu wenigen oder unsymmetrischen Punkten – die Parabel wird schief.
✓ Richtig:
Punkte symmetrisch um den Scheitel wählen (z. B. Scheitel ±1, ±2).
Tipp: Erst Scheitel berechnen, dann links und rechts gleich viele Punkte.
Weiterlernen
- Quadratische Funktionen (Klasse 10) – Anwendungsaufgaben auf Prüfungsniveau.
- Lineare Funktionen (Klasse 8) – die Grundlage.
✐ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Üben Sie das Zeichnen, den Scheitelpunkt und die Nullstellen von Parabeln – mit Schaubild und Schritt-für-Schritt-Lösung, passend zur Wirtschaftsschule Klasse 9.