Ablehnungsbereich

Der Ablehnungsbereich ist der Bereich von Ergebnissen, bei denen die Nullhypothese verworfen wird.
Liegt der beobachtete Wert (z. B. die Trefferanzahl k) im Ablehnungsbereich, ist dieses Ergebnis unter H₀
so unwahrscheinlich, dass man H₀ verwirft. Ob der Bereich links oder rechts liegt, hängt von der Gegenhypothese ab.

Alpha (α) – Signifikanzniveau

Das Signifikanzniveau \( \alpha \) legt fest, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art
(α-Fehler) maximal sein darf (typisch 5% oder 1%). Je kleiner \( \alpha \), desto „strenger“ der Test:
Der Ablehnungsbereich wird kleiner.

Ableitung

Die Ableitung einer Funktion beschreibt die momentane Änderungsrate bzw. die Steigung der Tangente.
Schreibweise: \( f'(x) \). Nullstellen der Ableitung sind oft Kandidaten für Extremstellen.

Bernoulli-Kette

Eine Bernoulli-Kette ist eine Folge unabhängiger Versuche mit genau zwei Ausgängen (Treffer/Niete).
Mit der Bernoulli-Formel berechnet man z. B. die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer:

\[
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
\]

Kumulierte Wahrscheinlichkeit

Eine kumulierte Wahrscheinlichkeit fasst mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen, z. B.
„höchstens k“ oder „mindestens k“. Häufig ist das Gegenereignis schneller:
\( P(X\ge k)=1-P(X\le k-1) \).

Definitionsmenge

Die Definitionsmenge ist die Menge aller \(x\)-Werte, für die eine Funktion überhaupt definiert ist.
Beispiel: Für \( \ln(x) \) gilt \( x>0 \). Für gebrochen-rationale Funktionen darf der Nenner nicht 0 sein.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist der langfristige Durchschnitt. Allgemein gilt
\( E(X)=\sum x_i\cdot p_i \). Bei Bernoulli gilt besonders einfach: \(E(X)=n\cdot p\).

Extremstelle

Eine Extremstelle liegt häufig dort, wo \( f'(x)=0 \) (oder \(f'(x)\) nicht definiert ist).
Ob Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, prüft man z. B. mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\).

Gegenhypothese (H₁)

Die Gegenhypothese (H₁) ist die Alternative zur Nullhypothese und legt die Richtung fest:
linksseitig \(p<p_0\) oder rechtsseitig \(p>p_0\). Dadurch ergibt sich, auf welcher Seite der
Ablehnungsbereich liegt.

Hypothesentest

Ein Hypothesentest entscheidet, ob eine Annahme (Nullhypothese H₀) zu den Daten passt.
Man vergleicht das Ergebnis mit dem Ablehnungsbereich und dem Signifikanzniveau \( \alpha \).
Wichtig: Man „beweist“ nicht, sondern trifft eine statistisch begründete Entscheidung.

Kettenregel

Die Kettenregel brauchst du bei zusammengesetzten Funktionen:
\( (f(g(x)))‘ = f'(g(x))\cdot g'(x) \).
Typisch bei \(e^{g(x)}\) oder \(\ln(g(x))\).

ln-Funktion

Die ln-Funktion ist der natürliche Logarithmus. Sie ist nur für \(x>0\) definiert und wächst langsam.
Bei Ableitungen gilt: \( (\ln(g(x)))‘ = \frac{g'(x)}{g(x)} \).
Die Definitionsmenge ist bei ln-Aufgaben immer ein zentraler Punkt.

Monotonie

Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt.
Wenn \( f'(x)>0 \), ist die Funktion in diesem Intervall steigend; bei \( f'(x)<0 \) fallend.
Daraus entstehen Monotonieintervalle – wichtig für Skizzen und Argumentationen.

Nullhypothese (H₀)

Die Nullhypothese (H₀) ist die Ausgangsannahme, z. B. \(p=p_0\) oder \(p\ge p_0\).
Der Test wird so aufgebaut, dass man H₀ nur dann verwirft, wenn das Ergebnis unter H₀ zu unwahrscheinlich ist.

Standardabweichung

Die Standardabweichung \( \sigma \) ist die Wurzel aus der Varianz:
\( \sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)} \).
Sie ist ein gut interpretierbares Maß dafür, wie stark Werte um den Erwartungswert streuen.

Varianz

Die Varianz beschreibt die Streuung um den Erwartungswert:
\( \mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 \).
Je größer die Varianz, desto stärker schwanken die Werte typischerweise.